Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика. Т. 3. Квантовая механика (нерелятивистская теория) (1185132), страница 107
Текст из файла (страница 107)
Действительно, если опустить все спинорные индексы (среди которых ! + Л( единиц и ! — т двоек) у )!)()) и поднять у ф(з), то скаляр (106,3) умножится на ( — 1)'), т. е. при полуцелом 1 изменит знак. Далее, рассмотрим систему с равным нулю полным моментом, составленнУю из тРех частиц с моментами 1„ )„ )з и их пРоек- з ззю з~ сим вол ы циями лзм т„тз. Условие равенства полного момента нулю подразумевает, что т, + т, + т, = О, а 1„1„1з имеют такие значения, что каждое из ипх может получиться в результате векторного сложениЯ двУх дРУгих, т.
е. геометРически 1п 1„1з должны быть сторонами замкнутого треугольника; другими словами, каждое из них не меньше разности и не больше суммы двух других: 11,-1«! ~!«~1«+1з и т. д. Очевидно, что алгебраическая сумма 1, +1« + (з является при этом целым числом. Волновая функция рассматриваемой системы имеет вид суммы Йюй з,тз тз тз/ «з 'з««~« взЯтой по значениЯм каждого из т, в пРеделах от — 1« до /,.
Коэф-фициенты в этой формуле называют 3(сеимволаззи Вагнера. По определению, оци отличны от нуля только прн условии т,+т +т =О. При перестановке индексов 1, 2, 3 волновая функция (106,4) может измениться лишь на несущественный фазовый множитель. Фактически 31ьсимволы могут быть определены как чисто вещественные (см, ниже) и тогда неоднозначность ф, может заключаться лишь в неопределенности ее общего знака (как это имеет место и для функции (106,2)).
Это значит, что перестановка колонок 31'-символа может либо оставлять его неизменным, либо менягь его знак. Наиболее симметричный способ определения коэффициентов в сумме (106,4), которым и принято определять 31-символы, заключается в следующем. В спинорных обозначениях з)з представляет собой скаляр, составленный как произведение трех спиноров з)пз'4'", ф<п зя-", ф«з> зя ", упрощенное по всем парам индексов, каждая нз которых относится к двум различным спппорам. Условимся, что в каждой паре, относящейся к частицам ! и 2, спииорный индекс будет писаться сверху у з(ч'> и снизу у ф<зз; в па~е, относящейся к частицам 2 и 3, — сверху у ф4 и снизу у зрз з; в паре, относящейся к частицам д и 1, — сверху у «р'з> и снизу у ф<0 (легко подсчитать, что всего имеется соответственно 1, + )з — 1з, 1з + 1', — 1, и 1, + 1', — )з паР каждого из этих «сортовз).
Зтим правилом знак фз устанавливается однозначно. Очевидно, что при таком определении циклическая перестановка индексов 1, 2, 3 оставляет чз неизменной. Зто значит, что Зз-символ не меняется при циклической перестановке его столбцов. Перестановка же двух (любых) индексов приведет, как легко сообразить, к необходимости поднять нижние и опустить верхние [Гл, х н/ СЛОЖЕНИЕ МОМЕНТОЗ индексы во всех !, + !', + 1, парах. Это значит, что ф, умножится на ( — 1))с+б+сс; другими словами, 3!-Символы обладают свойством ( !' ~1 = ( — 1)"+!'+!* ) !' !' !' 1 и т.
д., (106,5) псэ лсс тэ/ ттэ сяэ сссэ/ т. е. Меняют знак при перестановке двух колонок, если !', + !, + + 1, — нечетное число. Йакопец, лстко видеть, что й й !э 1 ( 1)),+!.+!. (1, !э !э 1 (106,6) (' '1= * ° ( ' '1. тэ тэ/ (т, сп, тэ/ ' Действительно, изменение знака г-компонент всех моментов может рассматриваться как результат поворота на угол и вокруг оси р.
Но такое преобразование эквивалентно поднятию всех нижних и опусканию всех верхних спинорных индексов (см. (58,5)). От выражения (106,4) можно перейти к важной формуле, определшощей волновую функцию ф!,„системы, состоящей из двух частиц и обладающей заданпымн значениями ! и т. Для этого будем рзссматривать совокупность частиц ! и 2 как одну систему. Поскольку момент 1 этой системы вместе с моментом )з частицы 3 складывается в равный нулю суммарный момент, должно бьль у = !эн т = — сгсз. Согласно (106,2) можно тогда написать Фо =.,—. Е ( — 1)' ф!тф~с,'-т (106,7) )с2!+ ! эс Эту формулу надо сравнить с выражением (106,4) (в котором пишем !, — сп вместо !„сл,).
При этом, однако, надо предварительно учесть, что правило составления суммы в (106,7) согласно (106,3) не соответствует правилу составления суммы (106,4): для приведения (106,7) к (106,4) надо, как легко сообразить, переставить верхние и нижние индексы в парах, соответствующих частицам! и 3; это приводит к появлению дополнительного множителя ( — 1)'-! +! . В результате получим ') [Р)т = ( — 1) ' ' )с 2!!' -)- 1 '~ (' ~) ф[ слэЯ~[,т,с (106,8) ттс тэ — т/ эсс, тс где суммирование по ит и тэ производится с учетом условия тт+ тэ т э) Ври обратессин времена волвовме фунипив заменяются согласно (бй,2); ф! -«( — 1)' т'Ф), Легко пРовеРита, что гРн таком пРеобРазованни фУниций ф! т, ф! т в пРавой сзороссе ([йб,й) таким же образом преобразуется и функция Ф!т в левой стороне, а1-символы $ )ее) Формула (106,8) дает искомое разложение волновой функции системы по волновым функциям обеих частиц, обладающнх определенными моментами (т и 1 .
Ее можно записать в виде чьгт Е (тете) )т> ер)1,е1~ ть> т е те т епь (106 9) т~ту Коэффициенты (т,те )~т> = ( — 1)1' '*+ >''2у+ 1 (1' ~е ~ ) (106 10) составляют матрицу преобразования от полной ортонормированной системы (21, + 1) (21, + 1) волновых функций состояний '1т,те> к такой же системе волновых фУнкций сосгоЯний ~)т) (пРи заданных значениЯх )м )е). Их называют коэффициентами лекпшрного слолееная илн коэ$финиэятами Кдебша — Гоедпна. Обозначение символом (т,те ~ (т> соответствует общему способу обозначений коэффициентов разложения одной системы функций по другой согласно (11,18).
Для упрощения записи мы опустили в этом символе совпадающие в обеих системах функций квантовые числа 1„)е; при необход{мости эти числа включаются в обозначение: (1тт,)ете ! )е)Дт) '). Матрица преобразования (106,9) унитарна (см. 5 12). Поэтому коэффициенты обратного преобразования 1а+1е ф~1,'т,ф)~т, = ~ <), т~+те~т~те>ф1, т,~ет, (106,1!) 1=!о П 1 комплексно сопряжены с коэффициентами преобразования (106,9). Мы увидим ниже, что эти коэффициенты вещественны; поэтому просто (т,те '1! т> = (! т '1 тетя).
Согласно общим правилам квантовой механики квадраты коэффициентов разложения (106,11) определяют вероятности системе иметь те или иные зиачениЯ 1, т (пРи заданных )м т, и (е, тД. Унитарность преобразования (106,9) означает, что его коэффициенты удовлетворяют определенным условиям ортогональпостн. Согласно формулам (12,6) — (12,6) имеем Х (т,т, ) )т) (т,те ~ 1'т') = то те =(1+) мЕ Сап,'т, 'т)ст,'и, 'т)= 11 --"( ~ ) ") В лнтерагуре ненользуетея также обозначение 1т 1т Ст т нлн Сгт1т для коеффнцлеатон Клебша — Горлана.
(гл. хзч СЛОЖЕНИЕ МОМЕНТОВ 610 11„(т,тт )/т) (т,т; ~ /т! = / Явное Общее выражение 3!-символов довольно громоздко. Оно может быть представлено в виде') й ! 6 ~ Г(/ + ~ — 6)1(! — / +6)'( — й+/з+/з)1)1/з ( . ! 1 1 х глз «з ~лз! 0т+ /з+/з+ 1)1 Х!(/т + тт)10т — т)! (/з+ тэ)1 (!', — т) ! (!з+ з) !(!з — тз) !)Иа Х х ~з П( — 1)'"" '* *1 (г ! (/т + !, — 1, — г) ! (/, — т, — г)1 х х (!з+ ™а — а)1(/з — ! + тт+ а) !((з — Уз — та+ а)!) ) (106.14) Суммирование производится по всем целым числам г; однако, поскольку факториал отрицательного числа равен со, число членов в сумме фактически конечно.
Коэффициент перед суммой явно симметричен по индексам 1, 2, 3; симметрия же суммы выявляется после соответствующего иереобозначення переменной суммирования г. Помимо свойств симметрии (106,5), (106,6), следующих простым Образом из определения 3!-символов, последние обладают еще н другими свойствами симметрии, вывод которых, однако, более сложен, и мы его здесь не приводим. Эти свойства удобно формулировать, если ввести квадратную (ЗхЗ) таблицу чисел, связанных с параметрами Зг-символа следующим образом: /з+/з — !з !з+/т — !з !з+!з — /з й тз !з тз /з тз !э+лзз !з+тз !а+ та (106,1$) з) Коэффициенты разложения (106,9) были впервые вычислены Вигнерозз 1961).
Свойства же симметрии этия коэффициентов и симметричное выражение 166,14) для иил найдены Ра»а (О, (гасил, 1949). Наиболее прямым путем вычисления является, вероятно, прямой переход от спннориого представления фз (наале. жащим образом нормированного) к представлению в виде суммы (106,4) с помощью формулы соответствие (67„6) (заметим, что вещественность коэффициента в этой формуле автоматически приводит к вещественности 3/-символов). /(ругов вывод дао в книге Эдмолдса (см. примечание иа стр. 264), Из этой же книги взята приведенная ниже таблица 3!-символов.
(сумма чисел в каждой строке и каждом столбце втой таблицы равна !, + /з + /з). Тогда: 1) перестановка любых двух столбцов СЛОжКНН3 МОМЯНтОВ 512 Формулы ллв 3/-слмволов ( — )= / + !/2 / 1/2 ~ / т !/г ( / — и — 1/2 1!/г т — т — 1/2 1/2/ ( (2/ + Ц (2/ + 2) ) /=( — Ц/ (т — т — лгз тв) 2/л [2/(2/+ Ц (2/+ 2Ц!/г '.1 2 Ц+ и+ Ц Ц т ! Ц1г/г (2/+ Ц (2/+ 2) (2/ + 3) /+1 т,=! 4.!/г / /, / 3/2 ! (т — т — глв тв / ив !/г 1 зт 3/2 " / и+ 1/2 2 ( 2/ (2/+ Ц (2/ + 2) (2/ + 3) ) 3 ! (3 Ц вЂ” т+ 1/2) (/ — и т 3/2) (/+ т -/- 3/2) 1!/г 2 ! ( (2/ + и (2/ + 2) (2/ + 3) (2/ + !) т, =.а/г 3 (/ — т — 1/2) Ц вЂ” и + !/2) (/+ т + 3/2) !/г 2/ (2/+ Ц (2/ 2) (2/+ 3) [ (/ — т — 1/2) Ц вЂ” и + !/2) (/ — т + 3/2) 1!/г / и /г / 2~ 2~ т — т — т, т,/ т,=в 2 (Злр — / (/'+ Ц) 1(2/' — Ц 2/' (2) 4- Ц (2/+ 23 (2/+ 3) !!/г 1 /+— 2 3 /+— 2 2.(/' — т) Ц+ т+ Ц ]!/г 2/(2/+ Ц(2/+ 2) (/' — и) Ц вЂ” т+ Ц 1!/г .+ ''' '-' '.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
