Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика. Т. 3. Квантовая механика (нерелятивистская теория) (1185132), страница 117
Текст из файла (страница 117)
Существование этого свойства накладывает определенные огра. ничения иа функции У„..., У„определяющие парные взаимодействия нуклонов. Представим себе, что все частицы сконцентри. рованы в объеме размерами порядка радяуса действия ядерных сил; тогда все пары частиц взаимодействуют друг с другом. Если при этом существует такая конфигурация каких-либо нуклонов (и такая ориентация их спинов), при которой между всеми парами действуют силы притяжения, то потенцяальная энергия такой системы была бы отрицательной величиной, пропорциональной Ае. Кинетическая же энергия такой системы есть положительная величина, пропорциональная Ае~э, т.
е. меньшей степени А '). Ясно, что в таких условиях совокупность достаточно большого числа нуклонов действительно концентрировалась бы в не зависящем от А малом объеме, т. е. не создавала бы ядерного вещества. Поэтому условие насыщения ядерных сил должно выражаться условиями отсутствия конфигураций, приводящих к про- т) Плотность л, с которой частицы сконцентрированы в ааданаом объеме, нроаорцнональна нх числу А, а кинетическая энергия каждой нэ ннх пропор. цнональна прн етом н ~ (ср. (70,1)).
Поэтому полнан кннетнческан энергкн Аде!3 й 117! ядерныв силы порциональной А' отрицательной энергии взаимодействия (см. аадачу 2). Пропорциональность объема ядерного вещества числу частиц выражается соотношением вида /( г 4ыэ (117,5) связывающим радиус ядра /7 с числом частиц А в нем. Опытные данные (о рассеянии электронов на ядрах) приводят к значению гэ ж 1,1 10 'э см. Определим предельный импульс нуилонов в ядерном веществе (ср. 3 70). Объем фазового пространства, соответствуххций частицам, находящимся в единице объема физического пространства н обладающим импульсами р (.ре, равен 4пр,'/3. Разделив его на (2пй)', получим число эклеток»„в каждой из которых может находиться одновременно по два протона и два нейтрона.
Положчв число протонов равным числу нейтронов, получим (где У вЂ” объем ядра), Подставив сюда (117,5), получим зн А ч!Гэ (йп)Ы'а р ~ — г) й= =1,4.10»эг см сэ. Соответствующая энергия р,'/2глр (пэр — масса нуилона) состав. ляет 30 МзВ, а скорость ре/пгр ж с/4. Задачи !. Найти операторы взаимодействия двух нуклонов в состояниях с определенными значениями 5 и Т.
Р е ш е н н е. Искомые операторы (Гзг получаются нэ общего выражения (! !7,1) — (! !7,3) прн учете соотношений (116,3) н (117,4)! 3 3 (г„= и, — — и,+и,— — ()э 4 3 3 иш=(Гг — — и,— и,+ — и„ 4 4 1 1 1 и,.=(г, + 4 и,+и.+ 4 и,+ 2 ((г,+и,) 13(3) — 21 ! ! ! и„= и, + — и, — и, — — и, + — ((Г, — (7,) 13 (йн)э -2), 4 4 2 й, Найти условия насыщенна ядерных сна, предполагая тевзорные силы оэсутствующвмн; радиусы действия всех остальных типов снл предяш(атзмнси одннакоэымн.
Р е ш е н н е. Рассмотрим некоторые крайние случаи (между когорымн находется все другие воэможнэш случаи) для состонкня системы иа А аунаааов н напишем условна того, чтобм энергкв взаимодействия эсредвейэ пары нуклонев в этой системе была положительной, СТРУКТУРА АТОМНОГО ЯДРА (гл хи! 660 Пусть полный спин н изотопичесхий спин ядра имеют наибольшие возможные значения: 5 д —— Т„„= А/2 (все частнпы в системе — протоны с параллельнымн спинами), Тогда для калекой пары нуклонов имеем 5 = Т = 1, н мы получаем условие иы >О. (1) Пусть теперь Т„д — А/2, 5„д — О.
Тогда для каждой пары нуклонов Т 1, а для отдельного нуклона равно нулю среднее значение з, Последнее означает, что нуклон с равной вероятностью может иметь з, =!/2 и з, = — 1/2; в этни условиях вероятности паре нуклонов находиться в состояниях с 5 = 0 или 5 = 1 равны соответственно 1/4 и 3/4 (они пропорциональны числу 25+ 1 возможных аначеннй 5,). Поэтому условие ноложнтельности средней энергии пары 1 3 — иы+ — иы >О. 4 4 (2) Аналогично, рассмотрение состояния с Т„д — О, 5„д А/2 приводит к условию 1 3 — и„+ — иы >о.
4 4 (3) В состоянии с Т,д — — 5„д — 0 вероятность паре нуклонов иметь 5 = Т = 1 равна 3/4 3/4, вероятность иметь Т = 1, 5 = 0 равна 3/4 !/4, и т. д. Отсюда находим условие 9 3 1 — иы+ — (иы+ ию)+ — и„»О. 16 16 !6 (4) Налонеп, пусть система состои~ из А/2 протонов и А/2 нейтронов, причем спины всех протонов параллельны друг другу и антппараллельны спинам всех нейтронов. Отдельный нуклон с равной вероятностью может оказаться р пли и, т.
е, иметь тс = 1/2 илн «1 = — 1/2; вероятность паре нуклонов иметь Т = 0 равна 1/4. Прн этом одни из нуклонов пары есть р, а другой — и; поэтому будет 5, = О. Это значение 5, может с равной вероятностью осуществляться нз состояний с 5 = 0 нли 5 = 1. Следовательно, вероятности паре находиться в состоянии с Т = О, 5 = 0 нли Т = О, 5 =! равны по 1/4 1/2 = !/8. Такова же вероятность состояния с Т = 1, 5 = О, а остальные 6/8 приходятся на состояние с Т = 5 = 1. Учитывая все это, получим условие 1 6 — (и„+ им+ иы)+ — ип»о. 8 8 (6) Неравенства (!) — (6) н представляют собой искомую систему условий насыщения ядерных сил. ф 118. Модель оболочек Многие свойства ядер могут быть хорошо описаны с помощью модели Оболочек, по своим основным представлениям аналогичной тому, как описывается строение электронной оболочки атома.
В этом Описании каждый нуклон в ядре рассматривается как движущийся в самосогласованном поле, создаваемом совокупностью всех остальных нуклонов (ввиду малого радиуса действия ядерных сил это поле быстро затухает вне объема, ограниченного «поверхностью» ядра). Соответственно этому, состояние ядра в целом описывается перечислением состояний отдельных нуклонов. МОДЕЛЬ ОБОЛОЧЕК $ )!з) Самосогласованное поле сферически-симметрично, причем центром симметрии является, естественно, центр инерции ядра, В связи с этим, однако, возникает следующее затруднение. В методе самосогласованного поля волновая функция системы строится как произведение (или должным образом симметризованная сумма произведений) волновых функций отдельных частиц. Но такая функция не обеспечивает неподвижности центра инерции; хотя вычисленное с ее помощью среднее значение скорости центра инерции и будет равным нулю, но эта же волновая функция приведет к конечным вероятностям отличных от нуля значений скорости ').
Это затруднение может быть обойдено путем предварительного исключения движения центра инерции при вычислении любой физической величины с помощью волновых функций тр (г„..., г„) метода самосогласованного поля. Пусть 7 (г„р;) есть какая-либо физическая величина — функция координат и импульсов нукло. нов. Тогда при вычислении ее матричных элементов с помощью функций тр надо, не меняя тр (г;), произвести замену аргументов функции !" согласно Р Г! -».
Г! — О» р; — ь р! — д, (118,1) где )« — радиус-вектор центра инерции ядра; А — число частиц в нем; Р— импульс его движения как целого; вторая из замен (118,1) соответствует вычитанию тг! -»-чг — У нз скоростей нукло. нов скорости центра инерции Ч, с которой импульс Р связан посредством Р = Ат„Ч (5. Оаг!епйаиз, С.
5сйюаг!г, 1957). Так, оператор дипольного момента ядра есть д = е~; гр, где суммирование производится по всем протонам в ядре. Для вычисления же матричных элементов в методе самосогласованного поля этот оператор надо заменить оператором е ~ (гр — )ч). Координаты центра ядра (суммироваиия по всем протонам и нейтронам). Поскольку число протонов в ядре есть Я, то окончательно оператор дипольного момента должен быть заменен согласно е )~»~г е (! — вЂ”Я ~~~гр — е — „~~» г„.
(118,2) Р Р о Протоны входят сюда с «эффективным зарядом» е (1 — А!А), а нейтроны — с «зарядом» вЂ” еЯ/А. Отметим, что относительный ') В случае электронов в атоме такое затруднение вообще не возникало, так как неподвижность центра инерции автоматически обеспечивалась его совпаде. пнем с положением неподвижного ткжелого ядра, СТРУКТУРА АТОМНОГО ЯДРА ГГЛ. ХУГ 562 порядок величины возникающих при вычислении дипольного момента поправочных членов оказывается, как видно из (118,2), -1.
Поправки же при вычислении магнитных и следующих алек. трических мультнпольных моментов оказываются, как легко уви. деть, относительного порядка -1/А. В нерелятнвистском приближении взаимодействие нуклона с самосогласованиым полем не зависит от спина нуклона: такая зависимость могла бы выражаться лишь членом, пропорциональным вп, где и — единичный вектор в направлении радиуса. вектора нуклона г; но это произведение является не истинным, а псевдоскаляром. Зависимость энергии нуклона от его спина появляется, однако, при учете релятивистских членов, зависящих от скорости частицы. Наибольшим нз них является член, пропорциональный первой степени скорости. Из трех векторов в, п и у можно составить истинный скаляр: [пу) в. Поэтому оператор спин-орбитальной связи нуклона в ядре имеет вид )гм = — ~р (г) (пч) в, (118,3) где ~2 (г) — некоторая функция от г (ср.
также примечаниев на стр. 556). Поскольку Гпр 1гч) есть орбитальный момент й( частицы, то выражение (118,3) можно написать также и в виде )гм — — — /(г)1в, (118,4) где / = йч~/гглр. Подчеркнем. что это взаимодействие — первого порядка по о/с, между тем как спин-орбитальная связь электрона в атоме — эффект второго порядка 6 72); это отличие связано с тем, что ядерные силы зависят от спина уже в нерелятивистском приближении, в то -время как нерелятивистское взаимодействие электронов (кулоновы силы) от спиноз не зависит.
Энергия спин-орбитального взаимодействия сосредоточена в основном вблизи поверхности ядра, т. е. функция / (г) убывает в глубь ядра. Действительно, в неограниченном ядерном вегцестве взаимодействие такого вида вообще не могло бы существовать, как это ясно уже из того, что ввиду однородности такой системы в ней отсутствует какое-либо выделенное направление, вдоль которого мог бы быть направлен вектор и.
Взаимодействие (118,4) приводит к расщеплению уровня нуклона с орбитальным моментом 1 на два уровня с моментами 1 = 1 ~ 1/2. Поскольку 1 2 при 1=1+ —, (118,5) )в= — — нри 1=1 —— 2 ! Вз! модель оволочек (по формуле (31,3)), то величина этого расщепления ЛЕ = Е, ы, — Е,+ыз = /(г) ~1+ г ) ' (118 6) Опыт показывает, что уровень / = 1+ 1/2 (параллельные векторы! и з) оказывается глубже уровня с / = 1 — 1/2; это значит, что функция / (г) > О.
Спин-орбитальная связь нуклона в ядре относительно слаба по сравнению с его взаимодействием с самосогласованным полем. В то же время оно оказывается, вообще говоря, большим по сравнению с энергией прямого взаимодействия двух нуклонов в ядре, в результате более быстрого убывания последнего с уве. личением атомного веса. Такое соотношение между энергиями различных взаимодействий приводит к тому, что классификация ядерных уровней должна происходить по типу //-связи: спины и орбитальные моменты каждого нуклона складываются в полные моменты 1 = = 1 + з, оказывающиеся определенными величинами, поскольку связь между ! и з не разрушается прямым взаимодействием частиц между собой (М.
Сбррег1.Мауег, 1949; О. Нале!, /. Н. /епжп, Н. Е. Зиезз, 1949) '). Векторы ) отдельных нуклонов складываются затем в суммарный момент ядра 1 (который обычно называют просто спином ядра, как если бы ядро представляло собой зле. ментарную частицу). В этом отношении классификация ядерных уровней существенно отличается от классификации атомных уровней: в электронной оболочке атома релятивистская спин.орбитальная связь, вообще говоря, мала по сравнению с прямым электрическим и обменным взаимодействиями, и потому классификация уровней происходит обычно по типу /.5-связи. Состояние каждого нуклона в ядре характеризуется его моментом / и его четностью. Хотя каждый из его векторов! и з в отдельности не сохраняется, но абсолютная величина орбитального момента нуклона тем не менее оказывается определенной.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
