Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика. Т. 3. Квантовая механика (нерелятивистская теория) (1185132), страница 140
Текст из файла (страница 140)
Наиболее общий вид такого оператора 7=а"+ьГ$, (140,1) где а, Ь вЂ” орбитальные операторы, зависящие только от 1*. 5-матрица, а с нею и матрица оператора / диагональны по отношению к волновым функциям состояний с определеннымн значениями сохраняющихся величин ! и ! (и проекции гп полного момента), причем диагональные элементы выражаются через 4 !40! РАССЕЯНИБ ПРИ СПИН-ОРБИТАЛЬНОМ ВЗАИМОДБйСТВИИ 673 фазы б волновых функций формулой (123,15). При заданных 1 и полном моменте / = 1+ 1/2 и 1 = 1 — 1/2 собственные значения!з равны соответственно 1/2 и — (1+ 1)/2 (см. (118,5)).
Поэтому для определения диагональных матричных элементов операторов б н Ь (обозначим их а! и б!) имеем соотношения а!+ — 5, = —.(е ' — 1), а, — — Ь! = —,(с ' — 1), ! Нв! !+! ! зй! 22Д 2 2ьь (140,2) где фазы б! и 67 соответствуют состояниям с / = 1+ 1/2 и 1 = = 1 — 1/2. Нас интересуют, однако, не сами по себе диагональные эле.
менты оператора 1 по отношению к состояниям с заданными 1 и /, а амплитуда рассеяния как функция направлений падающей и рассеянной волн. Эта амплитуда будет все еще оператором, но уже только по отношению к спиновым переменным — оператором, недиагональным по проекции спина а. Ниже в этом параграфе мы будем обозначать буквой / именно такой оператор. Для его нахождения надо воздействовать оператором (!40,1) на функцию (125,17), соответствующую падающей (вдоль оси г) плоской волне. Таким образом, / = ~; (21 +!) (а, + Ь,! з) Р, (соз 0).
(140,3) Здесь надо еще вычислить результат воздействия оператора 1з на функцию Р, (соз О). Это можно сделать, написав (з= — (1,з +1з,)+1,з, (см. (29,!1)) и воспользовавшись формулами (27,12) для матричных элементов операторов 1; еще проще воспользоваться непосредственно операторными выражениями (26,14), (26,15). Простое вычисление дает !БР, (соз О) = 1тзР) (соз 0), где Р) — присоединенный полипом Лежандра, а и — единичный вектор в направлении (пп' ), перпендикулярном к плоскости рассеяния (и — направление падения вдоль оси г; и' — направление рассеяния, определяемое сферическими углами О, ф). ггл.
хуц нпгкгие столкновения Определив ап Ьг из (140,2) н подставив в (140,3), получим теперь окончательно / = А+2Вта, А = к. ~~ [(1+1)(еме' — 1)+1(е ' ' — 1ЦРг (сов 6), г=о В = 1 ччч (е"е' — етге1 ) Р', (соз 0). 2л (140,4) (! 40,5) Матричные элементы этого оператора дают амплитуду рассеяния с определенными значениями проекции спина в начальном (о) и конечном (о') состояниях. Рассмотрим сечение, просуммирован. нос по всем возможным значениям о' и усредненное по вероятностям различных значений о в начальном состоянии (в падающем пучке частиц). Такое сечение вычисляется как с(о (/'/)„г(о; (140,6) взятием диагональных матричных элементов от произведения 1'1 достигается суммирование по конечным состояниям, а черта означает усреднение по начальному состоянию ').
Если в начальном состоянии все направления спина равновероятны, то это усреднение сводится к взятию следа матрицы (деленного на число возможных значений проекции спина о) йт = — Ьр (/'/) до. (140,7) При подстановке (140,4~ в (140,6) среднее значение квадрата (тз)а вычисляется как яаз /3 = а (а + 1)/3 = 1/4. В результате получим ') Если квадрат модуля !/е„ !т матричного влемента накого-либо оператора лля перекола О - л суммируется па конечным состояниям я, то получается ~а ~! /ее! = ~л ~1ее(1ев)* ~а ~!еп (/")не = 111)ее.
е л л Во набежаине нелоравумеина подчеркнем, что анан сопряжения Ч в (Габ,б) и авеле ниже относится к 1 как спнновому оператору н, в частности, ие полравумевает транспоннроваиня и н и'. и = ! А )Я+ ! В )Я+2 Ве(АВ*) тР, (140,8) где Р = 2а — начальная поляризация пучка, определенная как отношение среднего спина в начальном состоянии к его наиболь. шсму возможному значению (1/2). Напомним, что в случае спина 1/2 вектор з полностью характеризует спиновое состояние (5 59).
Обратим внимание на то, что поляризация падающего пучка приводит к азимутальной асимметрии рассеяния: благодаря множителю РР в последнем члене сечение (140,8) зависит не только от полярного угла 6, но и от азимута ~р вектора и' по отношению к п (если только поляризация не перпендикулярна к т, так что ТР ~ О), Поляризация рассеянных частиц может быть вычислена по формуле 2 0 аВее (/ /)ее (! 40,9) Так, если начальное состояние не поляризовано (Р = О), то про- стое вычисление дает 2 Йе (АВ") (А )а+)В )а (140,10) Таким образом, рассеяние приводит, вообще говоря, к появле. нию поляризации, перпендикулярной к плоскости рассеяния.
Отметим, однако, что этот эффект отсутствует в борновском приближении: если все фазы 6 малы, то в первом приближении по ним коэффициент А — вещественный, а  — чисто мнимый, так что Ке (АВ') = 'О. Тот факт, что поляризация Р' (140,10) направлена вдоль т, заранее очевиден: Р' есть аксиальный вектор, а и — единствен. ный аксиальный вектор, который может быть составлен нз имеющихся в нашем распоряжении полярных векторов и и п'. Очевидно поэтому, что этим свойством будет обладать также и поляризация, возникающая при рассеянии неполяризованного пучка частиц со спином 1/2 на неполяризованной мишени нз ядер с любым (а не только нулевым) спином '). В формулировке теоремы взаимности для рассеяния при на. личин спинов следует учесть, что обращение времени меняет знаки не только импульсов, но и моментов.
Поэтому симметрия рассеяния по отношению к обращению времени должна выражаться в этом случае равенством амплитуд процессов, отличающихся друг от друга не только перестановкой начального и конечного состояний и изменением направлений движения на обратные, но также и изменением знаков проекций спинов частиц в обоих состояниях. При этом, однако, знаки этих амплитуд могут оказаться различными в связи с тем, что обращение по времени вносит, согласно (60,3), в спиновую волновую функцию ') Мм имеем здесь в виду мишень на ядер с полностью беспорядочно распределенными направлениями спинов. Напомним, что прн а ) 1/2 среднее значение веитора спина не определяет полностью спиновое состояние н его равенство нулю ие означает еше полного отсутствия упорпдочення спинов.
$ Ыа) РАССЕЯНИЕ ПРИ СПИН. ОРБИТАЛЬНОМ ВЗАИМОДЕЙСТВИИ Зуо упРуГие столкновения (гл. хчн 676 множитель ( — 1)' . Это обстоятельство приводит к тому, что тео. рема взаимности должна формулироваться следующим образом ')1 /(Оь оа, и; 0;, О,', и') = = ( — 1)л1* '/( — 01, — 0х, — П'; — Он — Оа, — П). (140,11) здесь / (0„0,, и; 01, оа, п') — амплитуда рассеяния с изменением проекций спиноз сталкивающихся частиц от значений 0„ О, к значениям оь О,'; сумма в показателе степени берется по обеим частицам до и после рассеяния. В борцовском приближении рассеяние обладает дополнитель.
ной симметрией — оказываются одинаковыми вероятности процессов, отличающихся друг от друга перестановкой начального н конечного состояний, без изменения знаков импульсов и проекций спинов частиц, как при обращении времени $ 126). Комбинируя это свойство с теоремой взаимности, найдем, что рассеяние симметрично по отношению к изменению знаков всех импульсов и проекций спиноз, без их перестановки. Отсюда легко заключить, что в борновском приближении невозможно возникновение поляризации при рассеянии любого неполяризованного пучка на неполяризованной мишени. Действительно, при указанном преобразовании вектор поляризации Р меняет знак, а единственный вектор (йн'1, вдоль которого может быть направлен Р, остается неизменным.
таким образом, свойство, отмеченное выше для рассеяния частиц со спином 1/2 на частицах со спином О, имеет в действительности общий характер. . В случае произвольных спиноз сталкивающихся частиц общие формулы для угловых распределений весьма громоздки, и мы не станем останавливаться здесь на их выводе. Подсчитаем лишь число параметров, которыми должны определяться эти распределения. Рассмотренный выше случай столкновения частиц со спинами !/2 и О характерен, в частности, тем, что заданным значениям / и четности соответствует всего одно состояние системы двух частиц (отвлекаясь от несущественной ориентации полного момента в пространстве), От каждого такого состояния в амплитуду рассеяния входит один вещественный параметр (фаза Ь).
В случае же других спиноз существует, вообще говоря, по нескольку различных состояний с одинаковыми полным моментом / и четностью; этн состояния различаются значениями полного спина частиц 5 и орбитального момента их относительного двн- т) Вывод этого соотиощеиия аналогичен выводу формулы (125,121. При атом в амплитуды сходящихся и расходящихся волн в волновой фуикпии должны быть введены спииовые множители и вместо (!25,10) получается условие К тоК = = 5, где К вЂ” оператор, не тольно производящий инверсию, но и прсобраау>ощий спииовое состояние согласно (60,3). В ы01 РАссеяние пРН спин-ОРБитАльнОм 83АимОдейстВии ВТТ жения 1. Пусть число таких состояний будет и. Легко видеть, что от каждой такой группы состояний в амплитуду рассеяния входит и (и + 1)/2 независимых вещественных параметров.
Действительно, по отношению к этим состояниям 5-матрица представляет собой унитарную симметричную (в силу теоремы взаимности) матрицу с и и комплексными элементами. Подсчет числа независимых величин в этой матрице удобно произвести, заметив, что если представить оператор 5 в виде 5 = ехр (//с), то условие унитарности выполняется автоматически, когда Я— произвольный эрмитов оператор (см. (12,!3)). Если матрица 5 симметрична, то симметрична и матрица Й и, будучи эрмитовой, она вещественна.
Вещественная же симметричная матрица имеет и (и + 1)/2 независимых компонент. Для примера укажем, что для двух частиц со спинами 1/2 число п = 2. Действительно, при заданном / имеется всего четыре состояния: два состояния с 1 = У и полным спином 5 = 0 или 1 и два состояния с 1 = / ~ 1, 5 = 1. Очевидно, что два из них четны (1 четно) и два — нечетны (нечетные 1). Общий вид амплитуды рассеяния частиц со спином 1/2, как оператора по спиновым переменным Обеих частиц, легко написать, исходя из необходимых условий инвариантности: это должен быть скаляр, инвариантный по отношению к обращению времени. Для составления этого выражения в нашем распоряжении имеются два аксиальных вектора спинов частиц з, и з, и два обычных (полярных) вектора п и п'.
При этом каждый из операторов Б, и Б, должен входить в амплитуду линейно, поскольку всякая вообще функция оператора спина 1/2 сводится к линейной. Наиболее общий вид оператора, удовлетворяющего этим условиям, можно представить в виде / = А+ В (Б,Х) (Б,А)+С (БУ) (БА)А)+ Р (Б,т) (ззт)+ + Е (з, + Б„т) + Е (Б, — з„т). (140,12) Коэффициенты А, В, ...
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
