Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика. Т. 3. Квантовая механика (нерелятивистская теория) (1185132), страница 124
Текст из файла (страница 124)
Значение интеграла определяется поэтому в основном областями вблизи тех значений п, при которых показатель экспоненты имеет экстремум (п = +-п'). В каждой из областей множитель Р (п) ж г (~п'), можно вынести за знак интеграла, после чего интегрирование дает ') з — Саг агат агат " 2п(Р( — п') — — 2п1Р(п') — + —, ~ ~(п, п') Р(п) Но. 1гл. куй УПРУГИЕ СТОЛКНОВЕНИЯ а ) — интегральный оператор 1г (п ) = — ) 1(п, и ) г" (и) йо. (125,5) Оператор У называют оператором (нлн матриГ(ей) рассеяния, нлн просто 3-матриней; он был впервые введен В. Гейзенбергом (1943).
Первый член в (125,3) представляет собой сходящуюся к центру, а второй — расходящуюся от центра волну. Сохраненне числа частиц прн упругом рассеянии выражается равенством полных потоков частиц в сходящейся и расходящейся волнах. Другими словами, этн две волны должны иметь одинаковую нормировку. Для этого оператор рассеяния должен быть унитарным ($ 12), т. е. должно быть (125,6) 1ш1(п, и) = — „а а (125,9) (так называемая оптическая теорема для рассеяния). Еще одно общее свойство амплитуды рассеяния может быть получено, исходя нз требования симметрии по отношенню к обра.
щенню времени. В квантовой механике эта симметрия выражается в том, что если функция описывает какое-лнбо возможное состоя нне, то и комплексно сопряженная функция ф' отвечает некоторому возможному состоянню (9 18). Поэтому волновая функцня йм е ат рч( и') чврв (и ) Г Г нлн, подставив (!25,4) и произведя перемноженее~ — 2йЦ+. (125,7) Наконец, учитывая определение (125,5), перепншем окончательно условие унитарности для рассеяния в виде 1(п, и') — /' (и', и) = †„ ) 1(п, и")~'(и', и") йо'. (125,8) Прн и и' интеграл в правой части равенства есть не что иное, как полное сечение рассеяния а = ) 11(и, п") 1' йо'. Разность же в левой стороне равенства сводится в этом случае к мнимой части амплитуды 1(п, и).
Таким образом, получаем следующее общее соотношение между полным сечением упругого рассеяния и мнимой частью амплнтуды рассеяния на нулевой угол; $ иы УСЛОВИЕ УНИТАРНОСТИ ДЛЯ РАССЕЯНИЯ бвв комплексно сопряженная функции (125,3), тоже описывает не. который возможный процесс рассеяния. Введем новую произвольную функцию, обозначив — 5*Г* (п') = Ф ( — и'). Учитывая унитарность оператора 3, имеем тогда Р'(п') = — 3' 'Ф( — п') = — ЗФ( — и"),' введя оператор Р инверсии координат, меняющий знак векторов п и п', напишем Р*( — п') РР*(п') — Р БРФ(п'), Таким образом, получаем обращенную по времени волновую функ. цню в виде е Ие — Ф( — п') — — Р 5 РФ(п'). Она должна по существу совпадать с исходной волновой функцией (125,3), Сравнение показывает, что для этого должно выпол.
няться условие Р5Р=3, (125,10) тогда обе функции отличаются лишь обозначением произвольной функции. Соответствующее соотношение для амплитуды рассеяния получим, переходя от операторного равенства (125,10) к матричному. Транспоиирование меняет местами начальный и конечный век. торы п и и', а инверсия меняет их знаки. Поэтому имеем 3 (п, и') = 3 ( — п', — и), (125,11) или, что то же1 )(п, и') =1( — п', — п).
(125,12) Это соотношение (так называемая теорема азпимиости) выражает собой естественный результат: совпадение амплитуд двух процес. сов рассеяния, являкхцихся обращенными по времени друг по отношению к другу. Обращение времени переставляет начальное н конечное состояния н меняет направления движения частиц в ннх на обратные. Для рассеяния в центральном поле полученные общие соотно.
шения упрощаются. В этом случае амплитуда 1 (п, и') зависит только от угла 0 между и и п'. Поэтому равенство (125,12) превращается в тождество. Условие же унитарности (125,8) принн. мает внд (125,13) УПРУГИЕ СТОЛКНОВЕНИЯ ! ГЛ. ХУИ где у, у' — углы между п, и' и некоторым направлением п" в про странстае. Если представить )'(8) в виде разложения (123,14), то с помощью теоремы сложения для сферических функций (с, 10) из (125,13) получим следующее соотношение для парциальных амплитуд: 1п1 7~ = й ~ ~~ )'. (!25,141 Эта формула может быть получена и непосредственно из выражения (123,15), согласно которому ~ 2!й~~ + 1 !' = 1.
Оптическую теорему (!25,9) в случае рассеяния в центральном поле тоже легко получить непосредственно из формул (! 23,11) — (123,12). Переписав (125,14) в виде 1т (1ф) = — й, мы видим, что ам. плитуда ~~ должна иметь вид д — !ь' 1 (125,15) где й~ — — д~ (й) — вещественная величина; она связана с фазой 6~ соотношением В= Фс(абп (125,18) В дальнейшем мы неоднократно будем пользоваться таким пред.
ставлением амплитуды. Проследим — для рассеяния в центральном поле — за связью между введенным выше понятием оператора рассеяния и вели. чинами, фигурирующими в изложенной в 4 123 теории. Поскольку орбитальный момент в центральном поле сохра. няется, оператор рассеяния коммутативеи с оператором момента.
Другими словами, 3-матрица диагональна в 1-представлении. При этом в силу унитарности оператора о его собственные значения должны быть по модулю равны единице, т, е. имеют вид ехр (2!6|) с вещественными величинами 6Р Легко видеть, что эти величины совпадают с фазовыми сдвигами волновых функций, так что собственные значения 8-матрицы совпадают с введенными в 4 123 величинами 3~ (123,10); собственные же 'значения оператора ! = (3 — 1)/2И соответственно совпадают с парциальиыми амплитудами (123,15). Действительно, если в качестве функции Р (и) выбрать Р, (соз 8) (при этом Р ( — и) = Р, ( — соз 8) = ( — 1)' м х Р, (соз 8)), то волновая функция (!25,3) должна совпасть с реше.
нием уравнения Шредингера, изображаемым отдельным членом суммы в (123,9); это и значит, что ВР~ (соз 8) = В~Р~ (соз 8). Для плоской волны, падающей вдоль оси г, функция Р(п) в (125,3) есть 6-функция Р = 46 (1 — соз 8), где Π— угол между и и осью а, 6-функция определена здесь, как указано в примечании на стр. 592, а коэффициент перед ней выбран так, чтобы прн 597 ФОРМУЛА ВОР НА $ !2з! подстановке в правую сторону определения (125,5) получалось просто 1 (О) (где теперь Π— угол между п' н осью г). Представив 6-функцию в виде (124,3) г = 46(1 — соз О) = ~ (21+ 1) то! (соз О) (125,17) и применив к ней оператор 7, мы получим, как и следовало, амплитуду рассеяния в виде (123,14).
Наконец, сделаем еще следующее замечание. С математиче« ской точки зрения, условие унитарности (125,8) показывает, что ие всякая наперед заданная функция 7 (п, п') могла бы быть амплитудой рассеяния в каком-либо поле. В частности, не всякая функция 7 (О) могла бы быть амплитудой рассеяния в каком-либо центральном поле. В силу (!25,13) должно выполняться опре. деленное соотношение между ее вещественной н мнимой частями.
Волн написать 7 (О) = (7 (ет", то при заданном для всех углов модуле (7 ( соотношение (!25,13) даст интегральное уравнение, из которого в принципе можно определить неизвестную фазу сх (О). Другими словами, по известному для всех углов сечению рассеяния (квадрату ) ! !з) можно в принципе восстановить и ампли. гуду. Это восстановление, однако, не вполне однозначно и опре. деляет амплитуду лишь с точностью до замены 7' (О) -ь — (в (О), (125,18) оставляющей инвариантным уравнение (125,13) и, конечно, нв меняющей сеченая 1! !з (преобразование (125,18) эквивалентно одновременному изменению знака всех фаз 6, в (123,! 1)).
Эта неоднозначность, однако, устраняется, если амплитуда рассеяния рассматривается не только в зависимости от угла, но н от энер. гин. Мы увидим ниже (9 128, 129), что аналитические свойства амплитуды как функции энергии пе инвариантны относительно преобразования (125,18). й 126. Формула Бориа Сечение рассеяния может быть вычислено в общем виде в очень важном случае, когда рассеивающее поле может рассматриваться как возмущение '). В 9 45 было показано, что это возможно при выполнении хотя бы одного нз двух условий: 1(' !(( з (126,1) '! В развитой в 4 !23 общей теории зто приближение соответствует слу.
чзю, когда все фззы б! малы; сверх того, нсобходимо, чтобы зги фазы могли быть вычислсиы из урзвнеиин Шрсдиигсрз, в котором нотсннизльнзи знсргни рассмзтривзстсн изи возмущсиис (см. задачу 4), упеугив стол кноввн ия [Гл. хун илн (126,2) где а — радиус действия поля 0 (г), а У вЂ” порядок его величины в основной области его существования. При выполнении первого условия рассматриваемое приближение применимо при всех скоростях. Из второго же условия видно, что оио во всяком случае применимо для достаточно быстрых частиц. В соответствии с 5 46 ищем волновую функцию в виде ~р = ° фаи + фи, где фап = е'"' соответствует падающей частице с волновым вектором к р~й. Из формулы (45,3) имеем аУ' ф~" (х, у, г)= — — 2аа,)У(х, у, г)а''""+"а~ —.
(126,3) Выбрав рассеивающий центр в качестве начала координат, введем радиус-вектор м, в точку наблюдения фп> и обозначим посредством и' единичный вектор в направлении и,. Пусть радиус- вектор элемента объема ду" есть г', тогда и = (т — г'. На боль. шик расстбяниях от центра Йа ~ г', так что 1~=!~а г! Йо — гп ° Подставив это в (126,3), получим следующее асимптотическое выражение для фп: (где и' Йп' — волновой вектор частицы после рассеяния). Сравнивая с определением амплитуды рассеяния в (123,3), получим для нее выражение ж ~ (1 1чг ~у (126,4) в котором мы произвели переобозначение переменных ннтегри.
ровання и ввели вектор Ч=к —" (126,5) с абсолютной величиной и = 2аз1п —, 9 (126,6) с(п = -у„-~- ~ ~ Уа "' дУ ~сЬ. (12617) где 9 — угол менсду к и Ы', т. е. угол рассеяния, Наконец, возведя в квадрат модуль амплитуды рассеяния, получим следующую формулу для сечения рассеяния в элемент телесного угла по: ФОРМУЛА ВОРМА $1дб) й4ы видим, что рассеяние с изменением импульса на йп апре. деляется квадратом модуля соответствующей компоненты Фурье поля (/, Формула (126,7) была впервые получена Борном (й4. Вогп, 1926); такое приближение в теории столкновений часто называют борноеским приближением.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
