Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика. Т. 3. Квантовая механика (нерелятивистская теория) (1185132), страница 112
Текст из файла (страница 112)
оо ИСКОМая фуНКцвя ВЕдЕт СЕбя КаК З 1/~, а При $-ьо КаК С~~!/ ° Соответственно этому, шлем решение в виде й»($) =е 1/г$! з» !/тм(С) н для ш(В) получаем уравнение вырожденной гинергеометрнческой функции: = ~ — ~р — 1 1,+'), 1-1+1, ~~, г) заряд электрона пишем как е — )г(, а его массу обозначаем здесь н»юрелством М в отличие от момента ш.
Не существенный длн этой задачи член со спином частицы опускаем. (гл. ху движяиия в мдгнитном поля 536 Для того чтобы волновая функция была везде конечной, () — ()и)+ 1)/2 должна быть целым неотрицательным числом лр. При этом уровни энергии даются формулой эквивалентной формуле (1!2,7). Соответствующие этим уровням радиальные волновые фунхции /!р (р) = "р а'+1~! 'Ь21~!а 1)и (12) ~ 4ат ) ехр — — р(~ и — ар, ) и ) -1- 1, —, (2) и р гт 2аз и чч где аи —— )/ Д/гнми; функции нормированы условием ) /сзр с/р = 1. Гипергеоо метрическая функция ааесь есть обобщенный валином Лагерра. 2.
Определить нижний уровень энергии, отвечающий связанному состоя. нию электрона в потенциальной яме (/(г) малой глубины (! (/) С да/иа', а— радиус действия сил в яме), на иоторую наложено также и однородное магнитное поле (Ю.
А. Бычков, 1960). Р е ш е н и е. Поставленное для поля (/ (г) условие обеспечивает (в отсут. стане магнитного поля) применимость к нему теории возмущений; при этом свяванные состояния в яме отсутствуют 6 45). При наличии таиже и магнитного поля воле (/ (г) можно рассматривать как возмущение лишь для движения в поперечной к Н плоскости, характер (дискретный) энергетического спехтра которого при наложении (/ не меняетсн.
Характер же движения в направлении Й ыеияется — оно становится (как будет видно) из инфинитиого финитным, т. е. свектр — из непрерывного дискретным; поэтому для этого движения поле ямы ие может рассматриваться по теории возмущений Соответственно этому, прн разделении переменных в уравнении Шредин. гера (уравнение (1) предыдущей задачи, дополненное членом 5 ф в левой стороне) радиальные функции /с(р) берем в прежнем виде (2); низшему уровню отвечают значения квантовых чисел пр = и = О. Подставив в уравнение Шредингера ф = /7,р (р) )((т), умножив затем уравнение на Йи(р) и проинтегрировав его по р Нр, получим для )((г) уравнение лз — — Х" + Г/ (а) Х = ех, 2и (3) где в = Š— Дми/2, (/ (т) = ) (/(у а'+р'//того (р) рг/р о (а и — снова масса частицы). Это уравнение по форме совпаданг с уравнением Шредингера для одномерного движения в потенциальной яме (/ (т), причем в — энергия этого движения.
Позтому можно просто воспользоваться результа. том задачи 1 к $ 45, согласно хоторому дискретный уровень энергии Волновая функция Й»о (р) затухает на расстояниях р а . Если магнитное поле настолько слабо, что ац Л» а, то интеграл по «(р определяется областью р ( а, в которой можно положить )(м (р) м« /7м (0) = 1/а . Тогда в = — — „„, Ц (/ (г) «()г) (6) («((г = 2пр ар «й - 4кг' «(г). В обратном случае сильного магнитного поля, ногда ац ~ а, интеграл в (4) определяется областью р - ац, в которой мож:ю положить (/ (р«р»+ г') ы (/ (г).
Тогда интеграл по «(р сводится к нормировочному интегралу фуииции /7м и обращается в 1, так что /»» з в= — — „з ~ ~(/(г) й~ 2ю (6) о В обоих случаях оценка интегралов показывает, что е ~ йы . 3. Определить уровни энергии атома водорода в магнитном поле настолько сильном, что а < ав, где ав — боровский радиус (/7. 7, ЕП!оц, /7, (ли«(ол, ! 960). Р е ш е н и е. При поставленном условии, Лыц Ъ ш»л/Ег, нлияяие кулонова поля ядра на движение электрона в поперечной к Н плоскости можно рассматривать как малое возмущение. Мы возвращаемся поэтому к рассмотренной в задаче 2 ситуации, и можно применить уравнение (3), причем «» (/ (г) = — гз «(р.
/соо(р) р (7) 1) + о Написав в этом выражении радиальную ф> нкци«о /!«», мы ограиичи»земся ни.ке Р овнями энергии продольного движения, относящимися к нулевому уровню андау (Ймц/2) поперечного движения. Волновая функция основного состояния, у» (г), простирается иа расстояния (г( ( ав, медленно меняясь на их протяжении (ие имея нулей, оиа не обращается в нуль при г = О). Поэтому для основного уровня выполняются условия, использованные в решении задачи 1 4 45, и можно воспользоваться основанной иа этом решении формулой (6). При этом логарифмически расходящийся интеграл «обрезается» сверху на расстояниях )г) — ае, а внизу — на расстояниях ) г ( ац (где ) ( р н замена Ург ~-(- гг иа ) г ( в (7) не доиустима).
В ре. иультате находим 2те«ап тг«Л»0 в» = — — 1п' — = — — 1п' Д» а — 2/,» гл»с) е (» ц (8) Эта формула имеет, как говорят, логарифмическую точиостгл предполагается, что ие тольио само отношение ал/ац, но и его логарифм велики; при этом число- вой множитель в аргументе логарифма остается неопределенным. Возбужденные состояния дискретного спектра получаются нак решения уравнения Шредингера (3) с полем (7(г) яв — е»/г (получа«ощимся из (7) при г а в р). Но это уравнение подстановкой у гй«(г) приводится к виду л» ! и /, Йрч 㻠— — — — 1ч㻠— ) — — «Р = В«Р, 2ш гз «й 'ч «й) г (9) 4 1!21 дВижение В ОдцОРОдцОм мАГнитном доде 637 ДВИЖВНИВ В МАГНИТНОМ ПОЛВ (гл.
хч совпадающему по форме с уравнением для радиальных волновых фуакций з.состояний в трехмерной кулононой задаче. Поэтому искомые уровни дзются формулой (36,!О) тее е„=— (10) причем л = 1, 2, 3 ... Зто выражение тоже имеет лишь логарифмическую точность — следующий поправочный член был бы мал по сравнению с основным лишь в отношении 1Ап (ап/а ) Уравнение (9) определяет волновую функцию лишь при г) О; она может быль продолжена в область г(0 как Х( — г) = Х(г) илн Х( — г) = — Х(г!. Соответственно этому, в рассмотренном приближении уровня (ГО) двукратно вырождены. Зто вырождение, однако, снимается в высших приблнжеаиях по пнlпн $113.
Атом в магнитном поле Рассмотрим атом, находящийся в однородном магнитном поле Н. Его гамильтониан Й = — н~ ~р, + — 'А(г,)~ +У+ — '~ НЗ, (113,1) э де суммирование производится по всем электронам (заряд электрона написан как †(е(); (т' — энергия взаимодействия электронов с ядром и друг с другом; Б = 2,а„ вЂ” оператор полного (электронного) спина атома.
Если векторный потенциал поля выбран в виде (111,7), то как уже было отмечено, оператор р коммутативен с А. Учитывая, это обстоятельство при раскрытии квадрата в (113,1) и обозначив посредством Йе гамильтониан атома в отсутствие поля, находим а а Подставив Сюда А из (111,7), получим )) = 7(е + Н 1й (гара) + э л~~) (Н1а) + а О Но векторное произведение !г,р,) есть оператор орбитального момента электрона, а суммирование по всем электронам даеп оператор йх. полного орбитального момента атома.
Таким образом, = Ве+ )гп (1. + 2$) Н + а— г ~„[НГ е] (113 2) е (рп — магнетон Бора). Оператор )тат = рп(1 + 23) (113,3) » ы»~ атом в магнитном поле можно рассматривать как оператор «собственного» магнитного момента атома, которым он обладает в отсутствие поля. Внешнее магнитное поле расщепляет атомные уровни, сни. мая вырождение по направлениям полного момента (эффек»л Зеемана), Определим энергию этого расщепления для атомных уровней, характеризующихся определенными значениями кванто.
вых чисел 1, 1., 5 (т. е. предполагая для уровней случай 1.5. связи — см. 4 72). Будем считать магнитное поле настолько слабым, что р Н мало по сравнению с расстояниями между уровнями энергии атома, в том числе по сравнению с интервалами тонкой структуры уров. ней. Тогда второй и третий члены в (113,2) можно рассматривать как возмущение, причем невозмущенными уровнями являются от. дельные компоненты мультиплетов. В первом приближении треть. им членом, квадратичным по полю, можно пренебречь по сравнению с линейным вторым членом. В этом приближении энергия расщепления ЬЕ определяется средними значениями возмущения в состояниях (невозмущенных), отличающихся значениями проекции полного момента на иаправ.
ление поля. Выбрав это направление в качестве оси г, имеем ЛЕ р Н(7»+23,) раН(Т»+5.). (1134) Среднее значение», совпадает просто о заданным собственным значением 7, М . Среднее же значение 3, можно найти следую. щим образом о помощью»поэтапного» усреднения (ср. з 72). Усредним сначала оператор 3 по состоянию атома о заданными значениями Я, Е н 1, но не М». Усредненный таким образом оператор $ может быть»направлен» лишь вдоль Я вЂ” единственного сохраняющегося»вектора», характеризующего свободный атом.
Поэтому можно написать 8 =сопз1 ). В таком виде, однако, это равенство имеет лишь условный смысл, поскольку три компоненты вектора ) не могут иметь одновре. менно определенных значений. Буквальный же смысл имеют его г.проекция 5, = зоп»1 /, соп»1 М» и равенство 3.) = соп»1 Р = соп»1 l (,/+ 1), получающиеся умножением обеих его сторон на А Внеся сохраняющийся вектор ) под знак среднего, пишем $,1 * Я. Среднее же значение Ы совпадаег с собственным аначеннем 3.) = —,' (.(((+ 1) — Т. ((. + 1) + 3 (3+ 1)), движении в магнитном пала 1гл, ху 640 которому оно равно в состоянии с определенными значениями !.в, 3т, .)т (ср.
(31,4)). Определив сопз1 из второго равенства и подставив в первое, имеем, таким образом, 15 есть так называемый аножитгль Ланде или гиролщгнитньгй множитель. Отметим, что д = 1, если спин отсутствует (5 О, таи что / = 1,), и и = 2, если й = О (так что г = Я) т). Формула (113,6) дает различные значения энергии для всех 2У -1- 1 значений М = — 7, — У + 1, ..., У. Другими словами, магнитное поле полностью снимает вырождение уровней по на. правлениям момента — а противоположность электрическому полю, оставлявшему нерасщепленными уровни с М = +-! М„) (3 76) ').
Отметим, однако, что линейное расщепление, определяе. мое формулой (113,6), отсутствует, если д = 0 (что возможно и при У ~ О, например, для состояния '0нз). Мы видели в 3 76, что существует связь между сдвигом уровня энергии атома в электрическом поле н его средним электрическим дипольным моментом. Аналогичная связь существует и в магнит. ном случае, Потенциальная энергия системы зарядов в классической теории дается выражением — )зН, где )з — магнитный момент системы.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
