Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика. Т. 3. Квантовая механика (нерелятивистская теория) (1185132), страница 143
Текст из файла (страница 143)
и. В случаях, когда столкновение (например, ядерная реак. ция) может сопровождаться различными физическими процессами, говорят о различных каналах реакции. Наличие неупругих каналов оказывает определенное влияиие также и ца свойства упругого рассеяния. В общем случае иаличия различных каналов реакции асимпто.
тическое выражение волновой функции системы сталкивающихся частиц представляет собой сумму, в которой каждому возмож. изму каналу соответствует по одному члеиу. Среди них имеется, в частности, и член, описывающий частицы в начальном неизменеииом состоянии (как говорят, во входном канале). Ои представляет собой произведение волновых функций внутреинего состояния частиц и функции, описывающей их относительное движение (в системе координат, в которой покоится их центр инерции).
Именно эта последняя функция и интересует нас здесь; обозначим ее посредством ф и выясним ее асимптотический вид. Волновая функция ф во входном канале складывается из падающей плоской волны и расходящейся сферической волны, отвечающей упругому рассеянию.
Ее можно представить также и в виде суммы сходящейся и расходящейся волн, как это было сделано в 5 123. Разница заключается в том, что асимптотическое выражение для радиальных функций й~ (г) не может быть взято в виде стоячей волны. Стоячая волна есть сумма сходяшейся и расходящейся волн с одинаковыми амплитудами. При чисто упру. гом рассеянии это соответствует физическому смыслу задачи, но при наличии неупругих каяалов амплитуда расходящейся волны должна быть меньше амплитуды сходящейся волны.
Поэтому асимптотическое выражение ф будет даваться формулой (123,9) О ф = —,. ~ (21+ 1) Р~ (соз О) [( — 1)'+' е-'"'+ о,ем') (142,1) 1=В с той разницей, что 5, не определяются теперь выражением (123,10), а являются некоторыми (вообще говоря, комплексными) величинами с модулями, меньшими единицы. Амплитуда упругого рассеяния выражается через эти величины формулой (!23,11) Ш ) (6) = —,.
~ (2!+ 1) (5, — 1) Р1 (соэ 6), (142,2) 1=а Для полного сечения О, упругого рассеяния получим вместо (123,12) формулу о, = —, ~е„(21 + 1) ~ 1 — 5, 1«. 1-О (142,3) Полное сечение неупругого рассеяния, или, как говорят также, сечение реакций о, по всем возможным каналам, тоже можно выразить через величины 51. Для этого достаточно заметить, что для каждого значения 1 интенсивность расходящейся волны ослаблена по сравнению с интенсивностью сходящейся волны в отношении ~ 51 1«.
Это ослабление должно быть целиком отнесено за счет неупругого рассеяния. Поэтому ясно, что о„= —, ~) (21 + 1) (1 — ~ 51 ~«). (142,4) а полное сечение о, = а, + о„= А« ~~ (21+ 1) (1 — Ке 5,). (142,6) ге а Парциальная амплитуда упругого рассеяния е моментом 1, определенная согласно (123,16), есть (142,6) а каждый нз членов суммы в (142,3) и (142,4) есть парциальное сечение упругого и неупругого рассеяния частиц с моментом й о,'П = —" (21 + 1) ( 1 — 51 1; (а,"1= — аг-(2!+ 1) (1 — ! 5, 1~), (142,7) а1п = — (21+ 1) (1 — Ке 5,). Значение 51 —— 1 соотвегствуег полному отсутствию рассеяния (с данным !).
Случай же 5, = 0 отвечает полному «поглощеннва частиц с моментом ! (в (142,1) отсутствует парциальная расхо. «1«Э! УПРУГОЕ РАССЕЯНИЕ ПРИ НЕУПРУГИХ ПРОЦЕССАХ ЕЗ7 (гл хшп НЕУПРУГИЕ СТОЛКНОВЕНИЯ дящаяся волна с этим значением 1); при этом сечения упругого н неупругого рассеяний одинаковы о,'" = о,'о = —, (21+ 1). (142,8) Отметим также, что хотя упругое рассеяние может существовать и без иеупругого (при ( 5~ ! = !), но обратное невозможно: наличие иеупругого рассеяния непременно приводит к одновременному наличию упругого рассеяния. При заданном значении о)н парцнальное сечение упругого рассеяния должно находиться в интервале у оа — ~Г Оо — О)п ~( )/ О)" ~( у' Ов+ )Гоз — о,"', (142,9) где а, = (21+ 1) и/й'.
Взяв значение ) (О) из (142,2) при О = 0 и сравнив О выражением (142,5), получим соотношение 1ш ~ (0) 4 О~ (142,10) обобщающее ранее полученную оптическую теорему (125,9). Здесь 1 (0) есть по-прежиему амплитуда упругого рассеяния на нулевой угол, но полное сечение о, включает в себя также и неупругую часть. Мнимые же части парциальных амплитуд 1, связаны с пар. циальным сечением о)п соотношением а<п 1ш 7~ ——— (142,11) непосредственно следующим из (142,6) и (142,7). Тот факт, что коэффициенты 5~ в асимптотическом выражении волновой функции по модулю не равны единице, никак ие отражается на сделанных в Э 128 заключениях об особых точках амплитуды упругого рассеяния как функции комплексного Е; эти выводы сохраняют свою силу и при наличии неупругих процессов.
Аналитические свойства амплитуды меняются, однако, в том отношении, что она теперь невещественна иа левой вещественной полуоси (Е ( 0), а ее значении на верхнем и нижнем краях разреза при Е > 0 не являются комплексно сопряженными вели. чинами (соответственно не являются комплексно сопряженными и вообще все ее значения в симметричных относительно веще. ственной оси точках верхней и нижней полуплоскостей). При переходе с верхнего края разреза иа нижний путем полного обхода вокруг точки Е = 0 корень Т~Е меняет знак, т. е.
в результате обхода меняет знак вещественная (при Е ) 0) величина й. При этом сходящаяся и расходящаяся волны в (142,1) меняются ролями, соответственно чему роль нового коэффи. $14т! упругое РАссеяние пРи неупругих пРопессдх 699 циента Я! будет играть величина 1/51, обратная прежнему его значению !что отнюдь не совпадает с 51). Значения амплитуд у! на верхнем и нижнем краях разреза естественно обозначить как 11(й) и !1( — Й) (физической амплитудой является, разумеется, лишь )1 (й)1). Согласно (142,6) имеем 5,— ! !/5! — ! У1 (й) = эы Р1 ( — й) =— Исключив Я! из этих двух равенств, получим соотношение: )4 (й) — 1! ( — й) = 2(лг! (й) 1! ( — й) (142,! 2) (в отсутствие неупругих процессов было бы ! ( — й) = 1* (й) и соотношения (142,12) и (142,11) совпадали бы друг с другом). Переписав (142,12) в виде ! ! = — 2!'л, 14 (л) lс ( — л! мы видим, что сумма 1/!'! (й) + Й должна быть четной функцией й.
Обозначив эту функцию через д! (йз), имеем У1 (й) = „ (,.! (142, 13) четная функция д1 (йз), однако, не является теперь вещественной, как это было в (125,15) '). Когда пучок частиц проходит через рассеивающую среду, состоящую из большого числа рассеивающих центров, 'он посте- пенно ослабевает в связи с выбыванием из него частиц, испы- тывающих различные процессы столкновений. Это ослабление полностью определяется амплитудой упругого рассеяния на ну. левой угол и, при соблюдении определенных условий (см.
ниже), может быть описано следующим формальным методом '). Пусть 1 (О, Е) — амплитуда рассеяния на угол нуль на каждой отдельной частице среды. Будем предполагать, что ! мало по сравнению со средним расстоянием с( ()г/Ж)1гз между частицами; тогда можно рассматривать рассеяние на каждой из них в от- дельности. Введем в качестве вспомогательной величины некото- рое эффективное поле (4м1 неподвижного центра, определив его таким образом, чтобы вычисленная с его помощью борновская амплитуда рассеяния на угол нуль была бы как раз равна истин. '! Изложенные рассуждения, а с ними и вывод о четности функции и! предполагают достаточно быстрое убывание взаимодействия при г - оо, которое обеспечивало бы отсутствие разрезов в левой полуплоскости Е и тем самым дало бы возможность произвести полный обход вокруг точки Е = О.
') Излагаемые ниже представления применяются, в частности, для описания рассеяния на ядрах быстрых (с энергией порядка сотен Мэц) нейтронов, длина волны которых настолько мала, что по отношению к ним ядро может рассматриваться как неоднородная макроскопическая среда. НЕУПРУГИЕ СТОЛКНОВЕНИЯ [гл. ху1н ной амплитуде 7" (О, Е) (этим отнюдь не подразумевается, что борновское приближение применимо для вычисления 1 (О, Е) по истинному взаимодействию частиц!). Таким образом, по определению, имеем (см. (126,4)) ~ Уеи е(Р 1 (О Е) (142,14) где т — масса рассеиваемой частицы. Вместе с амплитудой 1" определенное таким образом поле комплексно. Связь между его радиусом действия а и величиной Уеи получается из оценки обеих сторон равенства (142,14) а'У,и й'Рт. (142,15) Определение (142,14), конечно, неоднозначно.
Наложим иа него еще дополнительное условие, чтобы поле Уеи удовлетворяло условию применимости теории возмущений: ! Уме ! (С й /тп (142, 16) (при этом ~ 1 ~ (( а). Легко видеть, что в таком случае ослабление рассеиваемого пучка может быть описано как распространение плоской волны по однородной среде, в которой частица обладает постоянной потенциальной энергией, равной — у г у 2пае У, = —,1У,Л'= — —, — 1(О, Е), (142,17) т. е. получающейся усреднением эффективных полей всех л( частиц среды по ее объему г'.
Это становится очевидным, если рассмотреть сначала рассеяние на отдельном участке среды, в котором хотя и находится уже много рассеивающих центров, но эффект рассеяния еще мал (возможность выделения таких участков обеспечивается условием (142,16)). Ослабление пучка прн прохождении через такой участок определяется амплитудой рассеяния на нулевой угол, которая в свою очередь в борновском приближении определяется интегралом от рассеивающего поля пв всему объему рассеивающего участка. Это и значит, что интересующие нас рассеивательные свойства среды полностью определяются усредненным по ее объему нолем (142,17).
Таким образом, проходящий через среду пучок частиц можно описывать плоской волной -е'ее с волновым вектором 1 Ф = — 2т (Š— Уеи). а Введя волновой вектор Фе = тГЫЕ~Й падающих частиц, напишем й в виде пйе1 величина л = 1 — — '" = 1+ — — "~ (О„Е) (142,1$) й таз) пиритов илссиянни при нитпвигих процессах б91 играет роль козффи1(иеипш преломления среды по отношению х проходящему через нее пучку частиц. Он, вообще говоря, комплексен (амплитуда комплексна!), и его мнимая часть опре- деляет ослабление интенсивности пучка. Если Е )) ) У,~~ ), то (142,18) дает, как и следовало, К пд' !у а 1шл= — — )щу(0 Е)= —— 'э' тЕ $' 2З ' где о, — полное сечение рассеяния (мы воспользовались здесь оптической теоремой (142,10)); зто выражение соответствует оче.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
