Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика. Т. 3. Квантовая механика (нерелятивистская теория) (1185132), страница 109
Текст из файла (страница 109)
-'-'.)" (т, — тв т,) (и» т, — т ) ( — тв тв тв)' Суммирование производится здесь по всем возможным значениям всех чисел и«; поскольку, однако, сумма трех и в каждом 31- символе должна бьвть равна нулю, фактически лишь трн из шести т независимы. Величины, определенные формулой (108,2), иазываот 81-символами нли козффив)ипата«ни Рака' ). Из определения (108,2), с учетом свойств симметрии 31-символов, легко убедиться в том, что б)ьсимвол не меняется при любой перестановке трех его спэлбцов, а в каждой паре столбцов можно переставить верхнее н нижнее числа.
В силу этих свойств симметрии последовательность чисел 1, ... 1, в 81-символе можно представить в 24 эквивалентных видах '). Кроме того, 81-символы обладают еще одним. менее очевидным, свойством симметрии, устанавливающим равенство между символамн с различными наборами чисел ): ! ... ! ~1 1. 1*~ 1« ()в+!в+!а — 1») — Цз+!в+!а 1й)~ 1» 2 (!в+1»+1в 1з) 2 ()в+16+!в 1й) 108,3 (Т.
Ярде, 1989) '). ( ) Укажем полезное соотношение между 61- и 31-символами, которое можно получить с помощью определения (108,2): 1)и+!.+и —; ° ° )' ! 1' ! ) ! 1 ! !в ~т» — тв тв/ ~л»в тв — тв/ »п»в»»в»а х.( ' ' ')=( ' ' ')(и ' '1 (108,4) )в Ь )в ) Выражение, суммируемое в левой стороне равенства, отличается от суммы в (108,2), отсутствием одного множителя (31-символа), Можно сказать поэтому, что сумма в (108,4) изображается тетра- «) В литературе используетси также оаоэначенне )Р (!»1»!»1»' !»1в) = 1 — !)б+)*+и+)* ! !» !в !в ) ') Если представать себе четырекграпнкк рнс. 45 как правильный тетраэдр, то 24 эквивалентаые перестановки чисел 1 могут быть получены как результат применения 24 преабразова»п»й симметрии (поворотив и отражений) тетраэдра, в) См. примечание ') на стр. 5!!.
слОжение моментов 1гл. хш эдром (рис. 45) без одной из его граней; этим определяется отличие суммы от скаляра. Другими словами, по своим трансформационным свойствам она соответствует одному 31-символу — стоящему в правой стороне равенства (108,4), которому она должна быть пропорциональна. Коэффициент же пропорциональности (6/-символ в правой стороне, равенства) легко получить, умножив обе стороны равенства на ~ / и просуммировавпооставшимся 2' /2 /2 /3 '2 ~ т, т2 т3/ числам ш1, ш2, 2п3.
61-символы появляются естественным образом при рассмотрении следующего вопроса, связанного со сложением трех моментов. Пусть три момента /„ /„/, складываются в результирующий момент Х. Заданием момента / (и его проекции М) состояние системы, однако, еще не определяется однозначным образом; оно зависит и от способа сложения моментов (или, как говорят, от схемы их связи). Рассмотрим, например, такие две схемы связи1 1) сначала моменты /, и /2 складываются в суммарный момент /22, а затем /та и /, складываются в окончательный момент у; 2) моменты /2 и/, складываются в /ги а затем/23 и /2 — в Х.
Первой схеме соответствуют состояния, в которых (наряду с /О /„ /3,,/, М) имеет определенное значение величина /23; их волновые функции обозначим как фпым (опуская, для краткости, повторяющиеся индексы /2/2/3). Аналогично, волновые функции второй схемы связи обозначим как 2Р1там. В обоих слУчаЯх значениЯ «НРомежУточного» момента (/„или /23), вообще говоря, неоднозначны, так что мы имеем (при заданных /, М) два различных набора состояний, различающихся значениями /„или /33. Согласно общим правилам функции этих двух наборов связаны друг с другом определенным унитарным преобразованием 'Ьюзхм = Е (1!2! /23) 2РН,2м.
(108,5) !т Из физических соображений очевидно, что коэффициенты этого преобразования не зависят от числа М вЂ” они не могут зависеть от ориентации всей системы в пространстве. Таким образом, они зависят лишь от значений шести моментов /1/2/3/12/231, но не от их проекций, т. е. являются скалярными (в указанном выше смысле) величинами. Фактическое вычисление этих коэффициентов легко произвести следующим образом. Путем двукратного применения формулы (106,9) находим 2(),„2м = Е (ш1ш23! 1М) фу,т,ф1тт„= 1т1 = Е (ш!п223 ! /М) (п22ш3 ! /23Л223) ф1~т,ф!,т,Ф,т~2 ~т) Ф„2м = Е (шзшы ! /М) (ш1ш2 ! /шшы) Р,тМытЯ2т3 (т) в дв81 в!-Символы (знак (дп) под знаком суммы означает, что суммирование производится по всем входящим в выражение числам пд„ггд„...).
Используя ортонормированность функций ар!, найдем теперь (! аз а !/тз> — = ~ ф/„дмф!„дм а/а/ =* = ~~~~ ~(шзшш ! /М) (пддпдвз ! /М) ("ддндв! /двпддв> (тпвназ ! /вздпвз). ью Сумма в правой стороне равенства берется при заданном значении М, но результат суммирования в действительности (по указанной выше причине) от М не зависит. Поэтому суммирование можно распространить и по значениям М, введя при этом перед суммой множитель 1!(2 / + 1).
Выражая затем коэффициенты (ндддив ! Рп> через 3/-символы согласно (106,10), получим; (/дз!/88> = ( — 1)'+!а+!а+а 1Г(2/дв+ 1) (2/вв+!) 1 .. 1. (108,6) д !в '! !вв ! Связь 6Рсимволов с коэффициентами преобразования (108,5) позволяет легко получить некоторые полезные формулы для суммирования произведений 6!-символов.
Прежде всего, в силу унитарности преобразования (108,5) (и вещественности его коэффициентов), имеет место соотношение ~~8',(2/+ 1) (2/" + 1) (' " '. ) ~!.* !,' /„~ = б,,, (!03,7) Далее рассмотрим три схемы связи трех моментов — с промежуточными суммами соответственно !„, !дм и !„. Коэффициенты соответствующих преобразований (108,6) связаны между собой, согласно правилу умножения матриц, соотношением Е (/дз ! !88) (/зв ! /вд) = (/дв ! /М). !аа Подставив сюда ( ! 08,6) и изменив обозначение индексов, получим ( — !)!+!в+!а (2! -1- 1) / !з !4 !в 1 ! !а !д ! 1 ) й !в lв 1 (103 3) !!а /а ! /1!в !в !з! !!а !а !а! Наконец, путем рассмотрения различных схем связи четырех моментов можно получить ') следующую формулу сложения для произведений трех 6/-символов: ~ч~~~( 1) д (2/ ! 1)~!а /в /а~~!в й /в~(!а !в !в~ (!08 9) (Е.
С, В!ег/епйат,,/. Р. Е!/до!!, 1953), д> См. цитированную выше книгу Эдмондеа. [гл. хзз/ 522 сложение мОментов Приведем, для справок, некоторые явные выражения для 6/-символов. 6!'-символ может быть представлен в общем случае в виде следующей суммы: /~ (/1/3/3) /~ (/з/Б/В) /~ (/в/з/В) / (/в/в/з) Х /в /в !в / ( — 1) <з+ 1) ! Х (з — /з — ! — /з) !( - /.
— /в - /в) Н вЂ” !, — !в — !в)! (з — / †/ — /в) ! Х Х(/з+ !з+ /в+ !в — з)1(/з+ /з+ !в+ !в — з) 1(/з+ !з+ !в+/з — з)1> (108,!О) где а сумма берется по всем положительным целым значениям г, при которых пи один из факториалов в знаменателе не имеет отрицательного аргумента, В табл. 10 даны формулы 6/-символов для случаев, когда один нз параметров равен О, 1/2 или 1. Таблица 10 Фоомулм илз Зу-символов аЬ с! ( — !)' з= а+ Ь+с О с Ь/ )/(2Ь.( !) <2с.( 1)' с о Ь с (з — 2Ь) (з — 2с+ 1) 1в/з с ~ Ь+ ~ ~ [(2Ь+ 1)(2Ь.(-2) 2с(2с-(- !) / с а Ь с (з + 1) (з — 2а) 1!/з — с — Ь вЂ” ~ 12Ь (2Ь+ 1) 2с(2с+ !)( (1 с — 1 ~а Ь Л(абс) — [ <а+Ь ') !(а Ь+с) ! ( а+Ь+с) ! 1 (а+ Ь+ с+ !) ! в з й+ 1) (з — 2а — 1) (з — 2а) ) !/З (2Ь вЂ” 1) 2Ь (2Ь+ 1) (2с — 1) вс (2с+ 1) 3 ( — !)' [, ( — 1)' 2 М+ 1) (з — 2а) (з — 2Ь) (з — 2с+ И ~!/3 2Ь (2Ь + 1) (2Ь+ 2) (2с — 1) 2с (2с+ 1) , /(з — 2Ь вЂ” !) (з — 2Ь) (з — 2с+ 1) (з — 2с+ 2Ц !/З 1 (2Ь + 1) (2Ь + 2) (2Ь+ 3) (2с — 1) 2с (2с + 1) ) 2 /Ь (Ь+ 1) + с <с+ 1) — а <а+ 1)1 !2Ь <2Ь + !) <2Ь+ 2! 2 <2 + 0 <2с+ 2)1'/' 1гл.
х1ч СЛОЖЕНИЕ МОМЕНТОВ 524 5 109. Матричные элементы при сложении моментов Рассмотрим снова систему, состояшую из двух частей (о которых будем говорить как о подсистемах 1 и 2), и пусть (ахд'— сферический тензор, характеризующий первую из них. Вго матричные элементы по отношению к волновым функциям этой же подсистемы определяются, согласно (107,6), формулой (П1!1П11 ~ !ад ~ П1!1ТП1) = = 1л ( — 1) ' '" ' ( '. ' ) (п,!1~!дн~п1!1) (109,1) Возникает вопрос о вычислении матричных элементов этих же величин по отношению к волновым функциям системы в целом; покажем, как они могут быть выражены через те же приведенные матричные элементы, которые фигурируют в выражениях (109,1).
Состояния системы в целом определяются квантовыми числами !1(адМпхпх (7, М вЂ” величина и проекция момента всей системы). ПосколькУ 1!1д' относитсЯ к поДсистеме 1, ее опеРатоР коммУтирует с оператором моме1гга подсистемы 2. Поэтому ее матрица диагональна по 1„она диагональна также и по остальным квантовым числам и, этой подсистемы. Эти индексы ((„пх) мы будем для краткости опускать и будем писать искомые матричные элементы в виде (п1!1ГМ ( 5~1 ( п1!11а М) Согласно (107,6) их зависимость от числа М определяется формулой (П1!1Г М' (Щ' ( П11~3М) = = 1 ( 1) Мах ' ( ', „4 ) (П1!1У И)аа'~!!П1!Д (!09 2) Для установления связи между приведенными матричными элементами в правых сторонах (109,1) и (109,2) пишем, по определению матричных элементов' (и1!11 М !!ад ! п1/11М) )ай!'м'()ад а(12м аЩ ~ ( — 1)' ~х+ у'(2Г+!)(27+ 1) ( ', !х „, ) Х т,аа' Х ( ~' !' ~ ) (~11'1п1!Я'111111 ). Подставив сюда (109,1), (109,2) и сравнив полученное соотношение с формулой (108,4), мы увидим, что отношение приведенных матричных элементов (в (109,1), (109,2)) должно быть пропорционально определенному 61-символу.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
