Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика. Т. 3. Квантовая механика (нерелятивистская теория) (1185132), страница 135
Текст из файла (страница 135)
До сих пор мы всегда рассматривали решения уравнения Шредингера с граничным условием, требующим конечности волновой функции на бесконечности. Вместо этого будем теперь искать решения, представляющие собой на бесконечности расходящуюся сферическую волну; это соответствует частице, вылетающей в конце концов нз системы при ее распаде. Ввиду того, что такое граничное условие комплексно, нельзя уже утверждать, что собственные значения энергии должны быть вещественными.
Напротив, в результате решения уравнении Шредингера мы получим набор комплексных значений, которые мы будем писать в виде Е = Ее— (134,1) где Е„и à — две положительные (см. ниде) величины. Легко видеть, в чем заключается физический смысл комплексных значений энергии. Временной множитель волновой функции квазнстационарного состояния имеет вид ехр ( — — „Е/) = ехр ( — — „Е,1 — — 1). Поэтому нсе вероятности, определяющиеся квадратами модуля волновой функции, затухают со временем по закону ехр ( — Г//Д) ').
») Заметим, что отсюда видна фвэическая необходимость палама»ел»ности Г. Выполнение этого требования автоматически обеспечивается поставленным на бесконечности граничным условием к рещению залпового уравнения нли эканаалентным ему (см. 4 )зо) правилам обхода в формулах теории воамущениз. Пусть переходы с дискретного уровня л а состояния э непрерывного спектра вызываются постоянным ааэмущеиием У. Тогда поправка второго порядка З 1»4] РезонАнс НА квазиднскезтном »Ровна 647 В частности, по этому закону затухает и вероятность нахождения частицы «внутри системы». Таким образом, Г определяет продолжительность жизни состояния; вероятность распада в единицу времени равна тп =— (134,2) На больших расстояниях волновая функция квазистационарного состояния (расходящаяся волна) содержит множитель ехр )Я 2т(тЕ,— — (Г)1, экспонеициально возрастакяций при г -» оо (мнимая часть корня отрицательна).
Поэтому нормировочный интеграл ) (ф )а г()г для этих функций расходится. Заметим, кстати, что этим обстоятельством разрешается кажущееся противоречие между затуханием квадрата ~ ф (а со временем и тем, что нормировочный интеграл должен быть постоянной величиной, как это следует из волнового уравнения. Выясним вид волновой функции, описывающей движение частицы с энергией, близкой к одному из квазидискретных уровней системы.
Как н в 2 128, напишем асимптотический (на больших расстояниях) вид радиальной части волновой функции в форме (!28,1) а«1 = — ~А» (Е) ехр 1,— г) + / )г — ете + В, (Е) ехр ( „г)~ (!34,3) и будем рассматривать Е как комплексную переменную. При вещественных положительных значениях Е К1 = — (А1 (Е) ега'+ В, (Е) е — '"'), й =, (134,4) 1 !' 2тЕ г а причем Аг (Е) = В) (Е) (см. (128,3), (128,4)); функция В, (Е) берется здесь на верхней стороне разреза, проведенного вдоль правой вещественной полуоси. а уровню анергнн Е121 ! ! Уат ! ~Ьт а =) Е1»~ и ( йо (ср. (33,10)).
По правилу (43,10) находнн отсюда Г = — 21гпЕ~~1 = 2« ~ ! У „(тб(Ета1 и ) лт в согласна с выра»сеансы (43,1) дла аеронтностн перехода. 1гл. хяи упРуГие столкновения 64в Условие, определяющее комплексные собственные значения энергии, заключается в отсутствии в асимптотическом выражении (134,3) сходящейся волны. Это означает, что при Е = Е, — 1Г/2 должен обратиться в нуль коэффициент В, (Е); В, (Е, — — (Г) = О.
(134,5) В, (Е) = (Š— Е, + — Г) Ьп (134,6) где Ь, — постоянная. Подставив это в (!34,4), получим следующее выражение для волновой функции состояния, близкого к квази- стационарному.' й1 = —,[(Š— Еа — — Г) Ь!ем" + (Š— Ео+ — Г) Ь!е — '"~. (134,7) Фаза 6~ этой функции дается формулой [1 е — Р 1Р/2 ~ ехр (216)"), (134,8) Таким образом, квазидискретные уровни энергии, как и истинные дискретные уровни, являются нулями функции В, (Е). Однако, в отличие от нулей, соответствующих истинным уровням, они лежат не на физическом листе. Действительно, написав условие (134,5), мы подразумевали, что искомая волновая функция квазистационарного состояния возникает из того же члена в (134,3), который является расходящейся волной ( е'") и при Е > О (в (134,4)).
Но точка Е = Е, — 1Г/2 расположена под правой вещественной полуосью. Попасть в нее с верхней стороны разреза (на которой определены коэффициенты в (134,4)), не уходя при этом с физического листа, можно лишь путем обхода вокруг точки Е = О. При этом, однако„11 — Е изменит знак, так что расходящаяся волна превратится в сходящуюся. Следовательно, для сохранения расходящегося характера волны переход должен совершаться непосредственно вниз через разрез, так что мы попадем на другой, нефизический, лист. Рассмотрим теперь вещественные положительные значения энергии, близкие к квазидискретному уровню (при этом, конечно, подразумевается малость Г; в противном случае такая близость была бы вообще невозможна).
Разложив функцию В,(Е) по степеням разности Š— (Е, — /Г/2) и ограничиваясь членом первого порядка, напишем 4 гз41 резонлнс нл калзнднскрвтном ироанв 649 где ь" ех (2(6!о<) = ( — 1)г+г — ' а (134,9) Прн ! Š— Е, ! )) Г фаза 6, совпадает с Ь!", так что б'," есть значенне фазы вдали от резонанса. В области резонанса б, сильно зависит от энергнн, Переписав (134,8) с помощью формулы *р е«о г< -' — -.— г— ехр (г агс1 Л) 1+ гй ехр ( — 1 агс19 Л) 1 — (Л в виде 6, =бс — агс!Я з(е <о< Г (134,10) видим, что прн прохождении через всю резонансную область (от Е (( Е, до Е )) Е,) фаза меняется на и.
Прн Е = Е, — (Г/2 функция (134,7) сводится к )т<г = — — Ь! ег"'. <Г г Если нормировать волновую функцию условием равенства едннице интеграла от» ф»з по области внутри системы, то полный поток в этой расходящейся волне, равный о» (ГЬ<»з, должен совпадать с вероятностью распада (134,2).
Отсюда найдем »ь,~'= — „„. 1 (134,11) ') Если речь идет о рассеянии заряженной частицы на системе заряженных частиц, то для фаз б'О' надо воспользоваться выражением (135,11), Полученные результаты позволяют определить амплитуду упругого рассеяния частицы с энергией Е, близкой к некоторому квазнднскретному уровню составной системы, состоящей нз рассенвающей системы вместе с рассеиваемой частицей. В общей формуле(123,1!) вчленестем значением!, которому соответствует уровень Е„надо подстаингь выражение (134,8).
Тогда получим ( (О) = )гз> (О) — е +1 ехр (2(6»") Р, (соз О), (134,!2) где (го1 (О) — амплитуда рассеяния вдали от резонанса, не зависящая от свойств квазнстацнонарного состояния (она определяется формулой (!23,11) с 6, = 6»" во всех членах суммы) '). Амплнтуду )тег (О) называют амплитудой потенциального рассеяния, а второй член в формуле (134,12) — амплитудой резонансного рас- ипригив столкновиния (гл.
хуп сеяния. Последняя имеет полюс при Е = Е, — 1Г12, находящийся, согласно сказанному выше, иа нефизическом листе т). Формула (134,12) определяет упругое рассеяние в обпасти резонанса на одном из квазидискретных уровней составной системы. Область ее применимости определяется требованием, чтобы разность ~ Š— Е, ) была мала по сравнению с расстоянием 1) до соседних квазидискретных уровней ~ Š— Е, ~ (~ 1:).
(134,13) Эта формула несколько упрощается, если речь идет о рассеянии медленных частиц, т. е. если длина волны частиц в резонансной области велика по сравнению с размерами рассеивающей системы. При этом существенно лишь з-рассеяние; будем считать, что уровень Е, относится именно к движению с 1 = О. Амплитуда потенциального рассеяния сводится теперь к вещественной постоянной — а (см. $ 132) з), В амплитуде же резонансного рассеяния полагаем 1 = О и заменяем ехр (216еэ') единицей, поскольку 64" = — сей с4, 1.
Таким образом, получаем Г/2 ~(О) = ~ «(Е Е .( (Г12) (134,14) В узкой области ~ Š— Е, ~ Г второй член велик по сравнению с амплитудой сь и последняя должна быть опущена. Однако при удалении от точки резонанса оба члена могут сравняться. В приведенных выводах молчаливо подразумевалось, что величина самого уровня Е, не слишком мала, и резонансная область ие находится в окрестности точки Е = О. Если же речь идею о резонансе на первом квазидискретном уровне составной системы, расположенном на расстоянии от точки Е = О, малом по сравнению с расстоянием до следующего уровня (Е, (( 1)), то разложение (134,6) может стать незаконным; это проявляется уже в том, что амплитуда (134,!4) не стремится при Е-+.
О к постоянному пределу, как это требовалось бы для з-рассеяния согласно общей теории. Рассмотрим случай близкого к нулю квазидискретного уровня, снова предполагая, что в резонансной области рассеиваемые частицы настолько ысдленны, что существенно лишь з-рассеяние. Разложение коэффициентов В, (Е) волновой функции должно производиться теперь по степеням самой энергии Е. Точка Е = О а) Отметим, что формула (133,15) для резоиаисвого рассеяиия меллеииыи частик па положительном уровяе е с 1 чь О при Е, близких к е, полвостью соответствует резоиансиому члену в (! 34,12).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
