Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика. Т. 3. Квантовая механика (нерелятивистская теория) (1185132), страница 120
Текст из файла (страница 120)
Перейдем к вращательной структуре уровней несферического ядра. Интервалы этой структуры малы по сравнению со спин- орбитальным взаимодействием нуклонов в ядре; такая ситуация соответствует случаю а теории двухатомных молекул 6 83). Полный мс мент вращающегося ядра л, разумеется, сохраняется. При заданном И его величина 1 пробегает значения, начинающиеся от И'. 1=И, И+1, И+2,...
(119,1) (см. (83,2)). Дополнительное ограничение возможных значений 1 имеет место для ядер с И = О! в состояниях О' и О„число l про. бегает лишь четные значения, а в состояниях О и О; — нечетные значения (см. $ 86). В частности, во вращательнйх уровнях основ. ного герма четно-четных ядер (О') число 1 пробегает значения 0,2,4,...
Вращательная энергия ядра определяется формулой Евр = зг т (г+ 1) (119,2) где 1 — момент инерции ядра (относительно оси, перпендикулярной к его оси симметрии); эта формула соответствует аиалогич. ному выражению теории двухатомных молекул (зависящий от 1 член в (83,6)). Наиболее низкому уровню соответствует наимень.
шее возможное значение 1, т. е. т = И. В силу (119,2) вращательная структура уровней характери. зуется определенными правилами интервалов, не зависящими (при заданном И) от других характеристик уровня. Так, компоненты вращательной структуры основного герма четно-четного ядра (с у = 2, 4, 6, 8, ...) отстоят от наиболее глубокого уровня (l = О) на расстояниях, относящихся как 1: 3, 3: 7 . '12...
Формула (119,2), однако, недостаточна для состояний с И = 1/2, которое может иметь место у ядер с нечетным числом нукло. иов. В этом случае возникает сравнимый с (119,2) вклад в энергию, связанный со взаимодействием нечетного нуклона с центробежным полем вращающегося ядра. Его зависимость от У можно найти следующим образом. Как известно из механики (см. 1, з 39), энергия частицы во вращающейся системе координат содержит дополнительный член, равный произведению угловой скорости вращения на момент импульса частицы. Соответствующий член в гамильтониане ядра ') В сферических ядрах тем не менее оказывалось возможным определить величину 1 в результате совместного ирнменеиня сохранения четности и момента. 1гл хчг стРуктуРА АТОмнОГО ядРА 574 можно представить в виде 2ЬКО, где Ь вЂ” некоторая постоянная; К вЂ” вращательный момент остова ядра (ядро без последнего нуклона), а и — момент иуклоиа; последний надо понимать здесь в чисто формальном смысле (в действительности вектор момента нуклона в аксиальном поле ядра ие существует), как оператор, аналогичный оператору спина 1/2, дающий переходы между состояниями со значениями проекции момента ' 1/2 — и соответствии со значением () = 1/2 ').
Поскольку К = л — о, то собствен. ные значения этого оператора 2ькп ь с /(/ + 1) к (к+ 1) 4 Добавив сюда для удобства не зависящую от / постоянную Ь/2, найдем, что эта величина равна ~Ь (l + 1/2) прн / = А' ~ 1/2. Это выражение можно записать в виде ( — 1)з-ыт Ь (/ + 1/2), если учесть, что момент /( остова (представляющего собой четно. четное ядро) является четным числом. Таким образом, окончательно получаем следующее выражение для вращательной энергии ядра с (1 = 1/2: В = 21 /(/+')+( — ')' "'Ь(/+1/2) (119,3) (А.
Войт, В. /Г(о(/е(топ, 1953). Отлгетим, что если постоянная Ь положительна и достаточно велика, то уровень с / = 3/2 можем оказаться лежащим ниже уровня с / = 1/2, т. е. Может нарушиться нормальный порядок вращательных уровней, при котором низший уровень соответствует наименьшему возможному значению /. Момент инерции несферического ядра не может быть вычислен как момент инерции твердого тела с заданной формой. Такое вычисление было бы возможно лишь, если бы нуклоны, движущиеся в самосогласованвом поле ядра, можно было рассматри.
вать как непосредственно не взаимодействующие друг с другом. В действительности же явление спаривания приводит к умень. шению момента инерции по сравнению со значением, соответствующим твердому телу. Магнитный момент 1А несферического ядра складывается из магнитного момента «неподвижного» ядра и нз момента, связан- '1 Спепифика случая И 1/2 как рзз и заключается и существовании матричных элементов возмущении энергии для переходов между состояниями, отличщощимися лишь знаком проекции момента и потоиу относящихся к одинаковой энергии. Зто приводит к появлению сдвига энергии уже в первом порядке теории возмущений.
рассматриваемое явление аналогично Л-удвоению уровней двукатомной' молекулы с 11 = 1/2 6 88). несоегичвскив ядра 3 11з! ного с вращением ядра. Первый направлен (после усреднения по движению нуклонов в ядре) вдоль оси ядра; обозначив величину зтого момента как р', а единичный вектор вдоль оси ядра посредством п, напишем его в виде р'и. Магнитный же момент, связанный с вращением, направлен (после того же усреднения) вдоль вектора 3 — Яп — полного механического момента ядра за вычетом момента нуклонов в «неподвижном ядре» '). Таким образом, !а = !ь'и+ я„(Я вЂ” ьун). (119,4) где г'„я т'р — нейтронная и протонная часта момента инерппи ядра (для системы из одних только протонов должно было бы быть просто и, = 1). Отношение (119,5), вообще говоря, не совпадает с отношением Е)А числа протонов к полной массе ядра.
После усреднения по вращению ядра магнитный момент на. правлен по сохраняющемуся вектору Л !з = —" 3 = (!г' — 0,) п + с,Х Как обычно, умножаем зто равенство с обеих сторон на 3 и пере. ходим к собственным значениям. В основном состоании ядра ь! .г и в результате находим 9 (!з +вг) 1+1 у (119,6) Эаяачн 1. Вырезать нвалрупольвы» момент С! вращающегося вара через явадру полыгый момент О, относнтельно связанных с ядром осев !А. Войт, 1951!. Р е ш е н н е. Оператор тензора нвалрупольного момента вращающегося ядра выражается чсрез гге посредством з Огз 2 Ое ! лель — — бгь) ато есть снмметрнчныа тензор с равным нулю следом, составленный вз номпонент едмннчного вентора и вдоль осв ядра, причем Ог, = 0е.
Усредвевяе по врмпательному состоянюо ядра проводятся подобно решенню авдачм в й 29 о тем '! Тааая форма записи может быть применена лншь пря 12 чь 1/2 (см. задачу 2!. Здесь йг есть гиромагнитный множитель вращения ядра. По. скольку вклад в магнитный момент при вращении дают только нротоиы, то йг ! +1 ° (119,5) стриктирд атомного ядрд (гл хи! 576 ТОЛЬКО ОТЛИЧИЕМ, ЧтО Ль//=О, а НЕ НУЛЮ) И ПриВОднт К ВЫражЕНИЮ ВИда (75,2) С зив — У (/+ В (йз' + 3) (з + 1) ' Длн основного состояния ядра с О = / получим (2./ — 1) ./ (2./ + 3) (/ + 1) При возрастании / отношение 9/Ое стремится к 1, но довольно медленно. 2. Определить магнитный момент в основном состоянии ядра с !1 = 1/2.
Р е ш е н и е. В атом случае оператор магнитного момента может быть записан с помощью введенного в тексте оператора о в виде и = 2р'о + д,К, К = / - о. Дальнейшее вычисление аналогично произведенному в тексте. Если основному уровшо ядра отвечает значение з* 1/2 (при этом число К = / — 1/2 = 0), то получается р = р', Если же в основном состоянии з = 3/2 (при атом К 9 3 ./+ 1/2 = 2), то и — 'иг — — р'. 5 5 3.
Определить ввергни нескольких первых уровней вращательной структуры основного состояния четно-четного ядра, имеющего симметрию трехосного аллипсоида. Р ею е н н е. Основному состоянию четно-четного ядра соответствует наиболее симметричная волновая функция анеподвижногоа ядра, т. е, фу~ кцня с симметрией. отвечающей представлению А группы Ва. Имеется позтому исего Х/2+ 1 (при четном 7) или (з — Ц/2 (при нечетном /) различных уровней при ааданном значении з'. Для з = 2 они даются полученной в задачах к й 103 формулой (7), а для з = 3 — формулой (8). й !20. Изотопическое смещение Специфические свойства ядра (конечная масса, размеры, спин), отличающие его от неподвижного точечного центра кулонова поля, оказывают определенное влияние на электронные уровни энергии атома.
Одним из таких эффектов является так называемое иаотопическоа смещение уровней — изменение энергии уровня при переходе от одного изотопа данного элемента к другому. Фактически, конечно, представляет интерес не изменение энергии одного уровня, а изменение разности двух уровней, наблюдаемой в виде спектральной линии. По этой причине фактически надо рассма тривать не энергию всей электронной оболочки атома в целом, а лишь ту ее часть, которая связана с электроном, участвующим в данном спектральном переходе.
В легких атомах основным источником изотопического смещения является эффект конечности массы ядра. Учет движения ядра приводит к появлению в гамильтониане атома члена изотопичаское смвшвннв б77 $120] (120,1] вычисленное по волновой функции данного состояния атома (М» Мя — массы ядер изотопов). В тяжелых атомах основной вклад в изотопическое смещение связан с протяженностью ядра. Этот эффект фактически заметен лишь для уровней внешнего электрона, находящегося в з-состоянии, поскольку волновая функция ~состояния (в противоположность волновым функциям состояний с 1чь 0) не обращается в нуль при г- 0 и потому вероятность нахождения электрона в «объеме ядра» сравнительно велика. Вычислим изотопическое смещение для этого случая ').
Пусть ф (г) — истинный электростатический потенциал поля ядра, в отличие от потенциала 2е/г кулонова поля точечного заряда 2е. Тогда изменение энергии электрона, по сравнению с ее значением в чисто кулоновом поле 2е/г, дается инте- гралом ЬЕ = — н ) (ср — — ) фэ(г) с])г, (120,2) где чр (г) — волновая функция электрона (в з состоянии эта функция сферически-симметрична и вещественна) Хотя интегрирова ние здесь формально распространено по всему пространству, но фактически стоящая в подынтегральном выражении разность ср — Яе(г отлична от нуля лишь внутри объема ядра С дру~ой стороны, волновая функция з состояния стремится при г — 0 к постоянному пределу (см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
