Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика. Т. 3. Квантовая механика (нерелятивистская теория) (1185132), страница 141
Текст из файла (страница 141)
— скалярные величины, которые могут зависеть только от скаляра ии', т. е, от угла рассеяния 0 (и от энергии); ), )А, т — три взаимно перпендикулярных единичных вектора, направленных соответственно вдоль п + и', п — и' и (ип']. Операции обращения времени соответствует замена Р з — ~. — з, з -ь — Б, и -ь — и, п -~" — п. При этом Х-3.— А, )А-ь)А, 7-~ — т и инвариантность оператора (140,12) очевидна. упРуГие столкновения (гл.
Къи В случае взаимного рассеяния нуклонов (протонов и нейтронов) последний член (140,12) отсутствует. Это следует уже хотя бы из того, что действующие между нуклонами ядерные силы со. храняют абсолютную величину полного спина системы 3; оператор >ке э,— э, не коммутирует с оператором оа (остальные члены в (140,12) выражаются, согласно (117,4), через оператор полного спина В и потому коммутируют с аз). При рассеянии одинаковых нуклонов ()гр или пп) коэффициенты А, В, ... как функции угла рассеяния удовлетворяют также определенным соотношениям симметрии, являющимся следствием тождественности обеих частиц (см.
задачу 2). Задачи 1. Для рассеяния частиц со спинам 1/2 на частицах со спинам 0 определить поляризацию после рассеяния, если до рассеяния она тоже была отлична от нуля. Р е ш е н н е. Вычисление по формуле (140,9) удобно производить в хамно. нентах, выбрав ось а вдоль направления т. В результате получим Р'— (1 А )в — )В )в) Р+ 2)В 1'ч(чР) + 21ш (АВ*) (чр)+ 2ч)4е(АВ') 1 А 1' + 1 В (э + 2 йе (АВ') чр 2. Найти условия симметрии, которым удовлетворяют как функции угла 6 коэффициенты в амплитуде рассеяния двух одинаковых нунловов ()7. ОеЬюе, ! 988).
Р е ш е и н е. Перегруппируем члены в (140,12) таннм образом, чтобы наждый из иих был отличен от нуля лишь для синглетных (5 = О) нли триплегныи (5 = !) состояний системы иухлонов: / 1 з х г ! 1 = а ( в,в, — — ) + Ь 1 ви, + — ) + с ~ —.1- (з,ч) (в, и) 1 -1- +ч 1(в и) (ввп ) -1-(вгп ) (ввпП+с(в, + вв, ч). (1) С помощью формул (117,4) легко убедиться, что первый член отличен ог нуля лишь прн 5 = О, а остальные — при 5 = 1.
В силу тождественности частиц амплитуда рассеяния должна быть симметрична относительно перестановки координат частил при В = О и антисимметрична при 5 = 1; это преобразование означает замену 6 - ц — 6 или, что то же, изменение знака одного из вехторов п и и' (ср. 4 !37). Иэ этих условий получаем следующие соотношения: а (и — 6) = а (8), Ь (и — 8) — Ь (6), с (и — 8) = †с (0), Л (и - 8)й д (6), е (п — 8) = с (6). (2) и силу изотопической инвариаитноств амплитуда рассеиния одинакова для рассеяний яп н рр и для рассеяния лр в иэотопнческом состоянии с Т = !. Лля системы лр возможно, однако. также и состояние с Т = 0; в результате амплитудз рассеяния лр характеризуется другими козффициеятами а, Ь, ... в (1), не обладающими свойствамк симметрии (2).
й 141. Полюсы Редже В 9 128 были рассмотрены аналитические свойства амплитуды рассеяния как функции комплексной переменной Š— энергии частиц; орбитальный момент 1 играл при этом роль параметра, полюсы гаджа й ыт! пробегающего вещественные целые значения. Дальнейшие суще. ственные с методической точки зрения свойства амплитуды рассеяния выясняются, если рассматривать теперь 1 как непрерывную комплексную переменную, при вещественных значениях энергии Е ').
Как и в $ 128, рассмотрим радиальные волновые функции с асимптотическим (при г -» со) видом )О = гЛ, = А (1, Е) ехр ( — а л г) + )г — 2тп + В (1, Е) ехр (, г) (141,1) Этк функции являются решениями уравнения Шредингера (32,8) (в котором 1 рассматривается теперь как комплексный параметр), причем отбор одного из двух независимых решений производится условием Р~ ж соп51.г~ црн г -«О. (141,2) Сразу же отметим, что такое условие накладывает определенное ограничение на допустимые значения параметра 1. Действительно, общий вид решения уравнения (32,8) при малых г есть Я, ж с,г'+ с»г-~-1 (см. конец 5 32). Для того чтобы второе решение могло быть однозначным образом выделено «на фоне» первого и исключено, член с г-' ' должен быть при г-» О больше члена с г'.
При комплексных значениях 1 отсюда возникает условие Йе 1 > > йе ( — 1 — 1), т. е. (141,3) Везде ниже рассматривается именно эта полуплоскость комплексного 1 — справа от вертикальной прямой 1 = — !/2. Будучи решением дифференциального уравнении с аналитическими по параметру 1 коэффициентами, волновая функция )! (г; 1, Е) является аналитической функцией этого параметра, не имеющей особенностей в полуплоскости (141,3). Это относится, в частности, и и асимптотическому выражению (141,1), а потому функции А (1, Е) и В (1, Е) не имеют особенностей по 1. При этом, однако, подразумевается, что сохранение (при г -~- оо) обоих членов в (141,1) действительно законно. При Е > О это всегда так, а при Е < Π— справедливо, если поле У (г) удовлетворяет условиям (!28,6) или (128,! 3). В этих рассуждениях существенно, что характер асимптотнческого (по г) поведения волновой функ- «! Этв свойства впервые в»у«алась Редме (Г.
дсййе, !Зов). вао УПРУГИЕ СТОЛКНОВЕНИЯ ции зависит только от Е, но не от 1; поэтому не меняет условий перехода к асимптотике. Сравнив (141,1) с асимптотической формулой элемент 5-матрицы в виде 5 (1, Е) = ехр [2!б (1, Е)] = е'"' Ггл. ~хчп комплексность 1 (128,15), найдем (141,4) справедливом и при комплексных значениях 1 (при этом, однако, «фазовый сдвиг» 6 уже не веществен). При вещественных значениях 1 и при Е ) О функции А и В связаны соотношением (128,4): А (1, Е) = Ва (1, Е). Отсюда следует, что при комплексных 1 А (!", Е) = В* (1, Е) при Е > О, (141,5) а потому 5 (1, Е) удовлетворяет условию комплексной унитарности 5' (1, Е) 5 (Р, Е) = 1.
(141,6) В силу отсутствия особенностей у А (1, Е) и В (1, Е) как функций от 1 функция 5 (1, Е) (а с нею и парциальная амплитуда рассеяния ! (1, Е)) имеет особенности (полюсы) лишь в нулях функции В (1, Е). Полюсы амплитуды рассеяния в плоскости комплексного 1 называют полюсаии Раджа.
Их положение зави. сит, конечно, от значения вещественного параметра Е. Функции 1= а;(Е), определяющие положения полюсов, называют трцеклюриями Раджа; при изменении Е полюсы перемещаются в плоскости 1 по определенным линиям (индекс 1, нумерующий полюсы, мы будем ниже опускать). Приступая к изучению свойств траекторий Редже, покажем прежде всего, что при Е ( О все а (Е) — вещественные функции.
Для этого рассмотрим уравнение )ГВ + ~ — „, (Š— У(Г)) — ~ ) ~У, = О, (141,7) которому удовлетворяет волновая функция с ! = а. Умножив это уравнение на 1(~ и проинтегрировав его по йг (причем первый член преобразуется интегрированием по частям), получим ОΠ— ') ~ Х' 1' с(Г + — „, ) (Š— У) ( )( 1' пг — а (а + 1) ) ~ ~,~ йг = О. О а В Здесь учтено, что при В = О (условие, определяющее полюсы Редже) волновая функция экспоненциально затухает при г-+ оо, так что все интегралы сходятся. Первые два члена в полученном э 44! ] полюсы Раджа равенстве вещественны, а в последнем члене веществен интеграл, Поэтому должно быть 1гп а (а+ 1) = 1т (я+ — ) = 2 Ке (я+ — ) 1ш и = О.
Но поскольку мы рассматриваем лишь полюсы, находящиеся на полуплоскостн (141,3), то заведомо Ке (я (- 1/2) > О, н мы при- ходим к требуемому результату 1ш а (Е) = О при Е < О. (! 41,8) Далее, произведем с уравнением (141,7) следующие операции (аналогичные выводу равенства (128,10)): дифференцируем его по Е, умножаем полученное уравнение на т,, а исходное уравнение (141,7) — на дд/дЕ; вычтя затем одно из другого, получим тождество Проинтегрируем его по 4(г от О до оо, снова учтя при этом обращение т в нуль при г- оо.
Интеграл от первого члена обра. щается в нуль, н мы находим Ю аа(а+!) (' х» 2т (' 44Е ! « = В« — (' —,дг = — ~~ Х'дг. о о (141,9) Ввиду известной уже нам вещественности а, вещественна также и волновая функция, а потому оба интеграла в (141,9) заведомо положительны. Следовательно, — и (а + 1) = 2 (а + — ) — ) О, и ввиду положительности я+ 1/2 4(а дд ) О при Е О. Таким образом, при Е < О функции а (Е) монотонно возрастанп с увеличением Е. Отрицательные значения Е, при которых функции а (Е) при. нимают «фнзические» значения (т. е. равны целым числам 1 = О, 1, 2, ...), отвечают дискретным уровням энергии системы. Отметим, что таким образом возникает новый классификационный принцип для связанных состояний: по траекториям Редже, на которых они лежат.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
