Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика. Т. 3. Квантовая механика (нерелятивистская теория) (1185132), страница 106
Текст из файла (страница 106)
Суммируя эти результаты, получаем следующую таблицу возможных состояний при различных значениях квантового числа й для нормального электронного и колебательного герма молекулы "Х'Нв (+ и — обозначают положительные и отрицательные состояния): !гл хпт и~ОГОАтомныв молакулы щеплевия пропорциональна вероятности прохождения атомов через «потенциальный барьер», разделяющий обе коифигурации молекулы. Хотя в молекуле аммиака, благодаря указанным выше и ее свойствам, эта вероятность сравнительно велика, но все же н величина расщепления мала Н Н (! ° Ю з эВ). Пример молекулы типа шарового волчка разобран в задаче 5 Н и этому параграфу.
Задачи и Рис. 44 1. 'Установить связь между симме. трией состоянии молекулы 'зСчгНч и сум мирным спнном ядер водорщга в ней. , Р ею е н и е т). Суммарный спнп четырех ядер 'Н может иметь значения / = 2, 1, О, а его проекция М/ пробегает значения от 2 до — 2, Рассмотрим представления, осуществляемые спиновыми множителями, относящимися к каждому отдельному значению М/, начиная с максимального. Значевию Мг = 2 соответствует всего один спинозый множитель, а котором все ядра имеют проекцию спина + 1/2. Значению М/ = 1 отвечают 4 разлнчныи спннозых множителя, отличающиесн друг от друга тем, какому из четырех ядер приписана проехцня спина — !/2.
Наконец, значение М/ = О осуществляется вестью саяновыми множителями, в зависимости от того, какой паре ядер приписаны проекщщ спина — 1/2. Характеры соответствующих трех представлений таковы: С. Сч/ С, Ы1 с, ы> о Ог! о ыг1 о ~уи Л!/ =- 2 М(= 1 Первое нз зтнх представлений есть единичное представление Ая! поскольку значение М/ = 2 может осуществляться только прв / = 2, !аы заключаем, что спину /= 2 отвечает состояние с симметрией А,. Значение Мг = 1 может осуществляться как ири / = 1, тан я при / = 2.
Вычтя соответственно атому из второго представления первое и разлагая результат на непрнводнмые части, найдем, что спину / = 1 соотнегствуюг состояния В к, в,в„. Наконец, значение М/ = О может осуществлятьси во всех случаях, когда ввзмонщо М/ = 1 и, кроме того, пря / = О. Въ!читая соответственно атому нз третьего представления второе, найдем два состояния Аа, соогветчтвуюпгие спину / = О.
2. Определить типы симметрии полных (координатных) волновых функцвй и сввтнстнческне веса соответствующих уровней для молекул "СзтН,. ыС,'Н„ х) Метод рещеиия падобнык задач, основанный на теория групп мызестзновок см. в указанной на сгр. 282 книге И. Г. Каплана, гл. Ч!, й 2.
клдссиеикдиии молекиляриых те( мои 14Нз'404 (эсе молекулы имеют одинаковую форму; спины 1(4Н) = 1. 1('4С) =- 1(2, 4 (14)() 1). Р е ш е и и е. Тем же способом, котормй был применен я тексте к молекуле мСз)Н4, найдем следующие состояния (оси координат эыбраны так же, как и и тексте): МОЛЕКУХ4 ! 8Вю 1ЗВзи 12Взь, 24Взч зв „ З' 1З 16Ах, 12В,х бЛ„, 11С, )и, пС', 1Н4 Л( 140 3. То и(е для молекулы '4ХзНз. Р е ш е и н е, Подобно тому как это было сделано н тексте длн молекулы ыЛ)1Нз, находим состояния: ЗОА„ЗА1, 24Е. 1(ля нормального электронного н колебательного терна при разлнчнык значениях квантового числа л иозможны следующие состояния: (+ ) 4.
То же для молекулы "С„'Н„(см. рнс. 43, е; снмчетрня Озз). Р е ш е (4 н е. Возможны состояния следующих чипов: 7Л,з, 1Азю ЗАза, 13Азь 9Ез, ! 1Еи Дгя нормального электронного н колебательного тсрма получаются следу. юшке состояния: (+ ) Б. То же для молекулы метана "С'Н4 (атомы Н и вершинах, атом С— и пентре теграэдра). р е ш е н н е. Л!олекула относится к типу шарового волчка и имеет снмме.
трню Тю Следуя тому же методу, найдем, что нозможны состонния гапон( бА„ 1Е, ЗЕ, (им соответствует полный сини молекулы, раэный соотиетстаеино 2, О, !). )ч! ие кратно трем ) ( ) кратно трем 1 Х нече)но Ь( не крапю трем 1 З ! нратпо трем а=ос 7--, с 7 печеню 24Е ЗОА(, ЗА, ЗОА, ЗА, 9Е, 7А,х, ЗАзх 7А,з ЗА за 24Е ЗОАг, ЗА, ЗЛ,' ЗОА( 11Ез 1А1з 13Ази 1Азн 1ЗАхи (гл. хпг многолтомнып молвкилы В нем содержатся следующие непрнводнмые представления группы О: А„го йм Рассматривая снова вращательную сгруктуру нормального электронного н колебательного герма,заключаем отсюда, что при 7 = 3 состояния с симме. трией Аз полной волновой функции могут быть только положительными, а уровни сощояиия гг — как положительпымн, так и отрицательными.
Для нескольких первых значений l получаютсн таням же образом следующие состояния (пишем пх вместе с пх ядерными статистическими весами): (+ ) 6Аз !В, ЗР, Зрг' бле, !В, ЗР! э=о /=1 /= 2 з=з э=4 ЗР )Н 6А„ЗРг )Е, ЗР, Вращательные состояния шарового волчка класснфицяруются по значениям .! полного момента. (2з + 1) вращательных функций, относящихся к данному значению з, осуществляют (2/+ 1)-мерпое представление группы О, нзоморфной группе Тл, нз которой онз получается заменой всех плоскостей сниыетрин перпендпнулярными им осями второго порядка. Характеры этого представления определяются по форв1уле (98,3). Так, например, для з = 3 по. лучзем представление с характерамн Е 86з 6Сз 6С4 ЗС~ 7 1 — 1 — 1 — 1 ГЛАВА Х)Ч СЛОЖЕНИЕ МОМЕНТОВ В !06. 3 ьсимволы Полученное в $ 31 правило сложения моментов определяет возможные значения полного момента системы, состоящей из двух частиц (или более сложных частей), обладающих моментами 1> и ), ').
Это правило в действительности тесно связано со свойствами волновых функций по отношению к пространственным вра. щениям и непосредственно следует из свойств спиноров. Волновые функции частиц с моментами 1> и )в представляют собой симметричные спиноры рангов 2), и 2)ю а волновая функция системы дается их произведением зн э!ч ф>» х ...фгэ> эа... Симметризуя это произведение по всем индексам, получим симметричный спинор ранга 2 (1> + 1,), отвечающий состоянию с полным моментом 1, + 1,. Далее, упростим произведение (106,1) по одной паре индексов, из которых один должен принадлежать фы>, а другой — фгэ> (в противном случае получится нуль); при этом, в силу симметрии каждого из спиноров ф<п и фгэ>, безразлично, какие именно берутся индексы из Х, р...,, и р, о, .„ После спмметризации получим симметричный спинор ранга 2 О, + )э — 1), отвечающий состоянию а моментом 1' + )э — 1').
') О>рого гансря, ыы везде будем иметь в веду, не оговарнввя этого каждый раз особо, снстену, сгютоящу>о нз частей, взаимодействие каторых настолько слабо, что в первом приближенны нх моменты можно счнтать сохраняющямвся. Все вэлагаеные ниже результаты относятся, канечно, не только к сасженню полных нове~>гав двух частиц (нлн снсген), но н к сложению орбитального момента в спина одной н той же системы в цредположен>ш достаточной слабости спвн-орбптальвой свнзн.
е) Во нзбзжанне недоразумений полезно сделать следующее замечание. Волновая функцня сне>сны нз двух частиц есть всегда спанор ранга 2 (й+ )е), вообще говоря, отличного от 2>', гдв / — полный момент сьстены. Такой сн кнор, однако, может быть эквивалентен спннору более ннзкого ранга.
Так, волновая функцнн системы двух час>на с моментами й = )з= >/2 есть сцннор второго ранга; но еслн полный ыоненг / О, то этот спннор антнснннетрнчен н потому сводятся к скаляру. Вообще полныы моментом / определяется симметрия спннорной волновой функции системы: она снммегрнчна по 21 нндексам н антнсннметрнчна по остальным нндексвм. СЛОЖЕНИЯ МОМЕНТОВ !гл, хщ Продолжая этот процесс, мы найдем в соответствии с известным уже нам правилом, что ! пробегает значения от !( + ! до ~ 1, — ), !, причем каждое по одному разу.
С математической точки зрения, речь идет здесь о разложе- НИИ ПРЯМОГО ПРОИЗВЕДЕНИЯ О(( ) Х О((*) ДВУХ НЕПРИВОДИМЫХ ПРЕД- ставлений группы вращений (с размерностями 2!) + 1 и 21, + 1) на непрпводимые части. В этих терминах правило сложения моментов записывается в виде разбиения ()(( ) р(/з) г)(У +й) „! г)(!1(-6-() ! ... + рн(' -(ви Для полного решения задачи о сложении моментов мы должны еще рассмотреть вопрос о составлении волновой функции системы с заданным значением полного момента по волновым функциям составляющих ее двух частиц. Начнем с наиболее простого случая сложения двух моментои в разный нулю суммарный момент, При этом, очевидно, должно быть 1, = 1„а проекции моментов л)) = — т~, Пусть (р) — нормированные волновые функции состояний одной частицы с моменком / и его проекцией т (в неспинорном представлении). Искомая волновая функция системы )ра представляет собой сумму произведений волновых функций обеих частиц с противоположными значениями ки ( )я = ' Е ( — 1)' 424" (106,2) (! — общее значение !) и 1,).
Множитель перед суммой есть результа) нормировки. Что касается коэффициентов в сумме, то все они должны быть одинаковы по своей абсолютной величине— уже в силу того, что все значения проекций (и моментов частиц равновероятны. Порядок же чередования знаков в (106,2) легко найти с помощью спинорного представления волновых функций. В спинорных обозначениях сумма в (106,2) представляет собой скаляр (полный момент системы равен нулю!) )р(() ьи" Ф(2) (106,3) составленный из двух спиноров ранга 2/, Заметив это, мы найдем знаки в (106,2) непосредственно из формулы (67,3). Следует, однако, иметь в виду, что однозначными являются, вообще говоря, лишь относительные знаки членов суммы (106,2), общий же знак может оказаться зависящим от «порядка сложения» моментов.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
