Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика. Т. 3. Квантовая механика (нерелятивистская теория) (1185132), страница 111
Текст из файла (страница 111)
таким образом, гамильтониан частицы, обладающей спинам, имеет вида) ! н!! РРлзнение шеелингееа а млгыитыОы поле И! е е Ъ2 При раскрытии квадрата ~р — — А ] надо иметь в виду, что оператор р, вообще говоря, ие коммутативен с вектором А, являющимся функцией координат. Поэтому надо писать Й = 2 Р' — 2, (рА+Ар) + 2, А — — "ЕН+е!р. (111,6) Согласно правилу коммутации (16,4) оператора импульса с любой функцией координат имеем рА — Ар = — !йс]!чА, (111,6) Таким образом, р и А коммутативяы, если й!ч А = б, Зто, в частности, имеет место для однородного поля, если выбрать его векторный потенциал в виде А = — (Нг].
! 2 (111,7) ЧГ- ЧГехр ( — „~ ~). (111,9) 3та неоднозначность волновой функции не сказывается ни на какой име!ощей физический смысл величине (и определение которой не входят в явном виде потенциалы). В клзссической механике обобщенный импульс частицы связан с ее скоростью соотно!иением ает = р — еА/е. Для того чтобы найти оператор т в квантовой механике, надо прокоммутировать Уравнение И дЧ7У81= ИЧГ с гамильтониаиом (1!1,4) представляет собой обобщение уравнения Шредингера на случай наличия магнитного поля. Волновые функции, иа которые действует гамильтояиан в этом уравнении, — симметричные сниноры ранга 2т.
Волновые функции частицы и электромагнитном поле обладают неоднозначностью, связанной с неоднозначностью потенциалов поля. Как известно (см, 11, 5 18), последние определены лишь с точяостью до калибровочного преобразвваная А-. А+7~, <Р-~ Ю- — г! ! д/ (111,8) где ! — произвольная функция координат и времени.
Такое иреобразование не отражается на значениях напряженностей ноля. Ясно поэтому, что оно не должно существенно изменять также я решений волнового уравяеиня; в частности, должен оставаться неизменным квадрат ] Ч" ]'. Действительно легко убедиться в том, что мы вернемся к исходному уравнению, если одновременно с заменой (! 11,8) в гамильтониаие произвести также и замену волновой функции согласно !гл. хт движение в мАГнитнОм поле 532 вектор г с гамильтонианом. Простое вычисление приводит н результату псу = р — — А, (111,! 0) С в точности аналогичному классическому. Для операторов компо- нент скорости имеют место правила коммутации (1!1,11) (д„д„) = с — ', Н„, которые легко проверить непосредственным вычислением.
Мы видим, что в магнитном поле операторы трех компонент скорости частицы (заряженной) оказываются некоммутативными. Это зна. чит, что частица не может иметь одновременно определенных значений скорости по всем трем направлениям, При движении в магнитном поле симметрия по отношению к обращению времени имеет место лишь при условии изменения анака поля Н (и векторного потенциала Л).
Это значит (см. 2 18 и 60), что уравнение Шредингера Оф = Еф должно сохранить свой вид при переходе к комплексно сопряженным величинам н изменении знака Н. Для всех членов в гамильтониане (111,4), за исключением члена — ЕН, это непосредственно очевидно. Член же — ЕНф в уравнении Шредингера переходит при указанном пре- образовании в Е*Нср", и на первый взгляд нарушает требуемую С инвариантность, поскольку оператор з* не совпадает с — з. Следует, однако, учесть, что волновая функция есть в действи- тельности контрвариантный спинор ф"х ", который при комплекс- ном сопряжении переходит в ковариантный срхх "" (см.
2 50). Ко- итравариантным же является спинор чСАх „. Находя с помощью определений (57,4), (57,5) компоненты (ЕНф)х и выражая их через фх„„, убеждаемся в том, что операция обращения вре- мени приводит к уравнению Шредингера для компонент срА,„ того же вида, который имело исходное уравнение для компо- нент фхх".. в 112. Движение в однородном магнитном поле Определим уровни энергии частицы в постоянном однородном магнитном поле (Л. Д.
Ландау, !930). Векторный потенциал однородного поля удобно выбрать здесь не в виде (111,7), а в следующей форме: Ах= — ОУ> АУ=Ах=О (112,1) (ось г выбрана в направлении поля). Тогда гамильтониан при- обретает вид 2 2 Н = — ~~р, + — у) + — "+ — ' — — Е,Н. (112,2) ! Г" еН 22 Ре Р, 2»2 ~ * с ) 2»2 2ее 2 Прежде всего замечаем, что оператор й, коммутативен с гамильтоннаном (поскольку последний не содержит операторов других компонент спина). Это значит, что г-проекция спина сохраняется и потому », можно заменить собственным значением е, = о.
После этого спиновая зависимость волновой функции становится несущественной и ф в уравнении Шредингера можно понимать как обычную координатную функцию. Для этой функции имеем уравнение — ~(!4е+ — у) +))е+Я~ф — — "оНф=Еф, (1123) Гамильтониан этого уравнения не содержит явно координат х и г, Поэтому с ним коммутативны также и операторы !З„и б, (дифференцирования по х и г), т, е.
х- и г-компоненты обобщенного импульса сохраняются. Соответственно этому ищем ф в виде ф=е" * )Х(д). (112,4) Собственные значения р„и р, пробегают все значения от — «« до О«. Поскольку А, = О, то г-компонента обобщенного импульса совпадает с компонентой обычного импульса лео,. Таким образом, скорость частицы в направлении поля может иметь произвольное значение„ можно сказать, что движение вдоль поля «не квантуется».
Подставив (112,4) в (112,3), получим следующее уравнение для функции Х (у)! Р2 Х + ае ~(Е+ 2 Н вЂ” „„) — ~ МН(у — Уе) ~Х вЂ” (» (112~6) где введены обозначения уе = — ср„/еН и 1е1Н «>н = —. ее (1 12,6) Уравнение (112,5) по форме совпадает с уравнением Шредингера (23,6) для линейного осциллятора, колеблющегося с частотой «2„.
Поэтому мы можем сразу заключить, что выражение в круглых скобках в (112,5), играющее роль энергии осциллятора, может принимать значения (л+ 1(2) йвн, где л = О, 1, 2,... 2 !22! ДВИЖЕНИЕ В ОДНОРОДНОМ МАГНИТНОМ ПОЛЕ 533 1гл. ху движении в млгнитном поли 634 Таким образом, получаем следующее вьграженне для уровней энергии частицы в однородном магнитном поле: Е=~ +Юй и+ —" — — "' Н.
2у 2гн а Первый член в этом выражении дает дискретные значения энергии, отвечакицие движению в плоскости, перпендикулярной к полю; их называют уровнями Ландау. Для электрона !а/х = = — (х) й/нгс, и формула (!12,7) принимает внд 1 2+ ) и+2т Собственные функции )( (у), отвечающие уровням энергии (112,7), даются формулой (23,12) с соответствующим изменением обозначений (112,8) Действительно, для классического движения по окружности радиуса стог еН (ог — проскпия скорости на плоскость хк; см. 11, й 2!) имеем ра = — ср /еН = — (ст/еН! о„+ р.
Иа етого выражения очевидно, что у, есть координата центра окружности, Дру. гой координатой будет ха (ст/еН! оа -1- х = срг/гН + х. где ан = у й/лтотн ° В классической механике движение частиц в плоскости, перпендикулярной к полю Н (плоскость хр), происходит по окружности с неподвижным центром. Сохраняющаяся в квантовом случае величина уа соответствует классической у-координате центра окружности. Наряду с ней сохраняется также величина х, = (ср„/еН) -1- х (легко убедиться в том, что се оператор коммутативен с гамильтоиианом (112.2)). Эта величина соответствует классической х-координате центра окружности ').
Однако операторы ха и 9а не коммутативиы друг с другом, так что координаты к, и уо не могут иметь одновременно определенных значений. Поскольку (112,7) ие содержит величины р„, пробегагощей непрерывный ряд значений, уровни энергии вырождены с непрерывной кратностью. Кратность вырождения, однако,, становится конечной, если движение в плоскости ку ограничено большой, ио конечной площадью Я = 1,„Ьа. Число различных (теперь дискретных) значений р„в интервале Ьр равно (/.„/2ий) Лр„.
Допустимы все значения р„, для которых центр орбиты находится внутри 3 (мы пренебрегаем радиусом орбиты по сравнению о большим /.а). Из условий О < уа < Ьа имеем /др„= еН/ и/с. 1 Нг1 движении В Однородном мАГнитнОИ поле 535 Следовательно, число состояний (для заданных и н р,) есть еНЯ/2лйс. Если область движеяия ограяичена также и вдоль оси г (длиной Ь,), то число возможных значений р, в интервале Ьрз есть (с.„/2пл) Лр, и число состояний в этом интервале есть '"' — "* Лр, =,'/,"„' Лр,. (112,)О) Для электрона имеет место еще дополнительное вырождение.
уровни энергии (112,В) совпадают для состояний с квантовыми числами и, о = 1/2 и и -1- 1, о = — 1/2, Задачи 1. Найти волновые функции электрона в однородном магнитном поле в со. стояниях, в которых он обладает определенными значениями импульса и момента вдоль направления поня. Р е ш е и и ц В цилиндрических координатах р, ф, г с осью г вдоль взирав. пения полн векторный потенциал в калибровке (!!1,7) имеет компоненты Ач /тр/2, Аг = Ар О и уравнение Шредингера г) дз Г 1 д г дфч дзф ! дтфз ("ын дф Мын з р ф=еф 2М (.р др ~ др! дзэ рз дй»з) 2 д'р 8 Ищем решение в виде »р ==с з /з(р) е' е г з/а Уйн и для радиальной функции получаем уравнение М~й "юнш 1 — ( /2'+ — г' — — )1~+(е — — ' — р, — — 1/1 = о. Р Рз У ) 2М 8 2 Введя новую независимую переыенную В (Мюы/2а) рз, переписываем это уравнение в виде 1/!'+ /!'+ ~ — — + Р— — ) Я = о, Р = — ~е — ) 5 4 4В ) ' йы 'Х 2М г' 2 Прв $-».
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
