Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика. Т. 3. Квантовая механика (нерелятивистская теория) (1185132), страница 138
Текст из файла (страница 138)
Тогда косннус в третьем члене можно заменить единицей н получаетсп (137,8) Противоположный предельный случай, е',~ ой, соответствует переходу к классической механике (см, конец 5 127). В формуле (137,7) этот переход происходит весьма своеобразно.
При е' )) пй косинус в третьем члене в квадратных скобках есть быстро осцнллнрующая функцня. Прн каждом данном 8 формула (137,7) дает для сечения рассеяния значение, вообще говоря, заметно отличающееся от резерфордовского. Однако уже при усреднении по- небольшому интервалу значеннй 8. осцнллирующнй член в (137,7) исчезает, н мы приходим к классической формуле. Все написанные формулы относятся к снстеме координат, в которой центр инерции покоится. Переход к снстеме, в которой до столкновения одна из частиц покоилась, осуществляется, согласно (123,2), просто путем замены 8 на 28. Так, для столкновения электронов получим нз (137,7) х соз ~ — 1и 18'8)~ соз бг(о, (137,9) где Но есть элемент телесного угла в новой системе координат (прн замене 8 на 28 элемент телесного угла йо надо заменить на 4 соз 8 йо, так как з(п 8 г(8 Ыф = 4 соз 8 з|п 8 пб Нф). В ЫЗ» РПЗОНАНСНОП РАОСПЯНИЯ ЗАРЯЖПННЪ|Х ЧАСТИЦ 5ЗЗ Задача Определить сечение рассеянии Авух одинаковых частиц со спннои !/2, ииеивщих заданные средние значения спина з| и зв.
Р еш е ни е. Ззвнснность сечения от поляризация частиц Аолжнз выражатьсн членом, пропорционзлъныы схзляру з з . Ил|ем до в вахе а+ Ьз|з . дли неполнрнзоввниых частиц (з| = зв = 0) второй член отсутствует я, согласно (137,4), до = а = (лов+ Зв»ов)!4. Если же обе чвствцы полностью полиризовани в одном напрзвленин (з|з, = 174), то систеиз ззвелоыо нахоантсн в состоянии с 3 = 1; в зтои случае, следовательно, Ио = а+ Ь74 = дов. Определив из полученных двух равенств а и Ь, найден 1 до 4 (в»ив+ Здаа) + (дав — дов) зтзз. ф 138. Резонансное рассеяние заряженных частиц При рассеянии заряженных ядерных частиц (например, про. тонов протонами), наряду с короткодействующнми ядерными силами, имеется также и медленно убывающее кулоново взаимодействие.
Теория резонансного рассеяния строится в этом случае тем же методом, который был изложен в 9 133. Разница заключается лишь в том, что в качестве волновых функций в области вне радиуса действия ядерных сил (г )) а) надо пользоваться вместо решения уравнения свободного движения (133,2) точным общим решением уравнения Шредингера в кулояовом поле. При этом скорость частиц по-прежнему предполагается малой лишь настолько, что ла с(; 1; соотношение же между 1/»с и кулоновой единицей длины а, = йз/лЫ,Язез (лв — приведенная масса сталкивающихся частиц) может быть произвольным ').
При движении с 1 = О в кулоновом поле отталкивания уран. пение Шредингера для радиальной функции»( = г»те есть Кч + (й' — +)»( = О (138, 1) (мы пользуемся здесь кулоновыми единицами). В 9 36 было найдено решение этого уравнения, подчиненное требованию конечности»(»г при г = О. Это решеНие, которое мы обозначим здесь посредством Р„, имеет вид (см. (36,27) — (36,28)) Р = Ае™'йгР ( — +1, 2, — 2!лг), Лз =,„. (!38,2) Асимптотическое выражение втой функции нз больших расстояниях есть Ре ж з(п(йг — — (п 2йг+бнтв), 6,"|' = агя Г(1+ — '), (138,3) |1 Излагаемая нике теории была рззвнтз Л. Д. вуандоу н Я. А. Смородинсхнн (1944). ипругив столкновения 1гл.
хи!1 а первые члены разложения при малых г (йг сс 1, г (( 1) ге = Алг (1 + г + ...). (138,4) Теперь, однако, при изменившемся граничном условии поведение функции в нуле становится несущественным и нам нужно общее решение уравнения (138,!), представляющее собой линейную комбинацию двух его независимых интегралов. Параметры вырожденной гипергеометрической функции в (138,2) таковы (целое значение параметра 7 = 2), что мы имеем дело как раз со случаем, упомянутым в конце 5 б математических дополнений. В соответствии со сделанными там указаниями мы получим второй интеграл уравнения (138,1), заменив функцию )о в (138,2) какой-либо другой линейной комбинацией двух членов, сумма которых дает, согласно (г),14), вырожденную гипергеометрическую функцию.
Выбрав в качестве такой комбинации разность этих членов, получим второе независимое решение уравнения (138,1) (обозначим его как 6,) в виде ') Ае !агат 6е = 2 1ш . ( — 2гйг) " 6 (1 — — „, — —, — 21йг) Г (1+ — ') (138,5) (функция же ге является вещественной частью стоящего здесь выражения).
Его асимптотический вид на больших расстояниях 6е соз (йг — — „!и 2йг+ баул) (138,8) а первые члены разложения при малых т 6, = А 11+2» (!и 2г+2С вЂ” 1+Ь(й))+ ...), (138,7) где С = 0,577... — постоянная Эйлера, ай (/г) обозначает функцию Ь(й) = Гче ф( — — )+1п й (138,8) (где $ (г) = Г' (г) Т (г) — логарифмическая производная Г-функ. ции) ). Общий интеграл уравнения ()38,1) напишем в виде суммы сопв!' (т'е с1я бо + 60) (138,9) ') Функции Ре и Ое (как и переделенные аналогичным образом функции г, и Сч с 1~ 0) взвывают соответственно регулярной и нерегулярной кулоновыми функциями. ') Разложение (138,7) получается из (138,5) с помоппяо разложения (б, 17). При этом использованы известное соотношение 1 ър (1 + 7) = ф (3) +— г (которое легко получить из Г (а+ 1) = зГ (з)) и значения ф (!) = — С, ф(2) = = — С+ 1.
й !За! РезонАнсное РАссеяние ЕАРяженных чАстиц 666 г 4 Рис, 49 !) Для вычисления функции й (й) можно пользоваться формулой й(й! й вХ вЂ” С+ !пй, 1 «=1 которую легко получить с помощью формулы ф (г) = — С вЂ” — -1- г г п(п-(.г) ч 1 (см. Э. Уиглпмггр и дж. Ватсон. Курс современного анализа, т. П 4 12.16, Физматгиз, 19631. Предельные выражения функции й (й)ь й(й) ям — при й~1. А(й) = — С+ 1пй+ — '., при й>>1 йг 1,2 (последняя формула дает правильные, с погрешностью (4%, значения й (й) уже при й ) 2,5).
где с(н 6, — постоянная. Обозначение этой постоянной выбрано так, что асимптотический вид этого решения будет )( со З1п (Ь. — — !п 2йг+ 6"т'+ 6 ) (138,!0) Таким образом, 6, есть дополнительный сдвиг фазы волновой функции, обусловленный короткодействующнми силами. Мы дол. жны связать его с постоянной, фигурнруЮщЕй В ГраиИЧНОМ УСЛОВИИ й(г) ()('7)() !г а — — сопя(, заменяющем собой (д рассмотрение волновой функции в области действия ядерных сил. Однако, ввиду расходимости (как (п г) логарифмической производной )('()( при г -+ О, это условие должно быть отнесено теперь не к нулю, а к некоторому сколь угодно малому, но все же конечному значению г = р, Вычисляя (с помощью формул (138,4) и (138,7)) производную )(' (р)7)( (р) и приравнивая ее постоянной, получим граничное условие в виде йАа с!д 6, + 2 !!п 2р + 2С+ й (й) ) = = сопя!.
Выражение в левой стороне равенства содержит не зависящие от й постоянные 2 !п 2р + 4С; включим их в сопз(, обозначив ее после этого через — х. В результате получим окончательное выражение для с(д 6,, которое мы выпишем здесь в обычных единицах: с(п 6, = — — (е'"~" — 1) ~й(йа,) + — ",' ~. (138,11) кпркгиа столкноввния Егл. хуп В пределе !/а,— «О, т.
е. прн переходе к незаряженным части. цам, формула (138,11) переходит в соотношение с(н ба = — х/й, совпадающее с (133,6). На рис. 49 дан график функции Ет (х) '). Таким образом, при наличии кулонова взаимодействия «по. стоянкой» оказывается следующая величина. 2л с18 Ье 2 ( »луза, + — Ет (йа,) = — к. Мы поставили слово «постоянная» в кавычки, поскольку х пред.
ставляет собой в действительности первый член разложения по степени малой величины Еаа некоторой функции, зависящей от свойств короткодействующнх сил. Резонансу при малых энергиях соответствует, как было указано в 2 133, случай аномально ма. лого значения постоянной х. Ввиду этого для улучшения точ- ности следует учесть также и следующий ( йа) член разложения, содержащий коэффициент «нормального» порядка величины, т. е, надо заменить в (138,12) — х на ') — х,+ — г,й. 1 2 Наличие резонанса может быть связано, как было указано и 9 133, с существованием как истинного, так и виртуального дискретного связанного состояния системы.
Можно показать '), что критерием истинности или виртуальности уровня по-преж- нему является знак постоянной х. Полные фазовые сдвиги волновых функций, согласно (138,10), равны суммам 617' -)- 61. Поэтому сечение рассеяния Е' (О) = —,„~ (21 + 1) (ехр (216,"" + 216,) — 1) Р! (соз О). (138,13) р~а Разность в квадратных скобках представим в виде ехр (216~»'+ 216,) — 1 = 1ехр (216!У') — 1)+ + (ехр (216!у') (е ' ' — 1И. (138,14) Кулоновы фазы 6!У' вносят одинаковый по порядку велячнны вклад в амплитуду рассеяния при всех Е. Фазы же бы связанные с короткодействующпми силами, при Е чь О малы (при малых энергиях). Поэтому при подстановке (138,14) в (138,13) первую скобку оставляем во всех членах суммы; этн члены суммируются х) укажеь значения постонииых а = !/к» н те длн рассеяния протона на протоне: а = — 78 10-»е, т» = 28 !О !» см !кулонова единица длины 2азут а«' = 57,6 16 ы см).
Этн значения относятся к паре протонов с антнпараллельными спинамн (прн параллельных спинах система двух протонов, в силу прни. пипа Паули, вообще ие может находиться в а-состоянии). ») Сьь Л. Д. Ландау, Я. А. Смородинсний, 1КЗТФ 14, 269 !!944). 4 !Аэ) стОлкнОВения БыстРых электРОВОВ с АтомАми Еат в кулонову амплитуду рассеяния (!35,9) (О) = — .. ехр ~ — — 1п жп — +2!6 т ). 1 / рл 0 кта за,за зю4 (0/В! ~ Аа, 2 (138,15) Вторую же скобку в (138,!4) сохраняем только в члене с ! = О.
Таким образом, полная амплитуда рассеяния представится в виде ! (О) = („т„(0)+ —,.ь (енз — !) ехР (2!6,"т"). (138,16) Второй член в этом выражении можно назвать амплитудой ядерного рассеяния. Следует, однако, подчеркнуть, что такое разделение условно: ввиду определения б„согласно (138,11), наличие кулонова взаимодействия существенно сказывается и на этом члене, который оказывается совершенно отличным от того, что было бы при тех же короткодействующих силах для незаря- женных частиц. В частности, при йа,— О фаза б„а с нею и весь второй член в (138,16) стремятся экспоненциально (как ехр ( — 2Н7йа,)) к нулю, т. е. ядерное рассеяние полностью маски- руется кулоновым отталкиванием. В сечении рассеяния обе части амплитуды интерферируют друг с другом: 1 4эа / 2 0 х — — з!и ба соз ~ — !и з!и — + 6 ) + а .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
