Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика. Т. 3. Квантовая механика (нерелятивистская теория) (1185132), страница 101
Текст из файла (страница 101)
ления. Тот факт, что 0 содержится в Рч, означает, следовательно, что !Оьм) ') содержит в себе по крайней мере одно из неединич. ных колебательных представлений 0„, что и требовалось дока. зать. В изложенных рассуждениях, однако, еще предполагалось, что в разложении представления Оои) по неприводимым представлениям подгруппы Н имеется одномерное. Это предположение выполняется в подавляющем большинстве случаев. Так, оно заведомо справедливо, если Н = фффСз, (поскольку все неприводимые представления этих групп одномерны). Оно заведомо справедливо и при Н = С„, С„, с и > 2, если размер.
ность Вон) нечетна (поскольку группы С„, С„, имеют лишь одно- и двумерные неприводимые представления). Рассмотрение таблиц характеров неприводимых представлений точечных групп показывает, что исключением являются двумерные представления кубических групп С = О, Тз, О„по отношению к подгруппам Сз Сзь Будем говорить для определенности о группе С = О и под.
группе Н = С, (что отражается только на обозначениях представ- ') Утверждение состоит вообще в следующем. Пусть одно н то же представ. ление (размерности г) подгруппы Ут осуществляется различнымн наборами базисных функций, и пусть один нз этих наборов при примененви к нему всех преобразований группы 6 порождает представление последней с размерностью з) (где з — индекс подгруппы гг в группе 6). Тогда можно утверждаггь что представление группы 6, порождаемое тем же способом из любого другого из укнзанных ааборсв функций, либо совпадает с первым, либо целиком содержится в нем. Строгое доказательство этого утвержденна дано в ннтируемой аа преды. Лушей странице статье.
[гл. хгн многодтомныв молвкулы лений). Две электронные функции ф,, фе осуществляют представление Оып = Е группы О, и они же — представление с(ып = Е подгруппы С,. Представление же подгруппы С„осуществляемое произведениями фт„трет, ер,ф„есть (Е'1 = А + Е. Такое же представление подгруппы С, осуществляется тремя компонентами векторов произвольного смещения (1, ядра а в качестве базиса„ ПредставлениеО„группыОесть вданномслучае О = (О~ Ое) = = А, + Е; оно не содеРжит в себом пРедставлениЯ гге, отвечающего вектору переноса или поворота молекулы как целого, и содержит (наряду с единичным) также и неединичное представление.
Поэтому тот факт, что О, содержится (по тем же причинам, что и выше) в представлении ОО (в данном случае Зв-мерном), доказывает неустойчивость молекулы и в этом случае '). В соответствии с оговоркой в начале этого параграфа во всем предыдущем изложении вырождение электронных состояний подразумевалось имеющим чисто орбитальное происхождение. Укажем, однако, что теорема Яна — Теллера остается справедливой и при учете спин-орбитальных и спин-спиновых взаимодействий, с тем лишь отличием, что в молекулах (нелинейных) с полуцелым спином не приводит к неустойчивости двукратное к(амерсовское вырождение — в соответствии с общей теоремой, доказанной в Э 60. Последнему случаю отвечают двумерные двузначные не- приводимые представления двойных точечных групп.
В отсутствии неустойчивости в этом случае можно убедиться уже следующим формальным образом. Для выяснения правил отбора матричных элементов (102,3) в случае двузначных представлений Опи~ надо рассматривать не симметричные, а антисимметричные произведе. ния (Оопт) (см, 3 99). Но для всех двузначных неприводимых представлений с размерностью 2 эти произведения совпадают с единичным представлением, т. е.
заведомо не содержат в себе представлений, отвечающих каким-либо не полно-симметричным колебаниям молекулы. $103. Квантование вращения волчка Исследование вращательных уровней многоатомной молекулы часто затрудняется необходимостью рассматривать вращение одновременно с колебаниями. В качестве предварительной задачи мы рассмотрим вращение молекулы как твердого тела, т. е.
с «жестко закрепленными» атомами (волчок). Пусть йт(ь — система координат с осями, направленными вдоль трех осей инерции волчка и вращающаяся вместе с ним. Соот- ') Еше один исключительный случай составляют четырехмерные представ- ленни икосаэдрнческих групп. Зтот случай рассматривается аналогичным образом и приводит к тому же результату. з 1ов1 КВАНТОВАННВ ВРАЩВНИЯ ВОЛЧКА 4В1 ветствующий гамильтониан получается заменой компонент 1м 1„, 11 его момента вращения в классическом выражении для энергйи соответствующими операторами: Ае 1~,' 1я У,' '1 (103,1) где !А, 1н, !о — главные моменты инерции волчка, Правила коммутации для операторов 1м 1„, 11 компонент момента во вращающейся системе координат не очевидны, так как обычный вывод правила коммутации относится к компонентам 1„ 1н, 1, в неподвижной системе координат.
Их, однако, легко получить, воспользовавшись формулой (За) (ХЬ) — (1Ь) (За) = — 11(ВЬ), (103,2) где а, Ь вЂ” два произвольных вектора, характеризующих данное тело (и коммутативных друг с другом). Эту формулу легко проверить, производя вычисление левой стороны равенства в неподвижной системе координат луг с помощью общих правил коммута. цни компонент момента друг с другом и с компонентами произвольного вектора. Пусть а и Ь вЂ” единичные векторы вдоль осей $ и 11.
Тогда [аЬ) — единичный вектор вдоль оси ~, и (103,2) дает 111е — 1е11 = — 111. (103,3) Аналогично получаются еще два соотношения. Таким образом, правила коммутации операторов компонент момента во вращаю. щейся системе координат отличаются от правил коммутации в неподвижной системе лишь знаком в правой стороне равенства '). Отсюда следует, что и все полученные ранее из правил коммутации результаты для собственных значений и матричных элементов имеют место и для 1м 1„11 с той лишь разницей, что все выражения надо заменить комплексно нм сопряженными. В частности, собственные значения 11 (которые будем обозначать в этом параграфе буквой й в отличие от собственных значений 1, =- М) пробегают значения 11 = — 1, ..., + 1, где 1 (целое число!) — величина момента волчка. Шаровой волчок Нахождение собственных значений энергии вращающегося волчка наиболее просто для случая, когда все его три главных ') Это обстоятельство — вырагкенне того факта, что в отношении воадей.
ставя иа волновуш фупкцшо волчка поворот системы хра вивнвалентеп обратному повороту системы яиь. многолтожныв молвктлы !гл хем момента инерции одинаковы: ул = lв = 1с = 7. Для молекулы это имеет место в тех случаях, когда она обладает симметрией од- ной из кубических точечных групп.
Гамильтониан (103,1) принн. мает вид Ьт Π— У 2Г и его собственные значения равны 2! ( + ( 103,4) Симмвглричный волчок Не представляет труда также и вычисление уровней энергии в случае, когда лишь два из моментов инерции волчка совпадают: гл — — гв Ф !с. Это имеет место для молекул, обладающих одной осью симметрии более чем второго порядка. Гамильтониан (103,1) приобретает внд ат т а, де т аа а «а!! гт л Н = — „' (/г+л'ч)+ —.Iс = —,Л + — ( — — — ~/с. (103,5) 2! 2гс 2/л 2 ( гс гл Отс!ода видно, что в состоянии с определенными значениями У и А энергия равна аа втг! !ч Š— У (У + 1) + — ~ —, — — ) А', (103,0) чем и определяются уронив энергии симметричного волчка.
Вырождение по значениям й, имевшее место для шарового волчка, здесь оказывается частично снятым. Значения энергии совпадают лишь для значений Ф, отличающихся только знаком, чтгв соответствует взаимно противашьложным направлениям момента относительно оси волчка. Поэтому уровни энергии симметричного волчка при й ~ 0 двукратно вырождеиы. Стационарные состояния симметричного волчка яарактери. зуются, таким образом, тремя квантовыми чпсламп: моментом г и его проекциями на ось волчка (лс — — й) н на фиксированную в пространстве ось г(У, = М); от последнего числа энергия волчка не зависит.
Отметим в этой связи, что сам факт одновре. г) Здесь и ниже ны отвлекаемсв ог всегда имеющего место 4гввически несу. ществевного (2л + !1-кратного вырождении но наираалсииам момента относи. тельно неподвижной системы координат. С его учетом нолиаи кратность ныршкдении уровиеа ввергни шарового волчка есть (2а + !)а. Кагкд!!й из этих уровней энергии вырожден по 2У + 1 иаправ. лениям момента относительно самого волчка (т.
е. по значениям ,г' = к) ') квантования вращения волчка з пм~ менной измеримости величины момента и его проекций на фиксированную в пространстве и на жестко связанную с физической си. стемой оси ') следует из того, что операторы )я и Х, коммутативны не только друг с другом, но и с оператором Уг = Яп (и — единичный вектор вдоль оси ь). Это обстоятельство легко проверить непосредственным вычислением, но оно очевидно и заранее.
Оператор момента сводится к оператору бесконечно малого поворота, а скалярное произведение Зп двух связанных с волчком векторов инвариантно по отношению к любому повороту системы координат. Задача об определении волновых функций стационарных состояний симметричного волчка сводится, следовательно, к нахождению общих собственных функций операторов )Я, 7„Ус. В свою очередь этот вопрос математически тесно связан с законом преобразования собственных функций момента при конечных вращениях. Изменив обозначение квантовых чисел, напишем этот закон (58,7) в виде фц, =- ~ Оем(а, р, у)ф„в.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
