Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика. Т. 3. Квантовая механика (нерелятивистская теория) (1185132), страница 115

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 115)

Можно определить и недиагональные матричные элементы этого оператора> )лш = ((7Ч"л) ~ул Ч"лОЧ пь) АЧГлЧ"гл +, с го1 (Ч'лзЧ',„). (115,6) ГЛАВА Хтг! СТРУКТУРА АТОМНОГО ЯДРА й 116. Изотопнческая ннварнантноств В настоящее время еще не существует законченной теории тан называемых ядерных вид — сил, действующих между ядерными частипами (иукломадси) и удерживающих их внеся в составе атомного ядра. В связи в этим прн описании ядерных сил прнхо. дится пока в значительно большей степени апеллировать к опыту, чем это было бы необходимо при наличии последовательной теории.

Два относящихся к нуклонам типа частик отличаются, прежде всего, своими электрическими свойствами, поскольку протоны (р] имеют положительный заряд, а нейтроны (и) электрически ней. тральны. В то же время те и другие имеют одинаковый спин 1/2, а их массы почти равны (масса протона составляет !836,1, ней. трона — 1838,6 электронных масс). Это сходстве) оказывается ~е случайным. Несмотря на различие в электрических свойствах, протон и иейтрон являются частицами, очень похожими друг иа друга, и это сходство имеет фундаментальное значение. Оказывается, что если отвлечься от относительно слабых электрических сил, то силы взаимодействия двух протонов очень похожи на силы, действующие между.

двумя нейтронами. Это свойство называют нэрядоисих сммлмгн)змей ядерных сил '). С точностью до соблюдения этой симметрия можно, в частности, утверждать, что системы двух протонов (рр) и двух нейтронов (пл) обладают одннаковымн по своим свойствам состоя. ниямн. При этом, разумеется, существенно, что как протоны, так и нейтроны подчиняются одинаковой статистике (статистике Ферми), и потому для систем рр и кл допустимы лишь состояния с одинаковой симметрией волновых функций зр (г„о,; г„оз)— антисимметричные по отношению к одновременной перестановке коо динат и спннов частиц. 3 арядовая симметрия оказывается, однако, лишь одним иэ проявлений еще более глубокого физического сходства между протоном и нейтроном, получившего название изотолическог) з) Оно проявляется, в частности, в близости свойств (энергии связи, энергетического спектра и т.

и.) так называемых зедкалснмх ядер, т. е. ядер, озлнча-, кхиихся друг от друга заменой всех протонов нейтронами и наоборот. изотоцичвскля иннаэиантность 55( $ Ы61 инпарипэпяяпсти '). Эта более глубокая закономерность приводит к существованию аналогии не только между системами рр и па (получающимися друг из друга заменой всех протонов на нейтроны и наоборот), ио н системой рп, состоящей из различнык частиц. Разумеется, полной аналогии здесь вообще не может быть, поскольку возможные состояния системы рп, как состоящей из нетождественных частиц, во всяком случае не должны ограничиваться состояниями с антисимметричными волновыми функциями.

Оказывается, однако, что среди возможных состояний системы рл имеютсн состояния, с большой точностью совпадающие по своим свойствам с состояннями систем двух одинаковых нуклонов *); зтн состояния описываются, естественно, аитисимметричными волновыми функциями (остальные же состояния системы рп описываются симметричными волновыми функциями и отсутствуют у систем рр и лл).

Изотопическая инвариантность, как и зарядовая симметрия, справедлива лишь при условии пренебрежения электромагнитным взаимодействием. Другим источником ее приближенности является отличие, хотя и небольшое, в массах нейтрона и протона; точное соблюдение симметрии между нейтронами н протонами подразумевало бы, разумеется, точное совпадение их масс з). Для описания изотопяческой иивариантиости можно ввести удобный формальный аппарат. Мы перейдем к нему естественным образом, если заметим, что изотоцнческая инвариантность сво. днтся к установлению возможности классифицировать состоя. ния системы иуклонов по симметрии ее координатно-спиновых волновых функций эр, вне зависимости от того, к какому из двух типов относятся нуклоны.

Поэтому искомый аппарат должен дать возможность ввести для характеристики состояний системы новое квантовое число, задание которого однозначно опрвделяло бы симметрию функций эр. Но с аналогичной ситуацией мы уже имели дело в связи со свойствами системы частиц со спином 1/2. Именно, мы видели (см. 563), что задание полного спина Я такой системы однозначно определяет симметрию ее координатной волновой функции у, вне зависимости от того, какие из двух возможных значений (+-1/2) имеют проекции а спинов каждой из частиц.

Естественно поэтому, что для формального описания изотопической инвариаитности надо рассматривать нейтрон и протон '1 В лнтературе дпа этой ннварнантностн нспользуеттм также наэванне нзобариеесхой. э) Это было показано на основе аналнза экспержнентанькых данных о расссяннн нейтронов н протонов на протонах Брейпом, Кондовом н ууреэептпэм (Б.

Выл, Е. У. СоаЬа, й. В. Ргемад $936). ') Надо думать, что в дейстпнтсльностк эта разница в ваосак нейтрона н протона тоже амсет элевтронвгнвткое п(нэнсхововнне. СТРУКТУРА АТОМНОГО ЯДРА (гл, хи» 552 как два различных зарядовьи сослюяния одной и той же частицы (нуклона), отличающихся значением проекции нового вектора т, по своим формальным свойствам аналогичного вектору спвна 1/2. Эта новая величина, которую принято называть иэотоличссним спинам (или просто изослином) '), является вектором в некотором вспомогательном «изотопическом пространстве» $Ч~ (не имею. щем, разумеется, ничего общего с реальным пространством).

Проекция изотопического спина нуклона на ось ь может иметь лишь два значения тс = ~1/2. Значение 1-1/2 условно приписывается протону, а значение — 1/2 — нейтрону '). Изоспины нескольких нуклонов складываются в полный изоспин системы по правилам сложения обычных спиноз. При этом ь-компонента полного изоспина системы Ранна сУмме значений тг всех составляющих ее частиц. Для ядра с числом протонов (т. е. атомным номером) 2, числом нейтронов А/ и массовым числом А = 2 + й/ имеем (116,1) т. е. Тс определяет, при заданном числе нуклонов, полный заряд системы. Ясно поэтому, что имеет место строгое сохранение величины Тг, выражающее собой просто сохранение заряда, Абсолютная же величина полного изотопического спина си.

стемы Т определяет симметрию «зарядовой части» о» волновой функции системы, поДОбно тому, как полный спин 8 определяет симметрию спинозой волновой функции. Тем самым она определяет и симметрию координатно-спиновой (т. е. обычной) волновой функции ф поскольку полная волновая функция системы нуклонов (т, е. произведение фю) должна иметь определенную симме. трию: как и для всяких фермионов, она должна быть аитисимметричной по отношению к одновременной перестановке координат, спинов и «зарядовых переменных» тс частиц.

Поэтому наличие определенной симметрии у волновых функций ф любой системы нуклонов как раз н выражается в излагаемой схеме сохранением величины Т, Можно также сказать, другимн словами, что изотопическая инвариантность означает инвариантность свойств системы относительно любых поворотов в изотопическом пространстве. Состояния, отличающиеся лишь значением Тг (при заданных значениях Т и остальных квантовых чисел), одинаковы по своим свойствам. В частности, зарядовая симметрия — инварнантность свойств системы относительно замены всех нейтронов протонами и наоборот, — являющаяся частным случаем изотопической инва- ») Она была введена Гебтенбераом (!932) и применена к описанию иаотопивеской ипвариантаости Кого«лом и Коядояом (В.

Самая, Е. У. Солбол, 1936). в) В литературе испол»вустел также и обратное определение, изотопичвскхя ннвхгихитность 553 % 1!в1 риантности, описывается при этом как инвариантность относи. тельно одновременного изменения знака всех тг, т. е. относительно поворота в изопространстве на угол 180' вокруг оси, лежащей в плоскости от!.

Отметим также, что очевидное нарушение изотопической инвариантноств кулоновым взаимодействием видно в рассматриваемой схеме и формально: кулоново взаимодействие зависит от заряда, т. е. от ь-компонент изоспина, не инвариантных относительно поворотов в пространстве АД. Рассмотрим, например, систему из двух нуклонов. Ее полный изотопический спин может иметь значения Т = 1 и Т = О. Для Т = 1 возможны значения проекции Тг — — 1, О, — 1. Этим значениям соответствуют, согласно (116,!), значения заряда 2, 1, О, т, е.

система с Т = 1 может быть реализована как рр, рл и пп. Зарядовая часть волновой функции е с Т = ! является симметричной (подобно тому, как значению спина Я = 1 соответствует симметричная спиновая функция, ср. з 62). Поэтому значению Т = 1 соответствуют состояния с антисимметричными обычными волновыми функциями ф Для Т = О возможно лишь Тг = О и соответствующая функция а антисимметрична; сюда относятся, следовательно, состояния системы рп с симметричными волновыпн функциями ф Изотопическому спину отвечает оператор т, действующий на зарядовую переменную тс в волновой функции, подобно тому, как оператор спина з действует на спиновую переменную о.

Ввиду полной формальной аналогии между тем и другим, опера. торы ты т„, тг выражаются теми же матрицами Паули (56,7), что и операторы з„, Я„, а,. Отметим здесь некоторые комбинации этих операторов, имею. щие простой наглядный смысл. Сумма 5, = 5,+Л, = (',,') есть оператор, который при воздействии на нейтронную волновую функцию превращает ее в протонную, а при воздействии на протонную функцию обращает ее в нуль„Аналогично, оператор го ох т =та — !т„=(! о) превращает протон в нейтрон и уничтожает нейтрон.

Наконец, оператор оставляет неизменной протонную функцию и уничтожает нейтрон; его можно назвать оператором заряда нуклона (в единицах е). стннктнрл лтомного ядгл [гл. хчч Покажем еще, каким образом может быть выражея через операторы тм та нзоспинов двух частиц оператор Р перестановки этих частиц друг с другом. По определению последнего, резуль. тат его воздействия на волновую функцию системы двух частиц чр (г„а,; г„п,) заключается в перестановке координат и спинов этих частиц, т.

е. в перестановке переменных гг, оз и г„пз. Собственные значения этого оператора равны ~! и осуществляются при воздействии на симметричную или антисимметрнчную функции тр: Р1твсим = зреем~ ! Фанти = фанти (116,2) Мы виделн выше, что функциям тр,„„и тра„, соответствуют зарядовые фуниции ез со значениями полного нзоспина Т = О и Т = !. Поэтому, если мы хотим представить оператор Р в форме, в которой он действует на зарядовые переменные, то он должен обладать свойствами Рсоа = гоа, Реза = — отг.

(116,3) Этим условиям удовлетворяет оператор 1 — Т*, в чем легко убедиться, заметив, что езт есть собственная функция оператора Т', соответствующая собственному значению Т (Т-1- 1). Наконец, на. писан Т = и, + тч и УчитываЯ, что тз и тз имеют одинаковые опРеделенные значения т (т + 1) =-3/4, йайдем искомое окончательное выражение ') Р =1 — Т'= — — — 2т,т,. 2 Для матричных элементов различных физических величин системы нуклонов существуют определенные правила отбора по изотопнческому спину (г'. А. !спг!!са!1, 1952). Пусть Р— какая- либо величина (любого тензорного характера), обладающая свойством аддитивности в том слгысле, что ее значение для системы равно сумме значений для отдельных нуклоиов.

Характеристики

Список файлов книги