Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика. Т. 3. Квантовая механика (нерелятивистская теория) (1185132), страница 108
Текст из файла (страница 108)
+ 1 (2/ + Ц (2/+ 2) (2/+ 3) (2 /+ !) 1гл. х!у Таблица 9 з/.символы !Оа! 513 Т а б л и ц а 9 (продолжение) -"[ 6 (/ + т + ц (! — т + ц 11/2 2! (2! + Ц (2! + 2) (2! + 3) (2!'+ 4) ) 6 (/+ т+ 2) (! + т+ ц (/ — т + 2) (/ — т+ ц 11/2 /+ 1 /+ 2 (2! + Ц (2! + 2) (2/+.3) (2!+ 4) (2/+ 5) (1+ йт) 1!(/+ т+ 1) (/ — т) 11/2 ((2/ — Ц 2/ (2/+ Ц (2! + 2) (2/+ 3)1 (! — т+ Ц (/ — т] 11/2 ( 2/ (2/ + Ц (2! + 2) (2/ + 3) (2; + 4) ! 2 0+ т+ 2) (!' — т+ 2) (! — и -1- Ц (! т)11/2 (2! + Ц (2/ -Ь 2) !2/ + 3) (2/ + 4) (2/ + 5) !+1 /+ 2 6 (! -- т — ц (! — т) (! + т + ц (/ + т + 2) ~ 1/2 [ (2/ — Ц 2/ (2/ + Ц (2/ + 2) (2/ + 3) (! — т — ц (! — т) (/ — т+ ц (!+ 1л+ 2) 1/2 /+ 1 2/(2/ + Ц (2/ + 2) (2/ + 3) (2/ + 4) (! т — ц(/ т)(; — т+ ц(/ — т+ 2) 11/2 /+ 2 (2/+ Ц (2/+ 2) (2! + 3) (2! + 4) (2/ + 5) Задача ф/ =( — ц'+ 1/2У2/+1~( / / )'г/ „,х(п). о Подставив значения 3!-символов, получим р1+1/2, т У .
Х~ — /1 1, — 1/2+ У ° Х~ / 1 У 2! ~2/ ° — У 2/ ~ 2/ ! т+1/2 ч/ ! — т+1 у! 'т р!-1/™ У 2! -)-2 Х~ 2 / ! т-!/2+ ч/ /+т+! / 1 ~ + У 2/+2 Х~ 2/!'!, 4-1/2 Определить угловую зависимость волновых функций частицы со спином 1/2 в состояниях с заданными значениями орбитального момента !, полного момента ! и его проекции т. Р ею е н и е. Задача решается обшей формулой (106,8), в которой надо под ф!" понимать собственные функции орбитального момента (т, е. сферические функции г'/т!), а под ф!21 — спиновую волновую функцию у. (и) (где о = ~1/2): слОжение ИОмевтои !гл. хзи и 107. Матричные злементы тензоров В 5 29 были получены формулы, определяющие зависимость матричных элементов векторной физической величины от значения проекции момента. Эти формулы являются в действительности частным случаем общих формул„решающих такую же задачу для неп вводимого (см, стр.
260) тензора любого ранга '). овокупность 2й + 1 компонент неприводимого тензора ранга й (й — целое число) по своим трансформационным свойсгвам зквивалентна совокупности 2й -)-! сферических функций г'ьа (д = — й, ..., й) (см. примечание') на стр. 260). Зго значит, что путем составления соответствующих линейных комбинаций компонент тензора можно получить набор величин, преобразующихся при вращениях как функции У~ . Совокупность таких величин, которые мы будем обозначать здесь посредством )ьа, назовем сферическим тензором ранга й.
Так, вектору соответствует значение й = 1, а величины )т связаны с компонентами вектора следующими формулами: )!о=)а )!. ! =~ — '(а,~(а„) (107,1) 2 (ср. (57,7)). Аналогичные формулы для тензора второго ранга имеют вид lз )20 = — 1' аезю з ! )з, яз = — — (а„— а„з-ц 2)а,з) 6, я ! = ~ (а.* ~ за,.), (107,2) причем а „+ а„„+ а„б) ').
Составление тензорных произведений из двух (или большего числа) сферических теизоров )в,е„)з,е, происходит в соответствии с правилами сложения моментов, причем й„й, играют формально роль коиоментовз, соответствукнцих зтим тензорам. Таким образом, из двух сферических тензорон рангов й, и йз можно образовать сферические тензоры рангов К = йх + йз~ °" ~ йт — йз ) по фор" мулам Ь1йзя)кс) = «~ (чя*! К)~) Ь~а1йззез а а» =( — 1)ь В+о Г2К + 1 Х( а а К )Ь а»,, (107,3) а,а, з) Разработка вопросов, рзссмзтрввиемых в а )От — !Ов, и большннство нзлзгземых в них результатов принадлежит Рака ()9$х — !943). з) Подрззумевзется, что комплексность величин )за связана только с перекоп!ж к с4ерическим компонентам, т, е, исходные декартовы компоненты тенвора вещественны, $ 1от! мдтричиыа элементы тензорон (ср.
(105„9)). Скалярное произведеиие двух сферических теизоров одииакового ранга 7« припяти, однако, определять как Изйз)оо- Е( — 1)' '7зойз, о, (107,4) что отличается от определеиия по формуле (107,3) с 7(' 1,"( = 0 множителем )Г 2й -)- 1 (ср. (106,2)) '). Это определение можно представить также в виде ВкЬ)а = Е 6,Уь~ если заметить, что комплексное соприжеиие аферического тевзора производится по правилу )во=( — 1) 7з,— (ср. (28,9)) е).
Представление физических величии в виде сферических теизоров в особенности удобно при вычислении их матричных элементов, так как позволяет воспользоваться для этой цели результатами теории сложения моментов. По определению матричных элементов, имеем Ге«ТРцж — — ~~ (и'1'"Гл'17ео ( л)ти) ф» 1 щ, (107,5) 1 где ф„у — волновые функции стационарных состояний системы, характеризуемых величавой ее момента ), его проекцией лг и Набором остальиых квантовых чисел и, По своим траисформациоииым свойствам функции в правой и левой сторонах равенства (107,5) соответствуют фуикциям в правой и левой сторонах ра.
веиства (106,11), Отсюда сразу следуют правила отбора: Матричные элементы компонент 7ао иеприводимого теизора ранга Й отличны от нуля лишь для переходов ~т -~ )'т', удовлетворяющих «правилу сложения момеитовз 1' = ) +. )«; при этом числа 1', 1, й должны удовлетворять «правилу треугольника» (т. е.
могут измерять стороны замкнутого треугольника), а т' = = гл + д, В частности, диагональные матричные элементы могут быть отличны от нуля только при условии 27)» 7«. ,г(злее, из той же траисформациоииой аиалогии следует, что коэффициенты в сумме (107,5) должны быть пропорциоиальиы ') Если А и  — два вектора, соответствующих по формулам (107,1) сферическим тензорам /до и дщ, то ()ы,„= АВ. о) Повторим здесь замечание, сделанное выше в свези е формулой (10б,а): при таком правиле комплексное сопрнжеине тензоров рангов й, и йа в правой стороне равенства (1Оу,з) приводит к такому же сопрюкению теизора ранга 7( в его левой стороне, 1гл. хду сложение моментов 616 коэффициентам в (106,11) (теорема Вигнера — Эккарта).
Этим определяется зависимость коэффициентов от чисел т, т', в соответствии с чем представим матричные элементы в виде (п у'т ~Уд ~пут) = 1 ( — 1))мдх и (, У ) (ау !!Уд))пу) (107,6) (у,„— большее из чисел у и у'), где (и'у' //уд))пу) — величины, не зависящие от т, т', д; их называют приведеппылди матричными элементами. Эта формула решает поставленный вопрос об определении зависимости матричных элементов от проекций моментов.
Эта зависимость оказывается полностью связанной со свойствами анмметрии по отношению к группе вращений, между тем как зависимость от остальных квантовых чисел определяется уже физической природой самих величин удч '), Операторы 7д связаны друг с другом соотношениями Удд — ( 1)д-о Уд (107,7) Поэтому для их матричных элементов имеет место равенство (и'У"т'~'Уд ~п)т)'=( — 1)" о(п)т )У ~п'У'т').
(107,8) Подставив сюда (107,6) и воспользовавшись свойствами Зухсимволов (106,5), (106,6), получим для приведенных матричных элементов соотношение «эрмитовости» е) ( и у У д $ и у ) ( п у д 1 п у ) (107,9) Матричные элементы скаляра (107,4) диагональны по у и т. Согласно правилу умножения матриц имеем (п ут ) (уайд)дд ~ пууп) = 2„' ( — 1)д-« ~ (п'Ут)Удч~ п"У т") (п"У т" 1ид,„о~ пУт). я"1- ° Подставив сюда выражения ( 1 07,6) и произведя суммирование по а и т" с помощью соотношения ортогональностн Зу-символов (106,12), получим следующую формулу: (и ут $(ттдйд)оо! пут) = 2у 1 1 ~~~~~ (п у 6удВп уе) (п у 0йд) пу) д"1' (107,10) ") Из полученных результатов, в частности, сразу получаются указанные в б 29 правила отбора лля матричных элементов вектора и формулы (297)— (29,9) лля них. з) Фазовый множитель в определении (107,6) выбран именно так, чтобы обеспечить зто равенство.
З ыв1 а/-с им зол ы В!7 Аналогичным образом легко получить следующие формулы суммирования квадратов матричных элементов: ~~ч~~~~(п'!'т'~7„~! п1т) !' =, !(л'1''17~(п!'))', (107,11) Ябан ~' ~(л?гл !!ад!а?т)! = !(п)'1!ь1п?)!. (!07,12) В первой из них суммирование производится по д и т' при заданном т, а во второй — по т и т' при заданном д (причем всегда т' = т + Ч). Рассмотрим, со справочными целями, случай, когда величинами („ч являются сами шаровые функции Уь~, и дадим выражения их матричных элементов для переходов между состояниями одной частицы с целочисленными орбитальными моментами 1, и 1„ т. е.
интегралов (1~т~)Уг~~!зтз> = ) У~~У~„,УО~,3о. (10?,13) Помимо правила отбора, соответствующего правилу сложения моментов (! -1- 1, = 1г), для этих матричных элементов имеет место также правило, согласно которому сумма ! + 1, -1- 1з должна быть четным числом. Оио связано с сохранением четности, в силу которого произведение четностей ( — 1)и+' обоих состояний должно совпадать с четностью ( — 1)' рассматриваемой физической 'величины (см.
з 30). Матричные элементы (107,13) являются частным случаем более общего интеграла, который будет вычислен в 3 1!О (см. примечание на стр. 526). Они даются формулой В частности, при т, = гп, = гп = 0 находим значение интеграла от произведения трех полиномов Лежандра 1 (р) .(Р) ,(р) й ~ ) . ( ) 1 й 108. 6,/-символы Мы определили в з 106 3!ьсимволы как коэффициенты в сумме (106,4), представляющей собой волновую функцию системы трех частиц с равным нулю полным моментом. С точки зрения трансформационных свойств по отношению к вращениям эта сумма сложения моментов !гл.
хг« 518 является сиаляром. Отсюда следует, что набор 31-символов с заданными значениями ),, )», 1» (и всеми возможными в„в„и») можно рассматривать как совокупность величин, преобразующихся пря вращениях по ззкону, контраградиентному закону преобразования произведений « ' ф,,ф~,,фб„, — так, чтобы обеспечить ин- 4 вариантность всей суммы. В связи с такой точкой зрения можно .$~ / ' . поставить вопрос о построенин скаляра, составленного из одних только 3~-символов. Такой скаляр должен зависеть только от чисел 1, но не от чисел и, меняиици хся при вращениях.
р, 48 Другими словамн, ов должен выражаться н виде сумм по всем числам и. Каждое такое суммирование состоит в «упрощении» произведения двух Зч«имволов по правилу. (108,1) (ср. способ составления скаляра (106,2)). Поскольку з каждом «упрощении» фигурирует пара чисел и, для составления полного скаляра надо рассматривать произведения четного числа 3/-символов. Упрощение произнедения двух 31тсимволов приводит, в силу свойства их ортогоиальности, к тривиальному результату~ ( й l» 1» ~~~ й l» 1» 1( 1)нч.н.ц, д,, „, «ь ~т, и, и») ( — и, — и» вЂ” и»/ т,«ьт« (В ), 1»)2 пью,т, (здесь использовано равенство т, -1- т, -1- т, 0 и формулы (106,6) и (106,12)). Поэтому наименьшее число сомножителей, необходимое для получения нетривиального скаляра, равно четырем.
В каждом 31-символе три числа)составляют геометрически замкнутый треугольник. Поскольку каждое число 1 должно фигурировать, при «упрощеиии», в двух 31чсимволах, то ясно, что при составлении скаляра из произведений четырех 3)ьсимволов имеется 6 чисел г, иоторые геометрически должны изображаться длинами ребер неправильного тетраздра (рис. 45); каждому нз 31-спмволов соответствует одна из его граней. В определении нсиомого скаляра принято определенное условие в отношении про- 5 »оз! а!-символы 5!9 ведения процесса упрощения, выражаемое следующей формулой: й ". ':1=.~. -' ' (-'-'. -'-'.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
