Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика. Т. 3. Квантовая механика (нерелятивистская теория) (1185132), страница 114
Текст из файла (страница 114)
вН/е >> 1 = р в Н (М ш 1/2) + 2 ш 1 2Е -1- 1 в согласии с (113,14). 2. Определить зеемановское расщепление термов двухатомной молекулы в случае а. Р е ш е н и е. Магнвтный момент, происходящий от движения ядер, очень мал по сравнению с магнитным моментом электронов. Поэтому возмущение от магнипюго поля для молекулы надо писать, как для системы электронов, т е. по-прежнему в виде У = р Н (Е+ 23), где Е, 8 — электронные орбитальный и спниовый моменты.
Усредняи возмущение по электронному состоянию, получим в случае а рвНлт (Л+ 22) = рвнл,(2и — Л). Среднее значение от л, по вращению молекулы есть диагональный матричный элемент (УМ !лх( УМ)= Йм У(У+ 1) ' атом в магнитном поле 4 11з! где М т Мт (матРичный элемент вычислиетсЯ по пРивеленному матричномУ елементу, даваемому формулой (87,4) с заменой К, Л с', И). Таким образом, искомое расщепление раино Я (211 — Л) ЛЕ= р,НМ ц . 3, То же в случае Ь.
Р еще н и е. Диагональные л~атричные ьчемеягы (ЛКс( Р ! ЛКЗ), опрш деляющие искомое расщепление, можно было бы вычислить по общим правилам, изложенным в й 87. Однако проще произвести вычисление более наглядным образом. середняя оператор возмущения по орбитальному и электронному состояниям, получим рнН(Лл, + 28 ) (оператор спина этим усреднением не затрагивается). Далее, усредняем по вра- щению молекулы (средиее значение от л, определяется с помощью (87,4)): Лт рн ~К(К 1 ц с+~~с/ Наконец, усредняем по спинозой волновой функции; после полного усреднения средние значения векторов могут быть направлены лишь по единственному сохраняющемуся вектору полного момента 1. Поэтому получаем (ср.
(118,б)) р„н (К1) + 2(Я)1 М (М т Мт) или окончательно ЛЕ= и (, (7(7( ц( К(К( ц 8(8+ц)+ + (У (с + Ц вЂ” К (К + Ц + 8 (8 + Ц) ) НМ. 4. Диамагнитаый атом находится во внешнем магнитном поле. Определить напряженность индуциронанного магнитного поля в центре атома. Р е ш е н и е. При Я = й = О линейное по полю возмущение в гамильтоинане вообще отсутствует, и потому в волновой функции атома отсутствует поправка первого порядка по магнитному полю. Индуцированное внешним маГнитным полем изменение 1' электронного тока в атоме связано (в том же первом приближении по Н) лишь с добавлением члена ((е(/тс) А к операторам око.
расти электронов. Поэтому имеем х) с' е' — р — А = — р — (Нг), тс - 2тс (ц где р — электронная плотность в атоме. Напряженность магнитного поля, соз- даваемая этим добавочным током в центре атома, есть 1 г (г)') ннл с ) гз ') Зго выражение соответствует ларморовой прецессии электронной оболочки атома вокруг направлении внешнего магнитного поли (см, П, й 45), (гл. хп движение э мАГнитнОЯ пОли (ср. виже (121,8)). Подставив сюда (1) и произведя под аиаком ивтегрзла усреднение по ваправлевивм г, получим Н =- — Н~ — Р= —.р (0)Н, е Г р е япд — а а ) 8 „е е (2) где ее (О) — потенциал поля, создаваемого алектрониой оболочкой атома в его центре.
В модели Томаса — Ферми Ф (0) — 1,802"ржев/аз (см. (70,8)), тзк что Ню — 0.80 1 — 1 2"г~и — 3,2 1О злами. ~азу й 114. Спин в переменном магнитном поле Рассмотрим электрически нейтральную частицу, обладающую магнитным моментом и находящуюся в однородном, но переменном (во времени) магнитном поле. Речь может идти как об элементар. ной (например, нейтрон), так и о сложной (атом) частице.
Магнит. ное поле предполагается настолько слабым, что магнитная энергия частицы в поле мала цо сравнению с интервалами между ее уровнями энергии. Тогда можно рассматривать движение частицы как целого при заданном ее внутреннем состоянии. Пусть в есть оператор есобственногов момента частицы— спина для элементарной частицы нлн полного момента 3 для атома.
Оператор магнитного момента представим в виде (111,1). Гамильтоииан для движения нейтральной частицы как целого записывается в форме (114,1) (выписана лишь та часть гамильтониана, которая зависит от спина). В однородном поле этот оператор не содержит явно координат'), Поэтому волновая функция частицы распадается на произведение координатной и спинозой функций.
Из инх первая есть просто волновая функция свободного движения; нас ннтерб-' сует ниже только спиновая часть. Покажем, что задача о частице с произвольным моментом з может быть сведена к более простой задаче о движении частицы со спнном 172 (Е. Ма)огапа). Для этого достаточно воспользоваться приемом, который мы уже применили в 5 57. Именно, вместо одной частицы со спииом з т) Зги рассуждеиия пожив прицепить также и к случаю, когда какая- либо частица (в том числе и заряжеииая) движется в иеодиородпом магниткам поле, причем ее движение можно считать квазиклассическим. Тогда магнитное поле, меияюпгееся по мере передвижения частицы вдаль ее траектории, можно рассматривать просто как Фувицию времени и примеиять к измеиеияю спяиовой залповой 4гуиквии те же ураввеиия.
$1!М СПИН Э ПВРВМВННОМ МАГНИТНОМ ПОЛВ 84У можно формально ввести систему из 2з «частиц» со спнном 1/2. Оператор а при этом представляется а аиде суммы ~я, операторов спина этих «частиц», а Волновая функция — В виде произаедеиия 2з спиноров первого ранга. Гамильтоииаи (1!4,1) распадается п>гда на сумму 2з независимых гамильтониаиов: Й = Е Й., Й. = — —" На., (114,2) так что движение каждой из 2з «частиц» определяется независимо от других.
После того как это сделано, достаточно снова ввести компоненты произвольного симметричного спинора ранга 2з вместо произведений компонент 2з спинороя первого ранга. Задачи 1. Определить спяновую волновую функцию нейтральвой частицы со спи. нем 1/2, находящейся в одаородном магнитном поле, постоянном по напраале. вню, но меняющемся по величине по провзвольному закону Н (!). Р е ш е н н е.
Волновой функцией будет спинор ф», удовлетворяющий волвовому уравнению (аф» 21! Н з ф» (1) Выбирая направление ноля в качестве ося з, переписываем зто уравнение в спинорвых компонентах (аф! - — (»Нф», (афз = рнфз. Отсюда фз стехр ( р ~Н«Н), фа=с,ехр ( — р ~нб(). Постоянные ст, с«должны быть определены кз начальных условвй к условия нормировки (ф»1 +(фз(з !. 2. То же а однородном магнитном поле, постоянном по величине, но с на- правлением, равномерно вращающимся (с угловой скоростью ы) вокруг осн а, образуя с ней угол 8. Р е ш е н и е.
Магнитное поле имеет составляющие Н„= Н з!п 8 соз Ы, Нз = Н Мп 8 Мп мг, Н, = Н соз 8, к из (1) получям систему уравнений ф~= (ын(со»8.фа + «1п8 е гмгфз), фз = !ю „(з!и 8 е~~~ф' — сова ф~), где ю~ — — РННИ Подстановка ,-Гонт ! ф» «ГОН» З приводит зтн уразнеавя к системе ливейных уравнений с постояинымн козффи. циентами, решая которые, получим ,р! е-!анз(е егпг/з ! с е — пм/з) ,Рз 2ю »1„8«!инз~ ст аим сз !Огуг н " )!1-(-ю+2ю„со»8 Я вЂ” ю — 2ы со»8 где Я = ~Г(ы+ 2мисо»8)з+4ы~~~ зш»8.
1гл хч движение в магнитном пола 848 В 115. Плотность тока в магнитном поле Выведем квантовомеханическое выражение для плотноститока при движении заряженной частицы в магнитном поле. Будем исходить из формулы ') 6Н = — — ) )бАс(У, 1 Г с ) (115,1) определяющей изменение функции Гамильтона распределенных в пространстве зарядов при варьировании векторного потенциала '). В квантовой механике ее надо применять к среднему значению гамильтониана заряженной частицы: Н = ) Чг* [ — (р — — 'А) — 1 Нз] Ч" г)у.
(115,2) Произведя варьирование и имея в виду, что 6Н = го1 бА, находим бй = ) Ч ~ 2 с(рбА+6АР)+ — еч 'А6А] Ч" дУ— — 1, ') го16А.Ч'заЧ"г)У. (115,3) ') В зтам параграфе ) будет обозначать плотность электрн ~еского тока: плотность потока частиц, умноженную на ик заряд е, 2 ) Функция Лагранжа для заряда в магнитном поле содержит член — тА с 1 Г или, представляя заряд распределенным по пространству, — ) )А о)г. с) Изменение функции Лагранжа при варьировании А, следовательно, равно 68 = — ) )6А пг'. 1 г Бесконечно же малое изменение функции Гамильтона равно взятому с обратным знаком изменению функции Лагранжа (см. 1, 4 40), Член с рбА преобразуем, интегрируя по частям; ] Ч"ербАЧ" ~)У = — 1й ]' Ч"*7(6АЧ")г)У = 1й ~ 6АЧгУЧ" г)У (интеграл по бесконечно удаленной поверхности, как обычно, исчезает).
Интегрирование по частям производим также и в последнем члене в (115,3), воспользовавшись известной формулой векторного анализа аго1Ь = — с])у(аЬ]+ Ьго1а. Интеграл от члена с Йу исчезает, так что остается ~ Ч еаЧ" го1 6Ас)У= ) 6Аго1(ЧгззЧг) с)У. $ Из) ПЛОТНОСТЬ ТОКА В МАГНИТНОМ ПОЛВ 549 В результате окончательно получаем 6Н = — — ~ 6А (ЧГрЧ'л — Ч'лрЧ") йУ + + — ', ') А6АЧ"Ч'лНУ вЂ” и ') 6Аго1(ЧмзЧ')сП~, ' Сравнив о (115,1), находим следующее выражение для плотности тока! Гез ((Члр*) 1р ЧГ~дЧ~) ~ АЧГ~ЧГ+ !' с го1 (Ч'"зЧГ). (1! 5,4) Подчеркнем, что хотя это выражение и содержит в явном виде гекторный потенпиал, оно, как и следовало, вполне однозначно.
В этом легко убедиться прямым вычислением, заметив, что одно. временно с калибровочным преобразованием векторного потенпиала, согласно (1!1,8), надо произвести также и преобразование волновой функпии согласно (111,9). Легко проверить также„что ток (115,4) вместе с плотностью зарядов р = е ! Ч' !л удовлетворяет, как и следовало, уравнению непрерывности — + 6!Т) = О. др д1 Последний член в (115,4) дает вклад в плотность тока, проис. ходящий от магнитного момента частипы. Он имеет вид с го! т, где (1 15,5) есть пространственная плотность магнитного момента. Выражение (115,4) представляет собой среднее значение плотности тока. Его можно рассматривать как диагональный матрич. ный элемент некоторого оператора — оператора плотности тока ). Этот оператор проще всего записать в представлении вторичного квантования, что сводится к замене Ч" и Ч"л операторами Ч' и ЧГ+ (причем, согласно общему правилу, Ч" должен стоять в каждом члене слева от Ч').
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
