Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика. Т. 3. Квантовая механика (нерелятивистская теория) (1185132), страница 139
Текст из файла (страница 139)
Э ' ~за, З о/ Мп' — ЗШ'— 2. 2 +4(аа,)'з1п 6„' . (!38,17) Здесь предполагается, что сталкивающиеся частицы различны; для одинаковых частиц амплитуда рассеяния должна была бы быть перед возведением в квадрат предварительно симметризована (ср. 5 137). 9 139. Упругие столкновения быстрых электронов с атомами Упругие столкновения быстрых электронов с атомами могут быть рассмотрены с помощью борновского приближения, если скорость падающего электрона велика по сравнению со скоростями атомных электронов, Ввиду большой разницы в массах между электроном и атомом последний можно считать при столкновении неподвижным, и система координат, в которой неподвижен центр инерции, совпадает с системой, а которой неподвижен атом. Тогда р и р' в формуле (126,7) обозначают импульсы электрона до и после столкновения, /и — масса электрона, а угол 0 совпадает с углом д отклонения электрона.
Потенциальная же энергия (7 (/) в формуле (126,7) требует должного определения. 1гл. хан упгугив столкновения 668 В 5 !26 мы вычисляли матричный элемент (г'р р энергии взаи. модействия по отношению к волновым функциям свободной частицы до и после столкновения. При столкновении с атомом необходимо учитывать также и волновые функции, описывающие внутреннее состояние атома. При упругом рассеянии состояние атома не меняется. Поэтому (1р р должно быть определено как матричный элемент по отношению к волновым функциям ара и гр„ электрона, диагональный по отношению к волновой функции атома.
Другими словами, (г' в формуле (126,7) надо понимать как потенциальную энергию взаимодействия электрона с атомом, усредненную по волновой функции последнего. Она равна е~р (г), где ~р (г) — потенциал поля, создаваемый в точке г средним распределением зарядов в атоме. Обозначив плотность распределения зарядов в атоме посред. ством р (г), имеем для потенциала ~р уравнение Пуассона г1цр = — 4пр (г). Искомый матричный элемент Уа а есть в основном компонента Фурье от У (т.
е. от Чг), соответствующая волновому вектору 9 = Х' — й. Применив уравнение Пуассона к каждой из компо. нент Фурье в отдельности, имеем Ь ((раегаг) 4а(раегаг 4пр, е~аг откуда гга = 4пра/д', т. е, ~ре-Ы'Лг = —, ) ре — 'а п)г. 4п Г 4' 3 (139,1) Плотность зарядов р (г) составляется из электронных зарядов и заряда ядра: р = — еи (г) + хеб (г), ие-" Л = — '"," (г — р(9)), (139,2) а~ где величина Р (4) определяется формулой р (д) = ~ ле — ~аг ~д/ (139,3) и называется атомным формфактором. Он является функцией угла рассеяния, а также скорости падающего электрона.
где еи (г) — плотность электронного заряда в атоме. Умножив на е — 'аг и интегрируя, имеем ~ ре — гаг ггг е ~ Пе-айаг д)г+ яе Таким образом, получаем для интересующего иас интеграла выражение Наконец, подставив (139,2) в (126,7), получим окончательно следующее выражение для сечения упругого рассеяния быстрых электронов атомом '): 4юзез До = — „, (Я вЂ” ~(д))'До, Рассмотрим предельный случай г/ао (( 1, где ао — порядок ве.
личины размеров атома. Малым о соответствуют малые углы рассеяния: д (( о,/о, где о, й/лтае — порядок величины скоростей атомных электронов. Разложим Р (д) в ряд по степеням д. Член нулевого порядка равен ) идУ, т, е. полному числу У электронов в атоме. Член первого порядка пропорционален ) гп (г) г1У, т. е. среднему значению дипольного момента атома; это значение обращается тождественно в нуль (5 75), Поэтому надо произвести разложение до члена второго порядка, что дает Я вЂ” г' (г/) = +1 пг' с(У; подставив в (139,4), получим гЬ = ~ — „, ~пгз с(У ~ г(о.
(139,5) Таким образом, в области малых углов сечение оказывается не зависящим от угла рассеяния и определяется средним квадра. том расстояния атомных электронов от ядра. В обратном предельном случае больших г/ (г/ае )) 1, б З оа/и) множитель е-'ч" в подынтегральном выражении в (139,3) есть быстро осциллирующая функция, и потому весь интеграл близок к нулю. Можно, следовательно, пренебречь Г (д) по сравнению с 2"; тогда остается сЬ= ~ — з) (139,6) згп'— й т. е. резерфордовское сечение рассеяния иа ядре атома. Вычислим также транспортное сечение оы = ) (1 — соз б) сЬ.
(!39,7) 9 Мы пренебрегаем обменными аффектами между рассеиваемым быстрым влектрояом и атомными электронами, т. е. не производим симметризации волновой функции системы, Закоаяость етого пренебрежения заранее очевидна: интерференция между быстро осциллируюпгей волновой функцией свободной частицы и волновой функцией атомных электронов в «обмеипом интеграле» приведет к тому, что связанный с вим вклад в амплитуду рассеяния окажется малым. й ззв1 столкновнния выстрых элнктронов с лтомлмн ббэ 1гл. хю) ипругив столкновниня В области углов 6 (( о,/п имеем, согласно (139,Ь), сЬ = соп51 5[п 6 б6 ж соп51 6 с[6, где соп51 не зависит от 6.
Поэтому в этой области подынтегральное выражение в рассматриваемом интеграле пропорционально 6Ч6, так что иа нижнем пределе интеграл быстро сходится. В области же 1 )) 6 )) ое/о имеем с[о ж соп51 (с[6/6 ), подынтегральное выражение пропорционально б6/6, т. е. интеграл (!39,7) расходится логарифмическн. Отсюда видно, что основную роль в интеграле играет именно эта область углов и можно ограничиться интегрированием только по ней.
Нижний предел интегрирования должен быть взят порядка о ~о; напишем его в виде е'/уйо, где у — безразмерная постоянная, В результате получим следующую формулу: оо — — 4п ( —,) 1п —,. (139,8) Точное вычисление постоянной у требует рассмотрения рассеяния на углы 6 > ва/и и ие может быть произведено в общем виде; о„слабо зависит от значения этой постоянной, поскольку оиа входит под знаком логарифма, умноженная на большую величину йо/ет. Для численного определения формфактора тяжелых атомов можно пользоваться распределением Томаса — Ферми плотности п (г). Мы видели, что в модели Томаса — Ферми п (г) имеет вид п (г) = яе/( — / (все величины в этой и следующих формулах измеряются в атомных единицах).
Легко видеть, что интеграл (139,3), вычисленный с такой функцией и (г), будет содержать д лишь в определенной комбинации с Е: Р(<)) = Ър(Ьдк- ). (139,9) В табл, 11 приведены значения универсальной для всех атомов функции тр (х) х), С атомным формфактором (139,9) сечение (139,4) будет иметь вид с[о = — [1 — Ф (бд2 пх)]т с[о = Ят)хФ /Е пао 5)п — ) с[о, (139,10) ') Кадо иметь в виду, что сри малых ч ета Формула неприменима, в соответствии с тем, что интеграл от лт' фактически ие может быть вычислен по методу Томаса — Ферми(см. приме минет) настр. Зч)).
Следует также помнить, что модель Томаса — Ферми ие отражает ниливидуальиых свойств атомов, иарушанинии их систематическое изменение с атомным номером. 4 ззз1 стОлкнОВения Выстных алектРОНОВ о Атомлмн 67! Таблица 11 атомный фактор по Томасу — Ферма е !з! е !з! е <к! 0,224 0,205 О',!89 О',!75 О,'167 0',156 2,!7 2,32 2,48 где Ф (х) — новая универсальная функция. Интегрированием можно получить полное сечение.
В интеграле основную роль играет область малых б. Поэтому можно написать г(о ж ЯзгзФ (2-!гзтг()/2) 2пб М, а интегрирование по Ю распространить до бесконечности! , = 2н2згз (' Ф ('Я-нз 19 Дб = '" Ез/з ~,ф (,) Д~, 2 / о' о о Таким образом, о имеет внд ге ге о = сопз1— (139,11) Аналогичным сбразом легко убедиться в том, что постоянная Т в формуле (139,8) будет пропорциональна 2 — ыз. Задача Вычислить сечение упругого рассеяния быстрых влеитронов атомо!ч водо. рода в основном состоянии. Р еш е н н е.
Волновая функция нормального состояния атома водорода есть ф = е г)ргп(в атомных единицах), так что п = е ~(п. Интегрирование в (!39,3) по углам производится иан при выводе формулы (!26,12) н даег г = — ) и (г) зш Чг дг = !Ч1+ — г! Ч о Подставив в (!39,4), получим 4 (8 + чз)з (4+ оз)' где д = 2о зрл (О/2). Лля вычисления полного сечения пишем с(о = 2пз!и Обб = — 44у 2п оз о 0,15 О',31 О,'46 о,'ог 0,77 0,93 (,ООО о'.922 0,79Г> О',6М 0,589 0,522 0,469 1,О8 1,24 1,39 1,55 1,70 1,86 2,'ог 0,422 0,378 0,342 О,'309 О,'284 о',г64 о,'240 упРуГие столкновения 1гл. хчп н интегрируем по од от О до 2о; поскольку, однако, о предполагается большим, з интеграл сходится, верхний предел можно заменить бесконечностью. В результате получим уи о =- —. Зо' транспортное сечение вычисляется кан интеграл 1 Г о„= — ) Чело. ~г 2оз,) Заменив переменную интегрирования, согласно 4+ де = и, и заменив везде, кроме члена а/и, верхний предел бесконечностью, получим 4п Г ! он = — ~!по+ — / 12 / в соответствии с (1Зз,й).
й !40. Рассеяние при спин-орбитальном взаимодействии До сих пор мы рассматривали лишь столкновения частиц, взаимодействие которых не зависит от их спннов. В этих условиях спины либо вообще не влияют на процесс рассеяния, либо оказывают косвенное влияние, связанное с обменными эффектами (2 137). Обратимся теперь к обобщению развитой в 2 123 общей теории рассеяния на случай, когда взаимодействие частиц суще.
ственно зависит от их спиноз, как это имеет место при столкно. вениях ядерных частиц. Рассмотрим подробно наиболее простой случай, когда одна из сталкивающихся частиц (для определенности будем считать, что это — частица падающего пучка) имеет спин 1/2, а другая (частица. мишень) — спин О.
При заданном (полуцелом) полном моменте системы ! орби. тальный момент может иметь лишь два значения ! = / ~ 1/2, которым соответствуют состояния'различной четности. Поэтому из сохранения ! и четности в этом случае следует также и сохра. нение абсолютной величины орбитального момента. Оператор / (5 125) действует теперь не только на орбиталь. ные, но и на спиновыс переменные волновой функции системы. Он должен быть коммутативен с оператором сохраняющейся величины 1'.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
