Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика. Т. 3. Квантовая механика (нерелятивистская теория) (1185132), страница 118
Текст из файла (страница 118)
Действительно, момент / может возникнуть либо нз состояния с 1 = / — 1/2, либо из состояния с 1 = 1 + 1/2. При заданном зна. чении 1 (полуцелом) оба эти состояния имеют разную четность ( — !)', а потому заданием / и четности определяется и квантовое число 1.
Состояния нуклонов с одинаковыми 1 и / принято нумеровать (в порядке увеличения энергии) чглавным квантовым числомв и, пробегающим целые значения, начиная с ! '). Различные состояния обозначают символами 1зыз, !рмз, 1рзгз и т. и., где цифра перед буквой есть главное квантовое число, буквы з, р, д, ... х) Лишь для самых легких ядер связь более близка к ЬЯ-типу. ') В отличие от принятого для злектронных уровпеа в атоме условяя, по которому число л пробегает значения, начииакиниеса с! + !. !гл. хш СТРУКТУРА АТОМНОГО ЯДРА указывают обычным образом значение 1, а индекс у буквы— значение 1. В состоянии с заданными значениями и, 1, ! может одновременно находиться не более 2! -(- 1 нейтронов и столько же протонов.
Характеристики состояния ядра в целом (при заданной конфигурации) принято записывать в виде цифры, дающей значение 7, с индексом + или —, указывающим четность состояния (последняя определяется в модели оболочек четностью или нечетностью алгебраической суммы значений ! всех нуклонов). В результате анализа экспериментальных данных о свойствах ядер оказывается возможным установить ряд закономерностей в расположении ядерных уровней.
Прежде всего оказывается, что энергия уровней нуклона возрастает с увеличением орбитального момента !. Это правило связано с тем, что с увеличением ! возрастает центробежная энергия частицы, а потому уменьшается ее энергия связи. Далее, при заданном значении ! уровень с ! = ! + !/2 (т.
е. отвечающий параллельным векторам ! и з) лежит глубже, чем уровень с! = ! — 1(2. Это правило уже упоминалось выше в связи со свойствами спин-орбитальной связи нуклона в ядре. Следующее правило относится к изотопическому спину ядер. Напомним, что проекция ТГ изоспина определяется уже весом и номером ядра (см. (116,1)). При заданном значении Т! абсолютная величина изоспина может иметь любые значения, удовлетворяющие неравенству Т )~ ~ Т! ).
Обычно основное состояние ядра имеет наименьшее из этих допустимых значений изоспина, т. е. (118,7) Это правило связано с характером взаимодействия нейтрона с протоном, — с тем, что в системе пр состояние с изоспином Т = 0 (состояние нейтрона) имеет ббльшую энергию связи, чем состояние с Т = 1 (см. примечание на стр. 557). Можно также сформулировать некоторые правила, относящиеся к спинам основных состояний ядер. Эти правила определяют, каким образом моменты 1 отдельных нуклонов складываются в общий спин ядра. Они являются проявлением стремления протонов и нейтронов, находящихся в ядре в одинаковых состояниях, к попарному (рр и ап) «спариваниюэ со взаимно противоположными моментами (энергия связи таких пар составляет величину порядка ! — 2 МэВ).
Это явление приводит, например, к тому, что если ядро содержит четное число как протонов, так и нейтронов (четно-четные ядра), то моменты всех нуклонов попарно компенсируются, так что общий момент ядра обращается в нуль. у мз1 модель озолочвк 2з!/з 1/з/зв 1)з!з/з1 1 1!з/з! !) Состояния 1/тг с их 8 вакансиями яиогда выделюот в особую группу, в со. ответствнн с тем, что н число 28 в известной степени обладает свойствами маги. ческих чисел. ') Таковы ',Нее, "зОз, 11Сазе, 'фрь!и; ядро 'Не вообще неспособно присоединить к себе еще один нуклон (справа внизу указано значение числа й/ в ядре). Если ядро содержит нечетное число протонов или нейтронов, причем все нуклоны сверх заполненных оболочек находятся в одинаковых состояниях, то обычно полный момент ядра совпа.
дает с моментом одного нуклона — как если бы после спаривания всех возможных пар протонов и нейтронов оставался всего один нуклон с некомпенсированным моментом (полные же моменты заполненных оболочек автоматически равны нулю). Для нгчетно-нечетных же ядер (нечетные Я и А/) нет какого. либо достаточно общего правила, определяющего спин основного состояния. Рассмотрение конкретного хода заполнения оболочек в ядрах аребовало бы детального анализа имеющихся экспериментальных данных и выходит за рамки этой книги.
!'1ы ограничимся здесь лишь еще некоторыми общими указаниями. Прн изучении свойств атомов мы видели, что электронные состояния в них можно разбить на группы такие, что при заполне. нии каждой из них и переходе к следующей энергия связи электрона падает. Аналогичная снтуация имеет место для ядер, причем нуклонные состояния распределяются по следующим группам: 13!/я 2 нуклона, ) Рз/2~ ) Р!/з 6 нуклонов, 1/15/е, 1с(з/щ 12 нуклонов, 1)тдь 2рзль 2рим 1йе/з 30 нуклонов, 2/!з/т, 18!т/з, 2/(3/з, Зз! /з 32 нуклона, 2~т/ь Ие/г, 2~з/з, Зрз/ю Зр! /з 44 нуклона.
(118,3) Для каждой группы указано полное число протонных или ней. тронных вакансий, Соответственно этим числам заполнение ка. кой-либо из групп заканчивается, когда полное число протонов Я или нейтронов А/ в ядре равно одному из следующих чисел' 2, 8, 20, 60, 82, 1 26, Эти числа принято называть магическими '). Особой устойчивостью обладают так называемые дважды маги. ческиг ядра, в которых как Я, так и А/ являются магическими числами. По сравнению с близкими к ним ядрами они обладают аномально малым сродством к еще одному нуклону, а их первые возбужденные уровни лежат аномально высоко '). СТРУКТУРА АТОМЯОГО ЯЛРА !гл хуа Различные состояния в каждой из групп (118,8) перечислены примерно в порядке их постепенного заполнения в ряду ядер.
В действительности при этом заполнении наблюдаются значительные иррегулярности. Кроме того, надо иметь в виду, что в тяжелых ядрах (далеких от магических) расстояния между различными уровнями могут оказаться сравнимыми с «энергией спаривания»; в этих условиях само понятие индивидуальных состояний компонент пары в значительной степени теряет смысл. Сделаем некоторые замечания по поводу вычисления магнит. ного момента ядра в модели оболочек. Говоря о магнитном мо. менте ядра, мы подразумеваем, естественно, магнитный момент, усредненный по движению частиц в ядре. Этот средний магнит. ный момент аА направлен, очевидно, вдоль спина ядра А направ. ление которого является единственным выделенным направлением в ядре; поэтому его оператор 1а = РаКА (118,9) ГДЕ Р, — ЯДЕРНЫЙ МаГНЕтОН, а Аа — ГИРОМаГНнтНЫй МИОжнтЕЛЬ.
Собственное значение проекции этого момента !А, = райМА. Обычно (ср. (111,!)) под магнитным моментом р ядра понимают просто максимальное значение его проекции, т. е. р = р ду; с Каким обозначением 1 (118,18) Магнитный момент ядра складывается из магнитных моментов иуклоиов, находящихся вне заполненных оболочек, поскольку моменты нуклонов в заполненных оболочках взаимно компенсируются.
Каждый нуклон создает в ядре магнитный момент, складывающийся из двух частей: спиновой и (в случае протона) орби. тальиой, т. е. представляющийся суммой д,з+йа1. (Здесь и ниже мы опускаем множитель ра, подразумевая, как это обычно делается, что магнитные моменты измерены в единицах ядерного магнетона.) Орбитальный и спиновый гиромагнитные множители равны: йаа —— 1, д, = 5,885 для протона и 8) —— О, 8, = — 3,826 для нейтрона. После усреднения по движению нуклоиа в ядре, его магнитный момент становится пропорциональным ); написав его в виде д,), имеем 1 ! 8А) =йаз+й1= р (йа+Ыа))+ — (Й йа)(1 з).
Умножив это равенство с обеих сторон на ! = 1+ з и переходя к собственным значениям, получим 8Л(!+1) = — (йа+8.)!'(1'+1)+ — (8 — 8.) !1(!+1) — з(з+1)), мОдаль ОБОЯОчек $11з1 а положив здесь з = 1/2, 1 1~ 1/2, найдем 81 = хг! ~- ' ' при / = 1 ~ !/2. (1!8,11) С указанными выше значениями гиромагнитных множителей это дает для магнитного момента протона рр = 81!2 2,2» рр — (! — .' )/ при ! =1 — !/2, р„= /'+ 2,29 при / = 1+ 1/2 (118,12) и для магнитного момента нейтрона р„= —.' 1 прн 1 = 1 — 1/2, 1,9! р„= — 1,91 при 1 =1+ 1/2 (118,13) (Т.
ЯеУипИХ, 1937). Если вие заполненных оболочек имеется всего один нуклон, формулы (118,!2) или (118,13) непосредственно дают магнитный момент ядра. Для двух нуклонов сложение их магнитных момен- чов тоже производится элементарно (см. задачу 1). В случае боль шего числа нуклонов усреднение магнитного момента должно производитьсн с помощью волновой функции системы, должным образом составленной из индивидуальных волновых функций нуклонов.
Задание нуклонной конфигурации и состояния ядра в целом позволяют сделать это однозначным образом в тех слу- чаях, когда данной конфигурации может соответствовать всего одно состояние системы с заданными значениями / и Т (см., например, задачу 3); в противном случае состояние ядра пред. ставляет собой смесь нескольких независимых состояний (с оди- наковыми /, Т) и, вообще говоря, остаются неизвестными коэф- 'фициенты в линейной комбинации, дающей волновую функцию ядра ').
Наконец укажем, что наличие спин-орбитальной связи нукло- нов в ядре приводит к появлению у протонов в ядре некоторого дополнительного (по отношению к (118,9)) магнитного момента (М. Соррегг Марег,,/ Н../елзел, 1952). Дело з тоы, что при явной зависимости оператора взаимодействия от скорости частицы пере. ход к случаю наличия внешнего поля совершается путем замены е оператора импульса согласно р — р — — А. Производя эту с замену в (118,3) и воспользовавшись выражением (111,7) для '! Отметим, однако, что точностыодночастичноя» скемы вычислении магнитных моментов ядер фактически оказывается невысокая. Пары значения (1 !8,12! н (1 !8,13! оказываются скорее верхним и нижним преденамк, чем точнымн значениями моментов.
СТРУКТУРА АТОМНОГО ЯДРА векторного потенциала, найдем, что в гамильтоннане протона появляется дополнительный член гр (г) — ' [пА[ а = / (г) — ' [г [Н ГЦ а = / (г) — ' [г [зги г[. Такой член эквивалентен возникновению дополнительного магнитного момента с оператором Р ' 2 л ~(г)[Г[$Г[[ 2 А гзпг) [ (ап)п[ (1 18 14) Задачи 1. Определить магнитный момент системы двух нуклонов (с полным механическим моиентом ! = 1, + )з), выразив его через магнитные моменты р! и рз каждого из нуклонов. Р е ш е н и е.
Авалогично выводу формулы (118,11) получим Р 1 Рг Рт 1 Рт Рз (!т /т) (Ут+ Уэ+ 1) Х 2(/д /,) 2(/т /з) /(/+1) 2. Найти возможные состояния системы трех нуклоиов с моментами / 3/2 (и одинаковыми главными квантовыми числами). Р е ш е н н е. Поступаем аналогично тому, как было сделано в 4 б7 при нахождении возможных состоиний системы эквивалентных электронов. Каждый нуклои может находиться в однои из восьми состояний со следующими парами значений чисел (т/, тг): (3/2, !/2), (1/2, 1/2), ( — 1/2, !/2), ( — 3/2, 1/2), (З/2, †!/2), (1/2, †!/2), ( †!/2, -1/2), ( — 3/2, -1/2). Комбинирун зги состояния по три различных, найдем следукэцне пары зна- чений (Мл 71) для системы трех нуклонов: (7/2, 1/2), 2 (3/2, !/2), (3/2, 3/2), 4 (З/2, !/2), (1/2, 3/2), 5 (1/2, 1/2) (цифра перед скобками указывает число соответствующих состояний; состояний с отрицательными значениями Мл Тг можно не выписывать).
Им соответствуют состояния системы со следующими значениями чисел (/, 7): (7/2, 1/2), (5/2, 1/2) (3/2, 3/2), (3/2, 1/2), (1/2, 1/2). 3. Определить магнитный момент основного состояния конфигурации двух нейтронов и одного протона в состояниях рз з(с одинаковыми л) с учетом иэо. топической инвариантности '). Р е ш е н и е. Основное состояние такой конфигурации имеет ./ 3/2, а по указанному в ~ексте правилу его нзоспив имеет наименьшее возможное значение Т = 1 Тс [ = 1/2. Определим волвовую функшзю системы, соответствующую наибольшему возможному заачснию Мт = 3/2. Это значение Мт может быть осуществлено (с учетом требований принципа Паули для двух одинаковых иуклонов) следующими тройками значений ш/ соответственно для нуклонов р, и, и: (З/2, 3/2, — 3/2), (3/2, 1/2, †!/2), (1/2, 3/2, — 1/г), (!/2, З/2, !/2).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
