Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика. Т. 3. Квантовая механика (нерелятивистская теория) (1185132), страница 113
Текст из файла (страница 113)
В квантовой теории она заменяется соответству. ющим оператором, так что гамильтониан системы н и, — )гн н — )в,н. Применив теперь формулу (! 1,16) (а полем И в качестве пара. метра ь), найдем, что среднее значение магнитного момента дЬЕ р =* дН (113,8) ') Расщепление, описываемое общей формулой (113,6) — (113,7), иногда называют аноманьнйм эффектом Зеемана. Это неудачное название возникло ного. рически н связи с тем, что до открытия спина электрона считался нормальным аффект, описываемый формулой (113,6) с л = 1. в) Рассуждения, примененные в втой связи н э 76 к электрическому случаю, для магнитного поли не годятся. Дело в том, что Н вЂ” вкснальный вектор н потому меняет знак при отражении в плоскости, проходящей через его на.
правление. Поэтому состояния, получающиеся друг ю друга в результате этой операции, относятся по существу к атому в различнык полях, Собрав полученные выражения и подставив в (!!3,4), находим следующее окончательное выражение для энергии расщепления! ьв= р,йм,н, (113,6) где У(У+1) — Е(Ь+ 1)+ Е(3+1) у=1+ 2н' (У + 1) АГОМ В мАГнитнОм пОли $1!31 где йŠ— сдвиг уровня энергии данного состояния атома.
Под. ставив сюда (113,6), мы видим, что атом в состоянии с определенным значением Мз проекции момента на некоторое направление г обладает средним магнитным моментом в том же направлении! )зз = — )гвЫМЛ (!!3,9) Если атом не обладает ни спином, ни орбитальным моментом (5 = Ь = 0), то второй член в (113,2) не дает смещения уровня ни в первом, ни в более высоких приближениях (так как все матричные элементы от Е и 5 исчезают). Поэтому весь эффект связан в этом случае с третьим членом в (113,2) и в первом приближении теории возмущений смещение уровня равно среднему значению ЛЕ = — ' ~(з~ (Н,)'.
(113,10) е Написав [Нг,Р = Овгз з!пз О, где Π— угол между г, и Н, и усреднив по направлениям г„, получим з!пз О = 1 — созе О = 2/3 (волновая функция состоянйя с Е = 5 = 0 сфернческн-симметрична и потому усреднение по направлениям производится независимо от усреднения по расстояниям «,). Таким образом, бЕ = 12 е О з га' (113,11) а Магнитный момент, вычисленный по формуле (113,8), будет теперь пропорционален величине поля (атом с Ь = 5 = 0 в от. сутствие поля магнитным моментом, конечно, не обладает).
Написав его в виде Хо, мы можем рассматривать коэффициент Х как магнитную восприимчивость атома. Для нее получим следующую формулу Ланжевена (Р. Еапаеот, 1906): ез (113,12) Эта величина отрицательна, т. е. атом диамагнитен '), Если же 1 = О, но 5 = Ь ~ О, то линейное по полю смещение уровня тоже отсутствует, но квадратичный эффект второго при. ближення от возмущения — )Г„Н превышает эффект (113,11) '). г) упомянем, что для вычисления среднего квадрата расстояния электронов от ядра нельзя пользоваться моделью Томаса — Ферми. Хотя интеграл ~ лгзаз с плотностью Томаса — Ферми л (г) и сходится, во он сходится слишком медленно, в связи с чем получающиеся значения сильно отличаются от змпирнческнх.
з) При 3 = Ь гь О недиагоиальные матричные злемевты от Ь„, 3 для пере кодов 3, Ь,,/-»- 3, Ь, l ~!, вообще говоря, отличны от нуля. движвнив в магнитном яолв [гл. кт Это связано с тем, что, согласно общей формуле (38,10), поправка к собстиенновгу значейяю энергии во втором приближении определяется сувиити выражений, и знаменателе которых стоят разности иевозмущеииых уровней энергии — в каином случае интервалы тонкой структуры уровня, являющиеся малыми величинами. В $33 было отмечено, что поправка второго приближения к нормальному уровню всегда отринательна. Поэтому магнитный момент в иормальном соспиенни будет величиной положительной, т.
е. атом, находящийся в нормальном состоииии с Х = О, Е, = 3 ~ О, парамагннтеи (А Н. ппл г(есй, 1228). В сильных магнитных полях, когда р,Н сравнимо с интервалами тонкой структуры нли превышает ях, расщепление уровней отклоняется от предскззываемого формулами (113,6) — (113,7); это явление называют в44аклиш Липкина — Бака. Вычисление энергии расщепления весьма просто в случае, когда зеемаиовское расщепление велико во сравнению с интервалами тонкой структуры, ио, конечно, по-прежнему мало по сравнению с расстояниями между различными мультиплетамн (так что в гамильтониане (113,2) можно по-прежиему пренебречь третьям членом по сравнению со вторым). Другими словами, энергия в магнитном поле значительно превышает взаимодействие спин — орбита').
Поэтому в первом приближении можно этим воз. действием пренебречь."Еогда сохраняется не только проекния полного момента, но и проекции Мс и Мв орбитального момента и спина, так что расщепление определяется формулой 1дЕ = риН(М„+ 2Ми). (113,13) Мультннлетное расщепление накладывается на расщепление в магнитном поле. Оно определяется средним значением оператора А 1,3 (72,4) по состоянию с данными Мь, Мв (мы рассматриваем мультиплетное расщепление, связанное со взаимодействием спин — орбита). При.
заданном значении одной из компонент момента средние значения двух других равны нулю. Поэтому $Л = = МьМв, так что в следующем приближении энергия уровней определяется формулой 7зБ =рлН(Мь+2Мв)+АМьМв (113,14) Вычисление зеемановского расщепления в общем случае произвольного (не Ы) типа связи невозможно. Можно лишь утвер. ждать, что расщепление (в слабом ноле) линейно по полю и про. порциоиальио проекнии М полного момента, т. е. пмест вид йБ = рлоазНМД (113,15) '1 Дла оромежуточммк случаев, когда влиаиие магнитного иола сравнимо со взаимодеаствнем сама — орбита, вычисление расщепления в общем виде ие. возможно (для случая 8 = ОВ расчет приведен в задаче Ц.
й г~з) лтОм в млгнитнОм пОле дгаьзМ г —— (ЮЫМ, ~ !., + 23, ~ 5/./М,), вычисленными по другой полной системе волновых функций. Функции каждой из этих систем получаются из другой системы линейным унитарным превбразованием. Но такое преобразование оставляет неизменной сумму диагональных элементов матрицы ($ !2). Поэтому заключаем, что Е й. Мз = Е аа . М или, поскольку д„г и ег ь от Мз не зависят, ЕЬ.= Ейн ч зь (1!3,!б) Суммирование производится по всем состояниям с данным значе.
нием l, которые возможны для данной электронной конфигурации. Это и есть искомое соотношение. Задачи 1. Определить расщепление терма с Я =- 1/2 при эффекте Пашена — Бака. Р е ш е н и е. Магнитное поле и взаимодействие спин — орбита лолжны учитываться в теории возмущенвй одновременно, т. е. оператор возмущении имеет вад ') '11'З+ 1'н (се+ 25г) //. В качестве исходных волновых функций нулевого приближении мы выберем грунхцви, Охггвежтвукяцяе сосгояивям с определениями аивченвнми Б, 3 = 1/2, Мг, Мн (Б задано, Мс= — Б, ..., гл Мз = ~1/2). В возмущенных состояниях со- ') Мы не пишем в и' члена, пропарциональнога (ьз)э (взаимодействие спннспнн).
Надо, однако, иметь в внду, чта для спина Я = 1/2 выражение (ьз)з, в силу специфических свойств мшрип Паули (см. й 55), сводятся к аыражению ЬЗ и поэтому включено в написанную формулу. где я„з — некоторые коэффициенты, характерные для данного терма (посредством л обозначаем совокупность квантовых чисел, кроме,Р, характеризуюпцгх терм). Хотя зти коэффициенты, каждый в отдельности, и не могут быть вычислены„оказывается возможным получить полезную в применениях формулу, определяющую их сумму, взятую по всем возможным состояниям атома с данной электронной конфигурацией и данным полным моментом.
По определению, йкзМз = (и/М,!7.,+ 25г!и/М,>. Величины же йгнь,М (где д — множитель Ланде (113,7), отвечающий 7.3.связи) являются диагональными матричными элементами двнжяння в магнитном поля (гл. ху 544 храняется лишь сумма М и Мт = Мь+ Мз (У коммутативно с 7,), так что компонентам расщепленного терма можно првпнсывать определенные значения М.
Значения М = ь(Е+ 1/2) могут быть осуществлены лишь одним способом— соответственно с ) Мьмз) = ~ Е1/2) н ( — Е, — 1/2). Поэтому поправки к энергии состоянвй с этими М равны просто диагональным матричным элементам (МЕМз) У(мьмз) с указанными значениямн (Мсмь). Остальные значении М могут быть осуществлены двумя способами: ) М вЂ” 1/2, 1/2) и (М -1- 1/2, — 1/2), Каждому М соответствуют здесь два различных значения энергии, определяющнхся из секулярного уравнения, составленного нз матричных элементов для переходов между этими двумя состояниями. Матричные элементы от ЕЯ вычисляются непосредственным перемножением матриц (М ~ Е ~ МС) и (М ~ Б)м') н равны (М,М,1Е3(М,М,) = М,М„ (М + !/2, — !/2 ! 1.8 ) М вЂ” 1/2. !/2) = (М вЂ” 1/2, 1/2 / 1.3 ( М + !/2.
— 1/2) = 1 = — 'г' (Е + М + 1/2) ( Š— М + 1/2). 2 В отсутствие магнитного поля терм представляет собой дублет с расстоянием между компонентамн з = А (Е+ 1/2) (см. (72,6)). Выберем нижний из этих уровней в качестве начала отсчета энергии. Тогда окончательные формулы для уровней в магнитном поле имеют внд Е = е ~ рвн (Е + 1) при М = ~ (Е + 1/2), е 2 2 2 Рв В = +Ринм~~ 4 (з +Ран)+ при М = Š— 1/2, „., — (/ — !/2). При р Н/е К! получается 2 (Е+ 1) Н'=а+ РяНМ Е+,, 2Е Е = Рвнм 2Е+ 1 в согласии с формулами (113,6) — (113,7) (в которых надо положить Я = 1/2, з' = Е ~ 1/2). При р.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
