Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика. Т. 3. Квантовая механика (нерелятивистская теория) (1185132), страница 119
Текст из файла (страница 119)
') Такую конфигурацию (сверх заполненной оболочки (1з,/з) ) имеет ядро тЬ), модель оволочец 569 4 Пз! .!М/ Поэтому искомая волновая фувкция фгт является линейной комбинацией вида 3/2 3/2 3/2 3/2 — 3/2 ! 3/2 г/2 †!/2« ~!/2 -~/2= а[9!/2ф !/29 ~4+ [ф«/аф-~/эф-!/2) + с[! 3/2 )!/2 ! — !/21 ! ь«[ф 3/2 ! !/2 ! — !/21 где !" ° 1 обозначает нормированное антисимметризованное произведение (т. е. определитель вида (61,5)) индивидуальных волновых функций ф / нуклонов. 31 Функция (1) должна обращаться в нуль при воздействии на нее операторов Т -~; 31'! и 7+ — ~;/+'! !=! !=! (ср.
задачу к 4 67). Операторы т!П превращают протонную функцию /-го нуклона в нейтронную (а иейтронаую функцию — в нуль). Легко видеть поэтому, что оператор Т„обращает первый член в (1) в определитель с двумя одинаковыми строками, т. е. в нуль, а определители в трех остальных членах становятся одинаковыми; поэтому получаем условие Ь+ с+ г( = О. Далее, для отдельного нуклона с моментом ! = 3/2 и различными значениями гл/ имеем (согласно (27,12)) рз/2 О (!/2 рг3 «рЗ/2 . ! „р †!/2 2 р«/2 р-з/2 )/ 3ю ! †!/2 Отсюда легко найти, что при воздействии оператора 7+ на функцию (1) получается /+чг~/~2 3//2 2у'з (а+ 3 — с) [ ф р 3//22ф '«/~2т )+ + (с ) [ф !/2 ф!/29 !/ 21 (изменение знака некоторых членов связано с перестановкой строк определктеля). Условие равенства этого выражения' нулю дает а + Ь вЂ” с = О, с — г( = О.
Вместе с условием нормировки функции (1) полученные соотношения дают 3 2 ! с = «( =-— Учитывая, что среднее значение проекции магнитного момента протона (илн нейтрона) в состоянии с данным ш/ есть )«рш/// (или )тат //), найдем, что среднее значение момента системы, вычисленное с помощью волновой функции (1). равно 9 4 ! /! 2 )т= й«= — )«+ — )«+ — [ — )«+ — р + 15 Р 15 и 15 т3 Р 3 «/ 15 («3 !Р ' 3 Р~,) 15 ( )«Р+ Рв) По формулам (118,!2), (! 18,!3) вайлем, что для нуклона в состоянии рз . р„= = — 1,91, рр — — 3,79.
В результате !! = 3,03. 4. Определить магнитный момент ядра, я котором все нуклоны вне заполненных оболочек находятся в одинаковых состояниях, причем число протонов равно числу нейтронов. !ГЛ ХР! СТРУКТУРА АТОМНОГО ЯДРА 570 Р еш е н и е. Поскольку при )У = 2 проекция изоспина Т! = О, то диаго. пальнме матричные элементы имеет только изотопически-скалярная часть оператора Р = ~ йа)н "+ ~ йр)р Ф г (см. конец 5 116). Выделяя эту часть в соответствии с 4юрмулой (116,5), найдем, что ова равна ! ч'Ч ! — (Ма+ар) Р 1= — (хи+Яр) ! 2 2 Йа 1 Поэтому полный средний магнитный момент ядра равен 2 (йа+ хн) 7. 5. Вычислить дополнительный магнитный момент нуклона с механическим моментом й выразив его через величину спин-орбитального расщепления (118,6) (М. Ооррет1.Марет, Х.
Н, Хеюен, 1952). Р е ш е и н е, Усреднение угловой части оператора (118,14) (выражение в фигурных скобках в (!18,!4)! обозначим его иак и) производится по формуле, полученной в задаче к й 29, и дает (31) 1+1(э1) — — 1(1+ 1)з 3 (21 — 1) (21+ 3) (2) С другой стороны, после полного усреднения по движению нуклона среднее значение и можит быть направлено лишь по ), т. е. о = а); отсюда а = (й))1)э. Произведя проецирование вектора (2) на ) (причем надо учесть, что оператор ) коммутирует с ()а)) и переходя к собственным значениям величин !з, Р и т. п., получим, после простого вычисления, следующее выражение для дополнитель.
ного магнитного момента нуклоиа (в единицах ядерного магнетона): ш~й 2/+ 1 Рдоп= -с((г) — . при )=1~1!2 Аз 4б+1) (3) (шн — масса нуклона; )1 — радиус ядра", при усреднении гз( множитель гз замейен на )сз ввиду быстрого убывания 7(г) в глубь ядра). Среднее значение 1 в (3) может быть вырамсено через спин-орбитальное расщепление согласно (! 18,6), й 1)9. Несфернческие ядра Система частиц, движущихся в сферически-симметричном поле, не может иметь вращательного спектра энергий; в квантовом механике понятие вращения для такой системы вообще не имеет никакого смысла.
Это относится и к рассмотренной в предыдущем параграфе оболочечной модели ядра со сферически-симметричным самосогласованным полем. Разделение энергии системы на внутреннюю н вращательную части в квантовой механике вообще не имеет строгого смысла. Оио может иметь лишь приближенный характер и возможно в те» случаях, когда по тем или иным физическим причинам является $11») насФаяичзскив ядРА хорошим приближением рассмотрение системы как совокупности частиц, движущихся в заданном поле, не обладающем сферической симметрией. Вращательная структура урощюй появляется тогда как результат учета возможности вращения указанного поля по отношению к фиксированной системе координат.
С таким случаем мы имели дело, например, в молекулах, электронные термы которых можно определять как уровни энергии системы электронов, движущихся в заданном поле фккснрованных ядер. Опыт показывает, что большинство ядер действительно не обладает вращательной структурой. Это означает, что хорошим приближением для ннх является сфернчески-скмметрнчное са»кь согласованное поле, т. е.
Ядра обладают (о точностью до квантовых Флуктуаций) сферической формой. Существует, однако, н такая категория ядер, которые обла. дают энергетическим спектром вращательного типа (сюда относятся ядра в интервалах атомных весов примерно 150 ~ А ~ 190 н А ) 220). Это нх свойство означает, что приближение сфернчески-симметричного самосогласованного поля для ннх совершенно непригодно. Самосогласованное иоле для этих ядер должно в принципе искаться без каких.либо предварительных предполо женнй о характере его симметрии е тем, чтобы форма ядра опре. делилась также Асамосоглзсованным» образом. Опыт показывает, что правильной моделью для ядер этой категории оказывается самосогласованное поле, имеющее ось симметрия и яерпенднкулярну1о к ней плоскость симметрии (т.
е. имеющие симметрию эллипсоида вращения), Представление о несфернческих ядрах наиболее полно было разработано в работах О. Боди н йгоятг»ьгояа (А. ВоЬ., В. й. Мо»Ге)зол, !952 — !953). Подчеркнем, что мы имеем дело с двумя качественно различными категориями ядер. Это проявляется, в частности, в том, что ядра оказываются либо сферическими, либо несфернческимн о отнюдь не малой »степенью несфернчностн». Возникновению несферичностн способствует наличие в ядре незаполненных оболочек; существенную роль в атом явзеннн играет, по-видимому, также явление спаривания нуклонов.
))аиро кнв, замкнутость оболочек способствует сферичности ядра. Харак. верным в этом смысле является дважды магическое ядро 1»»РЬ; в силу резко выраженной замкнуть:тн его нуклонной конфнгу. рации это ядро (а также и близкие к нему ядра) является сферическим, что н приводит к появлению разрыва в ряду несфернческих тяжелых ядер. Уровни энергии несфернческого ядра представляются суммой двух частей. уровней»неподвнжного» ядра и энергии его вращения как целого. У четно-четных ядер интервалы вращательной структуры уровней оказываются прн этом малыми по сравнению с расстояниями между уровнямн анеподвяжного» ядра. стриктхра атомного ядра, (гл хит Классификация уровней несферического ядра во многом ана.
логична классификации уровней двухатомной молекулы (состоящей из одинаковых атомов), поскольку аимметрия поля, в котором движутся частицы (нуклоны или электроны) в обоих елучаях одинакова. Мы сможем поэтому непосредственно воспользоваться рядом результатов, полученных в гл. Х1'). Остановимся сначала на классификации состояний «неподвижного ядра».
В поле о аксиальной симметрией сохраняется лишь проекция момента на ось симметрии. Поэтому каждое состояние ядра характеризуется прежде всего величиной И проекции его полного момента '), которая может иметь как целые, так и полу- целые значения. В зависимости от поведения волновой функции при изменении знака координат всех нуклонов (по отношению к центру ядра) уровни делятся на четные (д) и нечетные (и). Кроме того, при И О дополнительно различаются положительные и отрицательные состояния — в зависимости от поведе. ния волновой функции при отражении в плоскости, проходящей через ось ядра (см. $ 78).
Основные состояния четно-четных несферических ядер яв. ляются состояниями О (цифра указывает значение И), соответ. ствующими равному нулю моменту и наиболее высокой симметрии волновой функции; это обстоятельство является результатом по- парного спаривания всех нейтронов и всех протонов. Если же ядро содержит нечетное число протонов или нейтронов, то в нем можно рассматривать состояние «нечетного» нуклона в самосогласованном поле четно.четного «остова» ядра.
При этом значение И определяется проекцией ш момента этого нуклона. Аналогично, в нечетно-нечетном ядре значение И складывается из проекций моментов нечетного нейтрона и нечетного протона (И = ) шр ~ ш„)). Следует в то же время подчеркнуть, что нельзя говорить об определенных значениях проекций орбитального момента и спина нуклона.
Дело в том, что хотя спин. орбитальная связь нуклона и мала по сравнению а энергией его взаимодействия с самосогласованным полем остова, но она не мала по сравнению о рао. стояниями между соседними уровнями энергии нуклона в этом а) Подчеркнем, что речь идет об аналогии с классификацией уровней именно двухатомной молекулы, а не симметричного волчка. Для системы частиц, движущихся в аксиально-силгметричиом пале, вонятие врицения вокруг оси поля не имеет смысла так же, как ие имеет смысла понятяе вращения вокруг любой оси для системы в центрально-симметричном поле. ') Па определению, ь),ж 0 (подобно положительности квантового числа Л в двухатомных молекулах).
Напомним, что отрицательные значения числа й в случае двухатомных молекул могли возникать лишь в связи с тем, что И определялось как сумма Л + Х, причем Х могло быть (в зависимости аг относительных направлений орбитального момента и спина) как положительным, так и отрицательным, з НВ1 НЕСФЕРИЧЕСКИЕ ЯДРА поле; между тем именно последнее условие требовалось бы для применимости теории возмущений, позволившей бы в хорошем приближении рассматривать раздельно орбитальный момент и спин нуклона ').
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
