Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика. Т. 3. Квантовая механика (нерелятивистская теория) (1185132), страница 102
Текст из файла (страница 102)
(103,7) Будем понимать под ф,м волновую функцию состояния волчка, описываемого но отношению к неподвижным координатным осям хуа, а под. фд — волновые функции состоянии, описываемых но отношению к связанным с волчком осям чт)ь. Но в координатах„ жестко связанных с физической системой (волчком), величины ф „ имеют определенные значения, не зависящие от ориентации системы в пространстве; обозначим их как фй. Формула же (103,7) будет давать угловую зависимость функций фкм.
Пусть теперь состояние ) 7М) обладает также и определеийым значением й проекции момента на ось ~. Это значит, что из всех величин фй будет отлична от нуля лишь одна — с заданным значением й. Тогда сумма в (!03,7) сведется к одному члену: Тем самым найдена зависимость волновых функций срстояннй ),)Мй) от углов Эйлера, определяющих поворот осей волчка по отношению к неподвижным осям. Нормируя волновую фуикцщо условием ~ ) фдд, )Я з1п ~ с(а ф с(у 1, к) Ве смыпиввть с проекциями (пе измеримыми одиовремевво) вв хве фив. сироваппые в пространстве оси! (гл.
хгм многолтомныв молвкклы будем иметь ф/мз 1 !г зпз )ЙЯ (се~ 8~ У) .з ° / 21+ 1 Ы1 (103,8) Асимлгетричнагй волчок При !л ~ )в ~!о вычисление уровней энергии в общем виде невозможно. Вырождение по направлениям момента относительно волчка здесь снимается полностью, так что данному у соответствует 27 + 1 различных невырожденных уровней, Для вычисле. иия этих уровней (прн заданном l) следует исходить из уравнения Шредингера, записанного в матричном виде (О. К!в(гт, !929). Это делается следующим образом.
Волновые функции фза состояний волчка с определенными значениями У н ь-проекции момента — это найденные выше функции (103,8) (индекс г-проекции момента М, от которой энергия не зависит, для краткости ниже опускаем); в этих состояниях энергия асимметричного волчка не имеет определенных значений. Напротив, в стационарных состояниях не имеет определенных значений проекция )м т. е.
уровням энергии нельзя приписать определенных значений й. Волновые функции этих состояний ищем в виде линейных комбинаций ф,= ~с„фзз (! 03,9) (подразумевается, что все функции — с каким-либо одинаковым для всех значением М). Подстановка в уравнение Шредингера Ифз = Езф„ приводит к системе уравнений ~~ ((,)й~ Н),(й') — Еб, )с ° = О, а условие разрешимости этой системы дает секулярное уравнение 1(Л1Н'1,!Ы') — Ебьз ) = О. (!03,11) Корни этого уравнения определяют уровни энергии волчка, после чего система уравнений (103,10) позволит найти линейные з) Прямой вывод выражения (108,8), без обращении к теории конечиыи вращений, см, в задаче 1 к згому параграфу.
О вычислении магри шых злемеатов различных величии по волновым функциям (108,8) см. б!10,87 (соответствующие формулы отлнчиотся от формул дла двухатомной молекулы (без спина) лишь обозначением квантовых чисел — ср, примечание на стр. 876), фазовый множитель выбран так, чтобы прн А = 0 функция (103,8) переходила в собственную функцию свободного (никак не связан* ного с осью ь) целочисленного момента ! с проекцией М, т.
е. в обычную (сферическую) функцию (ср. (58,25) '). $1331 КВАНТОВАНИЕ ВРАШЕНИЯ ВОЛЧКА 485 комбинации (103,9), диагонализующие гамнльтониан, т. е, волновые функции стационарных состояний волчка с заданным значением У (и М). Вычисление же матричных элементов какой- либо физической величины по этим волновым функциям сводится, таким образом, к матричным элементам симметричного волчка. Операторы 12,,(ч имеют матричные элементы только для переходов с изменением Й на единицу, а Уг — только диагональные элементы (см. формулы (27,13), в которых надо писать У, Й вместо 2 2 2 Е, М). Поэтому операторы Хз, .7 „, 12, а с ними и Н имеют матричные элементы лишь для переходов с й — 2. й, й ~ 2. Отсутствие матричных элементов для переходов между состошп;ямн с четными и нечетными й приводит к тому, что секулярное уравнение степени 2Х + 1 сразу распадается на два независимых уравнения степеней У и 1+1.
Одно нз них составляется из матричных элементов для переходов между состояниями с четными, а другое— с нечетными значениями й. Каждое из этих уравнений в свою очередь может быть приведено к двум уравнениям более низкой степени. Для этого надо пользоваться матричными элементами, определеняымн не с помощью функций 2р22, а с помощью функций + 1 Фа = = (ф22+ 'Ь. -2). ~~з ф22= —,-(ф22-фл-)(й. -0) 2' 2 (103,12) т23 = ф22 Функции, отличающиеся индексом + и —, обладают различной симметрией (по отношению к меняющему знак й отражению в плоскости, проходящей через ось ь), а потому матричные элементы для переходов между ними исчезают.
Следовательно, можно составлять секулярные уравнения в отдельности для состояний + и состояний —. Гамнльтониан (103,1) (вместе с правилами коммутации (103,3)) обладает специфической симметрией — он инвариантен по отношению к одновременному изменению знака любых двух из опе. ратороз Уы У„,,72. Такая симметрия формально соответствует группе .0 . Поэтому уровни асимметричного волчка можно клас. сифицировать по неприводимым представлениям этой группы. Таким образом, имеется четыре типа невырожденных уровней, соответствующих представлениям А, „„В2 (см. табл. 7, стр.
444). Легко установить, какие именно состояния асимметричного волчка относятся к каждому из этих типов. Для этого надо выяснить свойства симметрии функций 2р23 и составленных нз них 1гл. хгм многохтомвыз молзкглы функцпй (103,12). Это можно было бы сделать непосредственно на основании выражений (103,8).
Проще, однако, исходить из более обычных сферических функций, заметив, что ~ю своим свойствам симмегрни волновые функции состояний с определенными значениями цроекцин момента на ось ь совпадают с собственнымн функциямн момента фг» Кд,(0, 1г) е ~»9,г»(8), (103,13) Операцию Сгю можно рассматривать как результат последовательно проведейных инверснн н отражения в плоскости 5ь; первая операция умпожаегфд на ( — Ц~, а вторая (нзмененне знака <р) эквивалентна изменению знака й. Учитывая определение функции Вл„ь (28,6), получим поэтому С»" г ф.а -»( — 1) Фл-».
Наконец, при преобразовании С111 = СзюСР имеем С» т фж-+( — 1)~фг, ». Учитывая этн законы преобразования, найдем, что состояния, отвечающие функциям (103,12), относятся к следующвм тинам снмметрни: четные й — А, нечетные й — В„ е. четные й — В„ е, нечетные й — В;, четные 1, четные,l, нечетяые (103, И) четные й — В„ нечетные й — В„ .1, четные й — А, ,/, нечетные й — В,. четные е, четные е', нечетные нечетные Путем простого подсчета легко найти число состояний каждого тина прн заданном значеннн Х. Имепно, тнпу А н каждому где О, ф — сферическне углы и осях $«)ь, а знак означает здесь слова «преобразуется как»; комплексное сопряжение в (103,13) связано с нзмененным знаком в правых сторонах соотношений коммутация (103,3).
Поворот на угол и вокруг оси ь (т. е. операция симметрии С<0) умножает функцию (103,13) на ( — 1)»: СР: ф,—.( — ц" ф.. из типов „„В, соответствуют следующие числа сос!тояний: в„в„в, — +1 у 2 Чеэиые у (103,15) у+ ! у — 1 2 Нечетные з У асимметричного волчка имеют место правила отбора для матричных элементов по отношению к переходам между состоя. пнями типов А, „„В,, которые легко получить обычным способом из соображений симметрии. Так, для компонент векторной физической величины А имеют место правила отбора: А,: А-В!11, ВР-В,'"', Ач: А Вэ!"> В(ь! Вз !т » А,: А-В",-', ВР'-Вз" (!03,16) (для ясности указываем в виде индекса у символа представления ось, поворот вокруг которой имеет в данном представлении ха. рактер +1). Задачи 1.
Пайти волновые функции состояний ) гМЙ) симметричного волчка прнмым вычислением как собственных функций операторов зз, Х„71 (г. ]се(сае, Н. гтодетосзег, 1926). Р еже н и е. Имен в виду получить ф „в функции углов Эйлера а, б, т, надо выразить через инх операторы проекций момента на неподвижные оси куз. Поскольку оператор проекции момента на какую-либо ось есть — ]д/дф, где ф угол поворота вокруг этой оси, то можно написать д д . д Ук= ! ю ~у ! э Уз 1 э к= д ю д э з д э где ф„, фз, ф, — углы поворотов вокруг соответствуиицнх осей. Производные по этим углам можно выразить через производные по а, б, т, вспомнив, что бесконечно малые повороты складываются как венторы (направленные вдоль осей поворотов). Направлении векторов ба, бр, бу бесконечно малых поворотов, описываемых в зйлеровых углах, показаны на рис.
20 (стр, 262) Проецируя мх иа неподвижные оси хуг, найдем углы поворотов вокруг этих осей в виде бра = — з ]п а бр + сов а Мп р бу, бфз — — соз а б(] + з!п а з!п б бу, бфт = ба + соз 1] Ьу. $1ЕЗ] кВАНТОВАннв ВРАщения ВОлчкА Азу (гл, х|н многодтомные молекнлы Отсюда обратно ба = — с12 () соз а бу„— с(Е () Мп а б рв + Гьрю бб = — Мп аЬря+ сов абри, сов а з|п а бу = — !зря+ —. бврв.
—,|,8 «,;,() С вомощью этих выражений находим / д д сова д т 1„= — ! ( — сов а с18 (1 — — Мп а — ! да дб з1п(! ду)' / д д Мна дх 1в — — — г ( — з|п а с18 Р— + соз а — -(- —. да дб я!и() ду ) ' д 1, — | —. да Прн воздействии на функцию ф „операторы 1, — /д/да и 1 — й)/ду (у есть угол поворота вокруг оси ь!) ваменяются на М и й (соответствующая зависимость волновой функции ог углов Эйлера а и у дается множителем ехр (!аМ + |уй)). Посве этого будет гагд й 1+ —— ,/„+//в=е ( — — Мс(й() -(-— 'т дб в!пй / ' — г / д й 1 = 1я - 1/в -— е ( — — — М с18 8+ —. дР з!пр/' Дальнейший вывод в точности соответствует выводу, произведенному в конце 5 28.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
