Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика. Т. 3. Квантовая механика (нерелятивистская теория) (1185132), страница 125
Текст из файла (страница 125)
Отметим, что в этом приближении имеет место соотношение /(К 11') =/е(К', й) (126,8) между амплитудами прямого и обратного (в буквальном смысле слова) процессов рассеяния, т. е. процессов, отличающихся друг от друга перестановкой начального я конечного импульсов, без изменения их знаков, как при обращении времени.
Таким образом, в рассеянии появляегся дополнительное (помимо теоремы взаимности (125,12)) свойство симметрии. Это свойство тесно связано с малостью амплитуд рассеяния в теории возмущений и пе: посредственно следует из условия унитарности (125„6), если пренебречь в нем интегральным членом, квадратичным по /').
Формула (126,7) может быть получена также н другим способом (который, однако, оставляет неопределенной фазу амплитуды рассеяния). Именно, мы можем исходить нз общей формулы (43,!), согласно которой вероятность перехода между со. стояниями непрерывного спектра дается формулой и, ~~)(/ ~еб(Е Е) (, фр = ~/ — "е'"~'.
Р (126,11) с» Отсюда ясно, гго ето свойство исчезает уже при переходе ио второму ирибаижению теории возмущений. Хм убедииси и етом неносредстиенимм образом и 1 130 и синан с фориуиой (1 30„13). В данном случае мы должны применить эту формулу к пере. ходу из состояния падающей свободной частицы с импульсом р в состояние частицы с импульсом р', рассеянной в элемент телесного угла с(о'. В качестве интервала состояний с(тт выбираем с(ер'/(2пй)е, Подставив для разности конечной и начальной энергвй Е, — Е1 — — (р" — ре)/2гп, имеем с(шр.р = — ! (/р р 1е б (Р'е — Р') — ~,, (126,9) Волновые функции падающей и рассеянной частиц — плоские волны.
Поскольку в качестве интервала состояний с(У1 выбран элемент пространства р/2лй, то конечная волновая функция. должна быть нормирована на б-функцию от р/2пй: ЕРР— — ЕРР '~~. (126,10) Начальную же волновую функцию нормируем на единичную плотность потока 1гл. хтн УПРУГИЕ СТОЛКНОВЕНИЯ зоо Тогда выражение (126,9) будет иметь размерность площади и представляет собой дифференциальное сечение рассеяния. Наличие 6-функции в формуле (126,9) означает, что р' р, т.
е, абсолютная величина импульса не меняется, как и должно быть, при упругом рассеянии. Можно исключить б-функцию, перейдя к сферическим координатам в импульсном пространстве ( т. е. заменив сРр' на р'а йр' 1(о' = — р'1( (р") 1(о') и проиитегри- 2 рован по Й (р"). Интегрирование сводится к замене абсолютного значения р' на р в подынтегральном выражении, и мы получим 4 га11,) 4 П Подставив сюда функции (126,10), (126,11), мы снова вернемся к формуле (126,7). В виде (126,7) эта формула применима к рассеянию в поле (7 (х, у, х), являющемся функцией от координат в любой их комбинации, а не только от г. Но в случае центрального поля (7 (г) она может быть подвергнута дальнейшему преобразованию.
В интеграле ) (7(г)е ч'1Л/ ) ) ) (7(г)е"" г~зшОг(Ойрат =4п) У(т) — зги. аа о о Подставив зто выражение в (126,4), получим следующую формулу для амплитуды рассеяния з центрально-симметричном поле~ ОР 2П1 г 5!вчг 7= — —, ) У(г) — гй.. о (126,12) При 8 = 0 (т. е. д = О) стоящий здесь интеграл расходится, если (7 (г) убывает на бесконечности, как )|Р, или медленнее (в согласии с общими результатами з 124). Обратим внимание на следующее интересное обстоятельство. Импульс р частицы и угол рассеяния О входят в (126,12) только через д.
Таким образом, в борновском приближении сечение рассеяния зависит от р н О только в комбинации р гйп (812). воспользуемся сферическими пространственными координатами г, О, 1р с полярной осью, выбранной в направлении вектора 11 (полярный угол обозначаем посредством 6 в отличие от угла рассеяния 8), Интегрирование по д и 1р может быть произведено, н в результате получим со 111 11 (О ФОРМУЛА БОРНА $ !26! 001 Возвращаясь к общему случаю произвольных полей У (х, у, г), рассмотрим предельные случаи малых (яа (( 1) и больших (яа )) 1) скоростей. При малых скоростях можно в интеграле (126,4) положить а — 'ч" 1, так что амплитуда рассеяния 2лл~ ! (126,13) а если 0 = (2' (г), то ~ = — —,, ~ У (г) гэг)г.
(!26,14) Рассеяние оказывается здесь изотропным по направлениям и не зависящим от скорости, что находится в согласии с общими результатами 5 !32. В обратном предельном случае больших скоростей рассеяние резко анизотропно и направлено вперед, в узком конусе с углом раствора ЛΠ— 1/йа. действительно, вне этого конуса величина д велика, множитель е-ьп есть быстро осциллирующая функция и интеграл от его произведения на медленно меняющуюся функцию (2' близок к нулю. Закон убывания сечения при больших значениях о не яв. ляется.
универсальным и зависит от конкретного вида поля. Если поле (! (г) имеет какую-либо особенность при г = О или при каком-либо другом вещественном значении г, то определяющую роль в интеграле в (!26,12) играет область вблизи этой точки и убывание сечения происходит по степенному закону. То же самое относится и к случаю, когда функция У (г) не имеет осо. бенности, но не является четной — основную роль в интеграле играет при этом область вблизи г = О. Если же У (г) есть четная функция г, то интегрирование можно формально распространить и на отрицательные значения г, т. е. производить его вдоль всей вещественной оси переменной г, после чего (если У (г) не имеет особых точек на вещественной оси) можно сместить путь интегрирования в комплексную область до его 2зацепления» за ближайшую комплексную особую точку. В результате прн больших д интеграл оказывается убывающим по экспоненциальному закону.
Следует, однако, иметь в аиду, что для вычисления втой экспоненциально малой величины борновское приближение, вообще говоря, непригодно (см. также ~ 131). Хотя величина дифференциального сечения рассеяния внутри конуса ЛО 1~да от скорости в основном не зависит, но, благодаря уменьшению угла раствора конуса, полное сечение рассеяния (если интеграл ) до вообще сходится) при больших энер. гиях убывает.
Именно, полное сечение убывает вместе с величи. (гл. хум упругие стОлкновения аы = ) (1 — созО)с(о, (126,15) называемый часто транспоргштылг сечением. Соображения, аналогичные указанным выше, показывают, что при больших скоростях эта величина обратно пропорциональна квадрату энергии. Задачи 1. Определить в борновском приблих<ении сечение рассеяния сферической потенциальной ямой: У = — Уо при г ( а, У = О при г > а.
Р е ш е н и е. Вычисление интеграла в (126,12) приводит к реЗультату; ч з УтУоа до (з1пра — расозча)~ (чо) г(о. Интегрирование по всем углам (которое удобно произвести, переходя к переменной о = 2З Мп (8(2) н заменив о(о на 2яз бд/Зо) дает полное сечение рассеяния В предельных случаях эта формула дает 1бпао гтУоатто а = — (х — ') пря Йа< 1, 2гг,'тУоао )з ао при йа Ъ 1. го)оо 2.
То же в поле У = Уое М~~ . Р е ш е в и е, Вычисление удобно производить по формуле (126,7), выбрав направление ч в качестве направления одной из осей координат. В результате получим 4 'х ) пао гтУоао то ао з «о ) и полное сечение Условия применимости этих формул даются неравенствами (126,1), (126,2) с Уо в качестве У, Кроме того, формула для о(о неприменима, если показатель экспо- ненты велик по своей абсолютной величине ). т) В неприменямости теории возмущений в этом случае легко убедиться, вычислив амплитуду рассеянна во втором приближении (см.
ниже (130,!3)): хотя предэкспонеицналькый множитель в нем мал по сравнению с коэффициентом в члене перного пряближения, но величина отрицательного показателя экспоненты оказывается в два раза меньшей. иой телесного угла, вырезываемаго конусом, пропорционально (тай)з 1(язаз, т. е. Обратно пропорционально энергии. Во многих физических применениях теории столкновений в качестве величины, характеризующей рассеяние, фигурирует интеграл ФОРМУЛА БОРНА $ !та! 3. То же и поле У = — е г Р е ш е н н е.
Вычисление интеграла в (!26,12) дает па =4аз ( — „) Полное сечение , /ата~т Дз / 4йтаз + 1 Условие применимости этих формул получается из (!26,1) †(126,2) с а/а в качестве У: ата(дз » 1 или а/ди » 1. 4. Определить фазы 6< для рассеяния в центрально.снмметричном пола в случае, соответствующем борновскому приближению, Р е ш е н и е. 1)ля радиальной волновой функции Х г)< движения в поле У (г) и для функции Хгш свободного движения имеем уравнения (см, (32,10)) Х" + [»' —,. — — У~ К=0 1(1+ 1) 2т дз <ом+ (д (1+ ) ~ <о> Г Умножив первое уравнение на Х'о>, второе — на Х, вычтя почленно одно из другого н проинтегрировав затем по дг (с учетом граничного условия Х = 0 прн г = О), получим Х ()ХШ'() — Х()ХШ' () = —, УХХШ И. Аз,~ о Рассматривая У нан возмущение, можем положить в правой стороне равенства Х РзХ'сд При г со в левой стороне равенства пользуемся асимптотнческими выражениями (33,!2), (33,20), в интеграл же подставляем точное выражение (33,10), В результате получим О з1п6< = 6< = — — „, ) У (г)(з<+>т (йг))'гбг.
о Эту формулу можно было бы получить также и путем прямого разложения бориовской амплитуды рассеяния (126,4) по полиномам Лежанара в соответствии с (!23,!Ц (при малых В>). и. Определить в борновском прибли>кенни полное сечение рассеяния в пола у = ит(гт+ ат)шт с а > 2 для быстрых частиц (да д 1). Р е ш е н и е. Как будет видно, в данном случае в рассеянии основную роль играют парпиальные амплитуды с большими моментами 1, Поэтому сечение можно вычислять по формуле (!23,11) с заменой в ией суммирования по 1 интегрированием; в борновском приближении все 6>» 1, так что т от — „) 2<6<И.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
