Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика. Т. 3. Квантовая механика (нерелятивистская теория) (1185132), страница 103
Текст из файла (страница 103)
Исходим ив равенства 1 ф,„= О, имеющего место для волновой функции с М = 1. Отсюда имеем уравнение ( д а — — 1 с18 8 + —. ~! ф = О. др 5!и р / Нормированное решение этого уравнения ./ / а ( (21+ !)1 )!/в / 8 ~/+а ( — 1) (2(1 +й)!(1,)(( |,с я 2) Х ) () т/ а |1/и+аз! х зш — ) 2) 2п (нормировочный интеграл сводится к Э-интегралу Эйлера). Это выражение действительно совпадает, с точностью до фазового множителя, с функцией — ()е/) (а, (3, у) 21+ 1 |/ (ср. (58,26)); фазовый множитель выбран в соответствии с определением в (103,7). Волновые функции с М ( 1 вычисляются затем путем повторного применения к гр,/а формулы 1-ф/, м+|, а )/(1 — М) (1+ Л!+1)ф/а|к нвлнтовлнив вращения волчкл 4 !зз) Окончательный ответ совпадает с (103,8), где функции сг~„„даются формуламн ! х! (88,9) — (58,11) (прпчем надо учесть свойство симметрии этих функций (68,18)).
2. Вычислить матричные элементы (И' [Н[И) для асимметричного волчка. Р е ш е н и е. С помощью формул (27,13) находим 1 !! "г ( ! ч!"! 2 (Ь! фй+2>=(в+2~У„'[Ь>= — (Ь~ ф в+2)- — (Ь+ 2[У;![Ь>= 1 — (Х вЂ” Ь) (У вЂ” Ь вЂ” 1) (У + Ь+ 1) (У + Ь+ 2) 4 (й[Н[Ь+2)=(в+2[П[Ь> = Ла 8 = — (а — Ь) Ь (з — Ь) (с — А — !) (У + Ь + 1) (Х + А + 2), (1) Матричные элементы по отношени!о к функциям (!03,!2) виража!отса через элементы (!) согласно соотношениям (Ь ~ [ Н [ Ь ~) = (Ь[ Н [ Ь), Ь ~ 1, <! ~ [ Н [ ! ~> = <! [ Н [ !> ь <! [ Н [ !>, (Й ~ [ Н [ Ь + 2, ~) = (Гг[ Н [А + 2), й чь О, (О + [ Н [ 2 +) = Ь' 2 (О [ Н [ 2>.
(2) 3. Определить уровни энергии асимметричного волчка при У = 1, Р е ш е н и е. Секулярное уравнение третьей степени распадается иа трн уравнения первой степени. Одно из пнх дает ля Е! (О+[В[0+>= 2 (а+Ь). (3) Отсюда можно сразу написать два других уровня энергии, так как заранее очевидно, что трн параметра а, Ь, с входит в задачу симметричным образом. Поэтому ла йа Е, = — (а + с), Е, = — (Ь + с). 2 ' 2 (4) Уровни Е„Е„Е, относятся соответственно к типам симметрии Вт, Вз, Ва а).
Волновые функции этих состояний ф! = ф!з фа='р!! фа = ф!!. — +, + !) В задачах 2 — 5, с целью упрощения записи формул, пользуемся обозна. «аннами а = !Нл Ь = 1Ни с !!<а. з) Это следует непосредственно нз соображений симметрии. Так, энергия Е! симметрична по отношению к параметрам а и Ь; такой должна быть энергия состояния, симметрия которого по отношению к осям $ и Ч одинакова (со. стоянне типа В!). (диагональные индексы у, с у матричных элементов для краткости везде опускаем). Отсюда получаем для искомых матричных элементов гамнльтониапа ) (А [ Н [Ь) = — (а+ Ь) [Х (У+ 1) — Ье) + — еле, 2 (гл, хтгг многодтомньге молект льа Ьа Е, = (2 — [ Н [ 2 — ) = 2дзс+ — (а+ Ь) 2 (уровень типа Вз). Отсюда сразу заключаем, что должны быть еьче два уровня (типов Вт и Вз): дз Ьа Е, = 2Ь~Ь + — (а ф с), Ез = 2аза + — (Ь + с).
Этим трем уровням отвечиот волновые функции ф! фзз' фз фзр фз. фы + Уравнение второй степени будет следующим 1 (О 4 [Н [О+) — Е (2 ф [Н[О+) (2+ [Н!О+) (2 ф [ Н [2+) — Е~ (6) Решив его, получим Егл = Лз (а+ Ь -~- с) ~ дз [(а+ Ь+ с)з — 3 (аЬ+ Ьс+ ас)[нз. (7) Зги уровни относятся к типу А. Соответствующие нм волновые функции — линейные комбинации функций Ч[„и фзен б. Тожедля а=3. Р е ш е н и е. Секулярное уравнение седьмой степени распадается на одно первой и трн второй степени. Уравнение первой степени дает Е,=(2 — [Н/2 — ) 2дз(а+Ь+с) (8) (уровень типа А). Одно из уравнений второй степени есть уравнение (6) предыдущей задачи (с другим значением з), Его корни Ез,з — — — (а + Ь) + Л~с ~ бе[4 (а — Ь)е + сз + аЬ вЂ” ас — Ьс[н (9) 2 (уровни типа Вт).
Остальные уровни получаются отсюда перестановкой параметров а, Ь, с. б. Определить расщепление уровней системы, обладающей квадрупольиым моментом, в произвольном внешнем электрическом поле. Р е ш е н и е. Выбрав в качестве осей координат главные осн тензора дав/дкг дга (ср, задачу 3, 4 76), приведем квадрупольную часть гамильтониана системы к виду Й = Ага + ВУ з -[- СЗз, А + В ф С = О. Ввиду полной формальной аналогии этого выражения с гамильтоннаном ()ОЗА) поставленная задача эквивалентна задаче о нахождении уровней энергии асимметричного волчка, с тем лишь отличием, что теперь сумма коэффициентов А + [- В -(- С = О, а момент ыожег иметь и полуцелые эначеиик.
Дли последних вычисления должны быть произведены тем же способом заново, а дав'целых Х 4. То же при 1 2 Р еш е н и е. Секулярное уравнение питой степени распадается на трк уравнения первой н одно второй степени. Одно из уравнений перми( степени дает з 4з4] ВзАимодеЙОТВие кОлеБАний и ВРАшения молекулы щ можно воспользонаться результатами задач 3 — 5.
Окончательно получим еле ду4ощие значения смещения ввергни ЬЕ для нескольких первых значений Л 4=)! АЕ= — А, — В, — С, у = З)2: АЕ = ~ 12à — (Л*+ И + С ), чг 3 — У 2 АЕ=ЗЛ, ЗВ. ЗС, ~у 6(Л +В +С). Прн 4' = 3)2 уровни знергни остаютсн двукратно вырожденными в соответствии с теоремой Крамерса $60). й 104. Взаимодействие колебаний и вращения молекулы До сих пор мы рассматривали вращение и колебания как независимые движения молекулы. В действительности же одновременное наличие того и другого приводит к своеобразному взаимодействию между ними (Е.
Те)(гг, Е. Тгзга, 6. Р1асге)г, 1932— 1933). Начнем с рассмотрения линейных многоатомных молекул. Линейная молекула может совершать колебания двух типов (см. конец й 100) — продольные с простыми частотами и поперечные с двукратными частотами. Нас будут интересовать сейчас последние. й(алекула, совершающая поперечные колебания, обладает, вообще говоря, некоторым моментом импульса. Это очевидно уже из простых механических соображений '), но может быть показано и квантовомеханическим рассмотрением. Последнее позволяет также Определить и возможные заачения этого момента в данном колебательном состоянии, Предположим, что в молекуле возбуждена какая-либо одна двукратнан частота ю .
Уровень энергии с колебательным квантовым числом о вырожден (оа + 1)-кратно. Ему соответствует Оа + 1 ВОЛНОВЫХ фУНКЦИН гиксе = сопз1 ехр ~ — 2 са ((га! + (газ) ~ г2 за (сна!) Оса, (!а'саз) ! 2 2 2 (где о„, + п, = о ) или какие-либо любые их независимые линейные комбинации. Общая (по ()„! и 4',)„) старшая степень воли- нома, на который умножается экспоненциальный множитель, Ъо всех этих функциях одинакова и равна о„. Очевидно, что всегда ') Так, даа взаимно перпендикулярных поперечных колебаияя с разностью 4!аз в нгй мох!но рассматривать кзк чистое врааение изогнутой маг!скулы вокруг проаааьной оси.
многолтомиьш молвкглы 1гл. хгн можно выбрать в качестве основных функций линейные комбинации функций ф„,, вида 1 2 2 2 222 2 = сопз!'ехР ~ х са(юк!+ (~я2)) х "а+ 2 а 2я 2м Х Яа! + Й)а2) (Юа! — Жи2) + ° ° ° ' (104,1) В квадратных скобках стоит определенный полипом, из которого мы выписали только старший член. 1„есть целое число, могущее принимать ц„+ 1 различных значений: 1,„= и„, ц„— 2, п,„— — 4, ...— о,„. Нормальные координаты 9„2, 9„2 поперечного колебания представляют собой два взаимно перпендикулярных смещения от оси молекулы. При повороте вокруг этой оси на угол ф старший член полинома (а с ним и вся функция ф„ 2 ) умножится на ехр (1ф ( Х ) (ф ( " Х " )~ = ехр(11,2ф). Отсюда видно, что функция (104,1) соответствует состоянию с моментом 1„ относительно оси.
Таким образом, мы приходим к результату, что в состоянии, в котором возбуждена (с квантовым числом о ) двукратная частота ь2„, молекула обладает моментом (относительно своей оси), пробегающим значения !а=па~ оа 2~ оа 4~ 2 ша (104,2) О нем говорят, как о колебательном мименл2е молекулы. Если возбуждено одновременно несколько поперечных колебаний, то полный колебательный момент равен сумме ~1, Сложенный с электронным орбитальным моментом, он дает полный момент 1 молекулы относительно ее оси. Полный момент импульса молекулы У (как н у двухатомиой молекулы) не может быть меньше момента относительно оси, т. е. пробегает значения У = ~1~, ~1~ + 1, Другими словами, состояний с 1 = О, 1, ..., ~! ! — ! не существует. При гармонических колебаниях энергия зависит только от чисел о„и не зависит от 1„. Вырождение колебательных уровней (по значениям 1„) снимается при наличии ангармоничности.
Снятие, однако, неполное: уровни остаются двукратно вырожденными, причем одинаковой энергией обладают состояния, отличающиеся одновременным изменением знака всех 1 и 1; в следующем (по- еле гармонического) приближении в энергии появляется квадратичный по моментам 1„ член вида Е К.а(«1» а,в (п„а — постоянные). Это остающееся двукратное вырождение снимается эффектом, аналогичным Л-удвоению у двухатомных молекул.
Переходя к нелинейным молекулам, необходимо прежде всего сделать следующее замечание чисто механического характера. Для произвольной (нелинейной) системы частиц возникает вопрос о том, каким образом можно вообще отделить колебательное движение от вращения, другими словами, что следует понимать под «невращающейся системой», На первый взгляд, можно было бы подумать, что критерием отсутствия вращения может являться равенство нулю момента импульса: ~„т[гч] = 0 (104,3) (суммирование по частицам системы).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
