Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика. Т. 3. Квантовая механика (нерелятивистская теория) (1185132), страница 137
Текст из файла (страница 137)
о Поэтому в коэффициентах перед интегралами можно положить й = й'; воспользовавшись также формулой (!24,3), имеем ~ Ц~),"н*Щ+' Г()Г = —, 6 (й' — й) ~ (21 + !) Р~ (соз у) = в п 6 (л — я) 6 (1 — соз у). Стоящее справа выражение равно нулю при всех й ~ к', а при умножении на 2пй з|п у 47 тя/(2п)о и интегрировании по всему к-пространству дает 1, что и доказывает формулу (136,2). Наряду с системой функций тК", можно ввести также систему, соответствующую состояниям, в которых на бесконечности имеется плоская волна и вместе с ней — сходящаяся сферическая.
Эти функции, которые обозначим через ~К ', получаются из функций фо" согласно \И ~ — ф~ '~1 (136,4) Действительно, комплексное сопряжение превращает расходящуюся волну (е'"/Г) в сходящуюся (е — '"9Г), а плоская волна принимает вид е — ж". Для того чтобы сохранить прежнее определение к (плоская волна е'""), надо еще заменить к на — К что и сделано в (!36,4). Заметив, что Р~ ( — соз О) = ( — 1)'Рг(соз О), получим из (!36,1) ф(, ' = — „~) 1' (21+ 1) е "'!ТА, (Г) Р, ( — „" ), (!36,5) о=о УПРУГИЕ СТОЛКИОВЕНИЯ (гл. хуи Очень важен случай кулонова поля.
Здесь функции еуае' (н зр(, ') могут быть написаны в замкнутом виде, непосредственно по формуле (135,7). Параболические координаты выражаем посредством — ($ — Г1) = йа = йг~ йз1 = й (à — а) = иг — кг. и 2 Таким образом, получаем для кулонова поля отталкивания ') а)и~+' = и "~"Г (1 + — „) е~ 'Р ( — —, 1, 1 (йг — кг)), (136,6) зРЬ ' = е- Г'аГ ~1 — —,) е""Е ( — 1 — ( (йг+ йг)) . (136,7) Волновые функции для кулонова поля притяжения получаются отсюда одновременной заменой знака у й и и фи" = ииГзаГ (1 — — „) е'"'Р ( —, 1(йг — $сг)), (136,8) фа ' =- и ма Г (1 + — ) е"'Г ( — —, 1, — ( (йг+ кг)), (136,9) Характеристикой воздействия кулонова поля на движение частицы вблизи начала коо~здииат может служить отношение квадРата модУлЯЩ" или фи в точке Г = 0 к квадРатУ модУлЯ волновой функции зйа = е'"' свободного движения.
С помощью формулы легко находим для поля отталкивания ~з м~ 2 !') !" 1'У Г а(""'"-1) и для поля притяжения И~"'(~1! !М '(о)1 ! та!з ! "Гв '1а - А(1 — а '"Га) ' Функции ар»" и фк ' играют существенную роль в задачах, связанных с применениями теории возмущений в непрерывном спектре. Предположим, что в результате некоторого возмущения 1' частица совершает переход между состояниями непрерывного спектра. Вероятность перехода определяется матричным элементом (136, 12) а) Пользуемся кулоиовыми единицами. 4 гзз1 система волновых Финкинв непнеоывного спкктнл Вяз В озникает вопрос: какие именно решения волнового уравнения должны быть взяты в качестве начальной (ф,) и конечной (фу) волновых функций для того, чтобы получить амплитуду перехода частицы из состояния с импульсом йй в состояние с импульсом йй' иа бесконечности ').
Покажем, что для этого надо выбрать ф*. = 'Иы~ фу = эИт' (!36,13) (А. Яогптег)еЫ, 1931). Это становится ясным, если рассмотреть, как решался бы поставленный вопрос методом теории возмущений, примененной не только по отношению к возмущению Р, ио и по отношению к полю У (г), в котором движется частица. В нулевом (по 0) приближении матричный элемент (136,12) имеет вид )гз,и ~ е-1к'г(уегиг л(у В следующих (по У) приближениях этот интеграл заменяется рядом, каждый из членов которого выражается интегралом вида Ч, ие ... и "н" ~зй лзй (Еи — Еи + (О) (Еа — Ез + Ю) з ' ° ° п (ср.
$43, !30); в числителях стоят (расположенные в различных последовательностях) матричные элементы по отношению к невозмущениым плоским волнам, а все полюсы обходятся при интегрированиях по одному и тому же определенному правилу. С другой стороны, этот ряд может быть получен как матричный влемент (136,12) о волновыми функциями эРз и фн представленными в виде рядов теории возмущений по полю О. Тот факт, что в результате должна получиться сумма интегралов, в которых все полюсы обходятся по одинаковому правилу, означает, следовательно, что по такому же правилу обходится полюсы в членах рядов, изображающих тр, и эру.
Но если решать волновое уравнение по теории возмущений с этим правилом обхода, то автоматически получится решение, содержащее в своей асимптотике расходящуюся (наряду с плоской) волну. Другнмп словами, волновые функции, которые в нулевом (по У) приближении имели вид фг = е'ю„фг' = е-'"', В Пример такого процесса: электрон, сталкиваясь с неподвижным тикелым ядром, испускает фотон, меняя при атом свою энергию и направление движения; возмущением у является взаимодействие электрона с полем излучения, а кулоноао поле ядра — полем К для которого определены функпнн фа+' и ф), ' (см. 1Ч.4 Э2, ЭВ>, Другим примером является столкновение электрона с атомом, сопровождающееся ионнзапней последнего (см.
задачу 4 $ ЫВ). УПРУГИЕ СТОЛКНОВЕНИЯ 1гл. хчп должны быть заменены точными решениями волнового уравнения соответственно тр1" и тр'»~ = (тр» ')е; этим и доказывается правило (136,13). Выбор ти, ' в качестве конечной волновой функции относится также и к случаям перехода из состояния дискретного в состояние непрерывного спектра (вопрос же о способе выбора ф в этом случае естественно, не возникает). й 137. Столкновения одинаковых частиц Особого рассмотрения требует случай столкновения двух одинаковых частиц. Тождественность частиц приводит в квантовой механике к появлению своеобразного обменного взаимодействия между ними. Оно существенно сказывается и на рассеянии (Л/.
Мой„1930) '). Орбитальная волновая функция системы из двух частиц должна быть симметричной или антисимметричной относительно частиц в зависимости от того, четен или нечетен суммарный спин последних (см. 5 62). Поэтому описывающая рассеяние волновая ф икция, получающаяся путем решения обычного уравнения Й редингера, должна быть симметризована или антисимметризована по частицам. Перестановка частиц эквивалентна замене направления соединяющего их радиуса-вектора на обратное. В системе координат, в которой покоится центр инерции, это означает, что Г остается неизменным, а угол 8 заменяется на и — 8 (в связи с чем г = г соз 8 переходит в — г).
Поэтому вместо асимптотического выражения (123,3) волновой функции мы долж. ны писать »Р = е'»е ~ е-'»а+ — е™ (7 (8) ~ (и — 8)). (137,1) В силу тождественности частиц нельзя, конечно, указать, ко. торая из них есть рассеиваемая, а которая — рассеивающая. В системе центра инерции мы имеем две одинаковые распространяющиеся навстречу друг другу падающие волны: е'»* и а-~~'. Расходящаяся же сферическая волна в (137,1) учитывает рассеяние обеих частиц, и вычисленный с ее помощью поток определяет вероятность того, что в данном элементе е(о телесного угла будет рассеяна какая-либо из частиц. Сечение рассеяния есть отношение этого потока к плотности потока в каждой нз падающих плоских волн, т. е.
по-прежнему определяется квадратом модуля коэффициента при е'»т(г в волновой функции (!37,1). ') Прямое спин-орбитальное вааимодействие алесь по-прежнему не расема. тривается. Э цп) столкновения одинлковых члстиц 661 Таким образом, если суммарный спин сталкивающихся частиц четен, то сечение рассеяния имеет вид (о, = ! 7 (8) + ~ ( — 8) )' (о, (137,2) а если нечетен, то (137,3) зЬ, = ) Г'(8) — 7 (и — 8) !з йо.
Характерно для обменного взаимодействия появление интерференционного члена Г (8) (з (п — 9) + Гз (8) Г" (и — 8). Если бы частицы были различимы, как в обычной классической механике, то вероятность рассеяния какой-либо из них в данный элемент телесного угла з(о была бы равна просто сумме вероятностей отклонения одной из них на угол О, а движущейся навстречу ей— на угол и — 8; другими словами, сечение было бы равно ( ) ! (8) )з + ) ) (и — 8) !з) до.
В предельном случае малых скоростей амплитуда рассеяния (при достаточно быстро убывающем с расстоянием взаимодействии частиц) стремится к постоянному, не зависящему от углов пределу 6 132), Из (137,3) видно, что при этом з(п„обращается в нуль, т. е. рассеиваются друг на друге лишь частицы с четным суммарным спином.
В формулах (137,2), (137,3) предполагается, что суммарный спин сталкивающихся частиц имеет определенное значение. Если же частицы не находятся в определенных спнновых состояниях, то для определения сечения надо произвести усреднение, считая все спиновые состояния равновероятиыми. В 5 82 было показано, что из общего числа (2з+ 1)' различных спииовых состояний системы двух частиц со спином з з (2з + 1) состояний соответствует четному, а (з + !) (2з + 1) — нечетному полному спину (если з — полуцелое), или же наоборот (если з — целое). Предположим сначала, что спин з частиц— полуцелый. Тогда вероятность системе из обеих сталкивающихся частиц иметь четное 3 равна з(В+1) з (з 1 1)з зз — а вероятность нечетного 3 равна, 1 .
Поэтому сечение рассеяния равно з+1 (137,4) Подставив сюда (137,2), (137,3), получим )о = () 1 (8) )з + ) ( (и — 8))з — 2, + !7 (8) 7 (и — 8)" + ~ (8)* ~ (и — 8)) ~ зло. (137,5) эпвмгив столкноввния 1гл. хтм Аналогичным образом получнм прн целом з (о=~~У(8) Г+~У(п — 8) Г+ + „', У(8) У( — 8)*+1(8)*(( — 8)))». (137,8) В качестве примера выпишем формулы для столкновения двух электронов, взаимодействующих по закону Кулона (У = е'(г). Подстановка выражения (135,9) в формулу (137,5) с з = 1/2 лаев (в обычных единицах) после простого вычисления з!п4 — саз4 — змз — сочв г з Х ( — „с ~ 1С~~)~г Пй7,т> (мы ввелн массу гл электрона вместо приведенной массы т = гл,/2). Эта формула заметно упрощается, если скорость настолько велика, что е' (( ой (заметим, что это есть как раз условие применимости к кулоновому полю теории возмущений).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
