Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика. Т. 3. Квантовая механика (нерелятивистская теория) (1185132), страница 142
Текст из файла (страница 142)
!гл. хуп упругив столкновения В качестве примера рассмотрим траектории Редже для движения в кулоновом поле притяжения. Элементы матрицы рассеяния даются в этом случае выражением ') Г П + 1 — Е!!т) Г (!+ 1+ !!Ф) (141,10) (й — в кулоновых единицах), Его полюсы лежат в точках, где аргумент функции Г (! + 1 — !)й) равен целому отрицательному числу илн нулю. При Е <О имеем Ф = 1У вЂ” 2Е, так что а(Е) = — и„— 1+, Е с О, (141,1!) !' — 2Е где и„= О, 1, 2, ...
— число, нумерующее траектории Редже. Приравняв а (Е) целому числу 1 = О, 1, 2, ..., получим известную формулу Бора для дискретных уровней энергии в кулоновом поле 1 2 (л, + 1 + 1)з ' Число и, оказывается при этом совпадающим с радиальным квантовым числом, определяющим число узлов радиальной волновой функции. Каждой траектории Редже (т. е. каждому заданному значению и,) отвечает бесконечное множество уровней, отличающихся значением орбитального момента. Обратимся к свойствам функций а (Е) при Е > О.
Напомним (см. 5 128), что функции А (1, Е) и В (1, Е) в (141,!) как функции комплексной переменной Е определены на плоскости с разрезом иа правой вещественной полуоси. Соответственно такой же разрез имеют и функции ! = а (Е) — корни уравнения В (1, Е) = О. На верхнем и нижнем краях разреза а (Е) имеют комплексно сопряженные значения; при этом на верхнем краю 1гп а > О. Не останавливаясь на формальном доказательстве этого утверждении, приведем более физичиые соображения, поясняющие его происхождение.
При комплексном 1 становится комплексной также и центро. бежная энергия, а с нею и эффективная потенциальная энергия ()! = (! + ! (! + 1)/2тгз. Повторив изложенный в 5 19 вывод, получим теперь вместо (19,6) — ) Ч')з+ б)у ) = 2) Ч' ~а 1т У!. При ! = а, 1гп а > 0 имеем также и 1тп У! > 0; тогда выражение в правой стороне равенства положительно, что означает как бы испускание новых частиц в объеме поля. Соответственно асимптотическое выражение волновой функции (содержащее при В = О т) Ср, формулу (135,11), в которой (для перехода от случая отталкивания к случаю притяжения) надо изменить знаки перед е.
йг«!1 пОлюсы Раджа лишь первый из двух членов в (141,1)) должно представлять собой расходящуюся волну; именно это имеет место на верхнем краю разреза — ср. переход от (128,1) к (128,3). Поскольку при Е > О функции и (Е) комплексны, они не могут принимать здесь своих «физическихэ значений 1 О, 1, 2, ... Они могут, однако, оказаться близкими (в плоскости комплексного 1) к таким значениям.
Покажем, что в таком случае в парциальной амплитуде рассеяния (соответствующей данному целому значению 1) возникает резонанс. Пусть 1, — целое значение, к которому близка функция и (Е). Пусть, далее, Е, — такое (вещественное положительное) значение энергии, для которого Гсе и (Е,) = 1,. Тогда вблизи этого значения имеем и(Е) т1,+ 1«»+ 8(Š— Е,), (141,12) где г! = 1т и (Е,) — вещественная постоянная.
Будем рассматривать значения и (Е) на верхнем краю разреза; согласно сказанному выше тогда т» > О (причем, по предположению о близости и к 1„«! <( 1). Легко видеть, что и постоянную р (т. е. производную г(и»г(Е при Е = Е,) можно считать вещественной положи. тельной величиной. Действительно, поскольку и (Е) почти вещественна, то почти вещественна и волновая функция )((г; и, Е). Пренебрегая величинами высших порядков малости по т», можно пренебречь мнимой частью )(, тогда положительность 8 следует из положительности интегралов в соотношении (141,9) '), Поскольку значение 1 = и (Е) является нулем функции В (1, Е), то вблизи точки и, Е, эта функция пропорциональна и — 1.
С учетом (141,!2) имеем поэтому В (1а, Е) ж сопя(»а (Š— Ер) + (т)». (141,18) Но это выражение по форме как раз совпадает с (134,6), причем Е, оказывается энергией, а Г = 2«)/а > Π— шириной Квази- дискретного уровня. Таким образом, близость траектории Редже ') Для уяснення структуры этих яятегралов отметим, что аснмптотнческая область г Ъ а (а — раднус действня поля), где справедливо выраженно (141,1) дая волновой функции, вносит лишь малый вклад в интегралы, асан Ч мало. Дай«такт«льна, если ! = о (Е) — нуль функции В (1, Е), то (в сиЛу (!41,511 ! = и' — нуль функции А (1, Е). Поэтому А (а, Е) (а тем самым П Х (г; и, Е) в области г Ъ а) оказываются малыми величинами Чг(р (см.
(!34«11)). Пря оценке нятегралов существенно таяже, что на верхнем краю рйзр!йй (по Е) ноановая фувкцня солержнт множитель е~~'. Х (г; а, Е) А (а, Е) ег г. На этом краю можно понимать е как е+ !6 (где б- +О); тогда я й получает малую положнтельную мнимую часть, чем обеспечивается сходнмость ннтегралдв в (!41,9). Фнзнческн малость вклада в интегралы от областн г Лр а свяэайа с тем, что энергия Ер отвечает квазнстацнонарному состоянию (см.
ниже); поэтому частпца попадает в эту область лишь в результате маловероятного распада состояння. Основной же вклад в интегралы возннкает от области г а, в которой волновая функция почтн вещественна. упругив столкноввния [гл хон (при Е ) 0) к целым значениям 1 отвечает квазистационарным состояниям системы. Тем самым для этих состояний возиикаев тот же классификационный принцип, что и для строго стацио. парных состояний: каждой траектории Редже может отвечать целое семейство дискретных и квазидискретных уровней.
Рассмотрение 1 как комплексной переменной позволяет полу. чить полезное интегральное представление для полной амплитуды рассеяния (при Е > 0), даваемой рядом (123,11) 1(р) = —.й ~(21+1) ]5 (1, Е) — 1] Рь (р), р = сов 6. (141,14) г о Для этого надо прежде всего определить функции Р, (р) не только при целых 1~~ О, но и при комплексных значениях 1. . Это можно сделать, понимая под Р, (р) решение уравнения (с,2) (1 — р') Р"ь (р) — 2рР] (р)+1(1+1) Р, (р) = 0 (141,16) с граничным условием Р, (1) = 1. Определенная таким образом Р, (р) как функция 1 не имеет особенностей при конечнььх значениях этой переменной ').
Легко видеть, что ряд (141,14) совпадает с интегралом 1(!") = 44,] з1пн! (5 (1, Е) — 1] Р, ( — Р) г(1, (141,16) с взятым по пути С, обходящему в отрицательном направлении (по часовой стрелке) все точки 1 = О, 1, 2, ... иа вещественной оси, и замыкающимся на бесконечности:. При этом все полюсы 1 = а„а„... функции 5 (1, Е) (расположенные при Е ) О не на вещественной оси) должны оставаться снаружи от контура С. Действительно, интеграл (!41,16) сводится к (умноженной на — 2п() сумме вычетов подынтегрального выражения в точках 1 = О, 1, 2, ...
— полюсах функции 1/з!и и1, причем вычеты самой этой функции равны ( — 1)г/ц. Заметив также, что при целых 11 Р! ( — р) = ( — 1)'Р, (р), сведем (141,16) к (!41,14) '). т! Путем сравнения 1!41,18) с уравнением (е,2), можно выразить Рь (р) через гипергеометрическую функцию Рь(р)=!г ( — 1, 1+1; !! — ).
2 з! Более подробное изложение рассмотренного в этом параграфе круга вопросов (в рамках нерелятивистской теорни! можно найти в указанной на стр. 888 книге де Альфаро и Редже. ПОЛЮСЫ Рнджи й 1411 635 Задача Показать, что фазовые сдвиги, соответствуюшие последовательным целым значениям 1, удовлетворяют неравенству 6!+г (Е) — 61 (Е) < и/2. Р е ш е в и е. Будем рассматривать ! как непрерывную вещественную пе.
ременную и продифференцируем по 1 уравнение (32,10): — + ~ —. (Š— (/) —, ] — = (2!+ П— дХ" г 2ш !(!+1) т дх Х ~ Лз д( гз Умножая зто уравнение на Х, а исходное — на дХ/д! н вычитая одно из другого находим: — — — = (21+ 1) —.
дХ' Х' д! д1 1 гз Проинтегрируем зто равенство по г от 0 до со. При г = 0 выражение в квадратных скобках равно нулю, а при г — оо можно использовать для Х асимптотическое выражение (33,20). В результате получаем м 44~ — — — /1 =(2!+1) ~ — дг)0, г н дб! т Р Х' 'т2 д! г' о так что дбг/д1 с„н/2. Интегрируя зто соотношение по ! от ! до !+ 1, получаем искомое неравенство. Комбинируя его с формулой (133,!7), можно доказать, что число дискретных уровней лг не возрастает с ростом !.
Действительно, при Е -+ оо, когда справедливо борнавсное приближение„фазы рассеяния стремятся к нулю, тан что 6! (со) = О. Тогда 1 лг+ — Ш = — (62+2 (0) — 6! (О)1 ( 1/2, л!22 — аг(~ О, Г Л А В А ХЧ1П НЕУПРУГИЕ СТОЛКНОВЕНИЯ й 142. Упругое рассеяние при наличии неупругнх процессов Осуиругими называют столкновения, сопровождающиеся изме» нением внутреннего состояния сталкивающихся частиц. Эти изме. пения мы понимаем здесь в самом широком смысле, в частности, может меняться и самый род частиц. Так, речь может идти о возбуждении или ионизация атомов, возбуждении или распаде ядер и т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
