Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика. Т. 3. Квантовая механика (нерелятивистская теория) (1185132), страница 110
Текст из файла (страница 110)
Тщательное сравнение $ !Пп! МАТРИЧНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ ПРИ СЛОЖЕНИИ МОМЕНТОВ ззз обоих указанных соотношений приводит к следующей оконча- тельной формуле: (П1упу Ки!!л у1у) = ( — 1)у '+у+~ ч'.у (22+1)(2у'+1) х Х ~ ', '~(л;у;!!уп"!!П,у,> (109,3) у ух ь (здесь у,,„— большее из уи у;; У „— меньшее из У, 2'). Аналогичная формула для приведенных матричных элементов сферического тензора, относящегося к второй подсистеме: (пхуту ~~уй ~пхухуху= ( — 1) х и ппп апх у (21+!) (2у'+ 1) Х Х ~ .
' ~ (пйуй)у) '$!пхуп>. (109 4) Отсутствие полной симметрии между выражениями (109,3) и (109,4) (в показателе степени у — 1) связано с зависимостью фазы волновых функций от порядка сложения моментов. Эту разницу надо иметь в виду, если приходится вычислять матричные элементы одновременно для обеих подсистем. Далее, найдем полезную формулу для матричных элементов по отношению к волновым функциям всей системы от скалярного произведения (см. определение (107,4)) двух сферических тензоров одинакового ранга й, относящихся к различным подсистемам (и потому коммутирующих друг с другом). Согласно (107,10) зти матричные элементы выражаются через приведенные матричные элементы каждого из тензоров (по отношению к волновым функциям системы в целом) следующим образом: (л'п'111".7341(У!"5") ~п,пху11',~М> = — (п111 у!!уп ()п уьу ) (ппугу !)уп !(пхух.у) У" (здесь использовано, что матрица величины, относящейся к одной из подсистем, диагональна по квантовым числам другой подсистемы).
Подставив сюда (109,3), (109,4) и воспользовавшись формулой суммирования (108,8), получим искомую формулу, выражающую матричные элементы скалярного произведения через приведенные матричные элементы каждого из тепзоров по отношению к волновым функциям соответствующих подсистем.' (П1пйу(!АМ ((дх~уй )пп) л~пху~ухугИ> =( — 1)Ух пп+Уп + ( ~(П~У1(Д'!()П~У!)(Пх)х!!ф')(пз)п). (109,5) (ЛГ. Хтт сложение моментов 9 116. %атрнчные алемеитва Иля акснально-симметричных систем Основой дни вычисления матричных элементов величии, характеризующих системы типа симметричного волчка, служит выражение интеграла от произведения трех 1)-функций, Для вывода этой формулы вернемся к разложению (106,11) яру,щ,Ъф)ца = ~а ()лз ~ Вя1ята) тр)иц яа = ела+ Паа и преобразуем обе стороны равенства конечным поворотом системы координат.
Каукдая из ффункций преобразуется согласно (58,7), так что получим ~ !у$' О'„у*,„',ф, .ф)„„1 = ~.", ~; (1(п~т,тя) 09„~~, Выразив теперь фуикцнн ф; - в правой стороне равенства и виде разложения (106,9) н сравнив коэффициенты ири одинаковых ц роязаеденая х арк,яры„„получим ооотно~пеап я 7)())' (со)0(1)' (со) = Х (ла т )1' >В() (ео)(тт 11 ) (1!О 1) (цРичем ла = тла + пз„гл = ана + шв, а аз обозначает совокУнность трех эйлеровых углов сс, (3, у.
Выраженная через 81'-символы, эта формула принимает вид ()(ур ( ) ()(уд ( =~),'(2У+1)~ ". '*, '.) ~ ~' ' '„~(У"„'...( ) (110,2) ! (здесь использовано также свойство 1х.функций (58,19)). Умножив равенство (110,2) с обеих сторон на О((„', (со) и цроннтегрировав еоо подти с помон(ью соотношения ортогональности (58,20), получим (1!0,3) (для больнтей симметрии здесь произведено очевидное изменение обозначений индексов). Это н есть искомая формула '). Пусть )аа — сферическая тензор ранга й, характеризуанинй волчок в связаяных с ннм координатных осях х'у'г': — 4а)ь ') при целых значениях ), 1„(з (ь 1з — — гв и т1 = аз„= га( О функции Ео(и( сволятся, согласно (За,25), к нааровыи функциям, и формула (((О,З) Кает выражение лля интеграла ат ароизвелеиия трек маревых функция ((07,! 4). $1101 мАтРичные элементы АксиАльпо имметРичных систем зтт (ось Ь вЂ” по оси волчка); эта может быть, например, тензор мульти- польного электрического или магнитного момента.
Пусть 1» компоненты того же тензора относительно неподвижных осей координат хуг. Связь между теми и другими определяется матрицей конечных вращений согласно (! 10,4) Волновые функции, описывающие вращение системы как палого, отличаются от»»-функций лиц)ь иормнррвквй: (110,5) где ! — полный момент системы; л» вЂ” его проекции на неподвижную ось г; р — проекция на ось системы; фазовый множитель выбран так„чтобы при целочисленном ! и !1 = 0 функция (110,5) переходила в собственную функцию свободного момента (ср. (103,8)).
Вычисляя по этим функциям матричный элемент вели. чины (110,4) с помощью формулы (1!0,3) (прнчем комплексно сопряженная В-функция выражается согласно (6$,19)), получим (! р т'~ДА«~!рт) = й — l'( — 1))" — 'ь'(2!+1)(2!'+ 1) Х х ~ '„,,', '„)~ ',,' „')<р'У„.!р) (П0,6) (причем а' = р' — р, )! = т' — )и). Эта формула ре)пает поставленную задачу. Она определяет зависимость матричных элементов от моментов 1, 1' и их проек.
ций л», и1'. Что касается зависимости от квантовых чисел р, р", зо она остаетси„раэумеетси, неопределенной значения этих чисел зависят от «внутренних» состояний системы, между которымн беретсв «внутренний» матричный элемент (р' ( ~ы~ ~ !А). Зависимость матричных элементов (П0,6) от чисел )и, п»', естественно, такая же, как для всякой системы с заданным полным моментом. Отделив эту зависимость введением приведенных матричных элементов согласно (107,6), получим для последних выражение й й )) ~)~)х)= ~ ~ ( — 1)~ хТ2))..)).)))))" ~~1 х Х ( 1„.
° „) (Р' !! ° 1р>. (110,7) Квадрат модуля матричного элемента (!10,6), просуммированный по всем значениям конечного числа гл' (и по д = п)' — л)) 1гл х ат СЛОЖЕНИЕ МОМЕНТОВ Е28 при заданном т, не зависит от значения ап и равен, по общему правилу (107,11): ~~~((1 Р па (аьа!1Рпа)! 21 1 1 !ОР !!ГА!!!Р)! ат' =(21 +1)~ ° ° ) ((Р'(Ь (Р>!' (110,8) Соотношения эрмитовости (107,9) для приведенных матричных элементов в координатах хуг (110,7), как и следовало, находятся в согласии с соотношениями (107,8) (Р (аы'!Р) ( 1) ~(Р!ам — а'!Р ) для матричных элементов в координатах $а1~.
Вращение таких аксиально-симметричных систем, как двух- атомная молекула (или аксиальное ядро), описывается всего двумя углами (а = ар, 11 ы О), определяющими направление оси системы. Вращательная волновая функция отличается в этом случае от (110,5) отсутствием множителя ещт/у"2ат (ср. примечание на стр, 376). Это изменение, однако, не отражается на матричных элементах! поскольку зависимость функций О (а, р, у) (О от у сводится к множителю е' 'т, то формулу (110,3) можно переписать в виде - (-', -', -'.) (-", -"; -",) (где т' = па! -1- тз + апз) и результат вычисления интеграла не меняется. При этом правило отбора по проекции момента на ось системы соблюдается в прежнем виде (Р' — Р д'), возникая (как следствие симметрии молекулы относительно оси ь) в результате ортогональности электронных волновых функций.
В фоРмУлах (! 10,6), (110,7) под (Р' ! 1аа, ! Р) надо понимать тепеРь матричные элементы по отношению к электронным состояниям при неподвижаых ядрах, ГЛАВА ХН ДВИЖЕНИЕ В МАГНИТНОМ ПОЛЕ $111. Уравнение Шредингера в магнитном поле Частица со спином обладает также и определенным асобственным» магнитным моментом !». Соответствующий ему квантовомеханический оператор пропорционален оператору спина з, т. е.
может быть. записан в виде (111,1) где з — величина спина частицы, а р — характерная для частицы постоянная. Собственные значения проекции магнитного момента равны р, = ра/з. Отсюда видно, что коэффициент !» (который и называют обычно просто величиной магнитного момента) представляет собой наибольшее возможное значение р„достигаемое при проекции спина о з. Отношение р/Йз дает отношение собственного магнитного мо. мента частицы к ее собственному механическому моменту (когда оба направлены по оси г). Как известно, для обычного (орбитального) момента это отношение равно е/2тс (см.
11, 5 44). Коэффициент же пропорциональности между собственным магнитным моментом и спинам частицы оказывается иным. Для электрона ои равен — !е ( /тс, т. е. вдвое больше обычного значения (такое значение получается теоретически из релятивистского волнового уравнения Дирака — см. !У, з 33), Собственный магнитный момент электрона (спин 1/2) равен, следовательно, — р, где (111,2) Эту величину называют магнгтоном Бора. Магнитный момент тяжелых частиц принято измерять в ядерных магнетонах, определяемых как ей/2т»с, где тр — масса протона.
Эксперимент дает для собственного магнитного момента протона значение 2,79 ядерных магнетонов, причем момент направлен по спину. Магнитный момент нейтрона направлен противоположно спину и равен 1,91 ядерного магнетона. Обратим внимание на то, что величины !» и з, стоящие в обоих сторонах равенства (111,1), как и следовало, одинаковы по своему векторному характеру: обе являются аксиальными векторами. )гл.
хч ДВИЖЕНИЕ В МАГНИТНОМ ПОЛЕ бзо Аналогичное же равенство длн злевтри теского двпольного момента б (б = сопз1 з) противоречило бы симметрии по отношению к инверсии координат: при инверсии менялся бы относительный знак обеих сторон равенства '). В нерелятивистской квантовой механике магнитное поле может рассматриваться только в качестве внешнего поля. Магнитное взаимодействие частиц друг с другом является релятивистским эффектом, и его учет требует последовательной релятивистской теории. В классической теории функция Гамильтона заряженной часпщы в электромагнитном иоле имеет вид Н = —,(р — — А) *етр, где Чт — скалярный, А — векторный потенциал поля, а р — обобщенный импульс частицы (см.
11, $ 16). Если частица не обладает свином, то переход к квантовой механике производится обычным образоис обобщенный импульс надо заменить олератором р = — тйд, и мы получим гамвльтаииав ') Й = — (р — — А) +етр. (1! 1,3) Р с \2 И- — (р- — А) — рН+ р. 26$ С (1 1 1,4) ') Сттметим, что зто равекетво (а тем сжаым н существование злектркческого момента у злементар~юа чзстины) противоречило бы также и симметрии по отноимнжо к обрмхнчтню времени; ныюнение знака времени не менмт т), но меняет знак спина (как зто очевидно, например, нз определения зтих величия при орбатальном движении: в определение д входят лишь коордвнатм, а в онределение номена — также н скорость частицы).
') Мы обозначаем знесь оаввтмннмй импульс теа же ауквоа р, что н обычиыа импульс (вместо р а Ы„й щ, с накыо подчеркнуть, что ему отвечает тот же опершор. з) Обозначение магнитного поля и гамильтоинана одинаковой буянов нн может привести к иедормтуменнимс гамииьтоииан снабамн млинкоа каи бунича Если же частина абетадает свином, то такая операция недостаточна Дело в том, по собственный магнитный момент частицы непосредственно взаимодействует с магнитным нолем. В классической функции Гамильтона зто взаимодействие вообще отсутствует, посконьку сам свив, будучи чисто квантовым эффектом, исчезает при переходе и классическому вредину. Правильное выражение для гамвльтовиана получится путем введения (в 111,3) дополнительного члена — рН, соответствующего энергии магнитного момента р в поле Н.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
