Кричевский И.Р. Понятия и основы термодинамики (1185131), страница 49
Текст из файла (страница 49)
Система, совершив квазистатический цикл, вернулась в первоначальное состояние. В уравнения (Х, 1), (Х, 2) и входят поэтому величины, характеризующие взаимодействия системы с источниками теплоты и источником работы, Внутренние законы самой системы, казалось бы, не проявляются в законах, ' Если читатели успели забыть вузовский курс высшей математики, то оии могут восстаковить свои знания, например, по превосходиой книге Н. Н. Лузина [3], С разделами математики, применяемой в термодииамике, можно озиако.
миться по киигам [4, 5]. Е книге,' в которой излагаются основы термодииамики, иет иадобиости и смысла приводить вывод термодииамических уравнений при помощи якобиаиов. С методом якобиаиов можко познакомиться по статье Шоу [6]. Ои первый ввел этот метод в термодииамическую практику. На русском языке метод якобиаиов иэложеи в книге Л. й. Ландау и Е. М, Лифшица [У], Метод якобиаиов разбирается и в книгах 14, 8], а также в статье [9]. 20! Для вывода термодинамических уравнений необходимы фундаментальные принципы.
Ими являются в первую очередь оба начала термодинамики. Из справедливости принципа эквивалентности для любых материальных закрытых систем был сделан вывод (глава УП) о наличии общих для них законов. Тот же самый вывод надо сделать из другого основного закона термодинамики: в любом круговом квазистатическом термодннамическом процессе интеграл от приведенной теплоты всегда равен нулю. (Интеграл взят по всему круговому процессу.) Второе начало термодинамики пока рассматривается только применительно к квазистатическим процессам. Поэтому мы ограничим применение первого начала тоже квазистатическими процессами. Напишем уравнение (У[1, !б) в следующем виде: (Акваэист — ушкваэист) = О б справедливых для квазистатических циклов. На самом деле это не так. Поэтому нельзя истолковывать содержание уравнений (Х, 1) и (Х, 2) в том смысле, что внутренние законы не влияют на термодинамические результаты квазистатического цикла.
Правильное истолкование совсем иное: внутренние термодинамические законы всех систем одинаковы. Именно поэтому всегда выполняются уравнения (Х, 1) и (Х, 2) . Вывод термодинамических уравнений есть использование методов математики для выявления и выражения тех внутренних законов системы, которые в скрытом виде содержатся в обоих началах термодинамики, в уравнениях (Х,1) и (Х,2).
Из уравнений (Х, 1) и (Х, 2) можно много извлечь, но не больше того, что в них вложено. Некоторые думают иначе, думают, что извлечь можно больше. Но это математические фетишисты, Термодинамические уравнения устанавливают связь между различными свойствами системы. Между какими именно — читателям станет ясно из последующего изложения. В основные уравнения термодинамики (Х, 1) и (Х, 2) входят пук«а«ист и ~ЙОкв«аи«т. Читатели знают' дквазист и И«в«аист не яв лаются свойствами системы; символ о не является символом полного дифференциала. В отдельности-Фд «««и йш„„«,„не выражают приращения какого бы то ни было свойства системы.
Но для вывода термодинамических уравнений необходимо выразить пчнвазист и пьэнвазист через величины, которые являются свойствами системы. Клаузиус первый рассмотрел этот вопрос (1858 г.), «Величины х и у определяют состояние тела, Величину Е, энергию тела, которая зависит только от данного состояния тела, можно представить как функцию обеих переменных. Иначе дело обстоит с величинами ш и д.
Лифференциальные коэффициенты этих величин являются определенными функциями от х и у. Предположим, что переменная х переходит в х + г(х (у остается постоянным) и что это изменение состояния тела происходит квазистатически. Тогда мы имеем дело с полностью определенным процессом: произведенная работа полностью определена. Отсюда далее следует, что дробь (Жо/дх)„тоже должна иметь определенное значение. Точно так же обстоит дело, когда предполагают, что у переходит в у + г(у (х остается постоянным). Таким образом, дифференциальные коэффициенты работы являются определенными функциями от х и у. Тогда, на основании уравнения (И1, 2а) дифференциаль- иые коэффициенты теплоты, полученной телом, тоже должны быть определенными функциями от х и у.
Пренебрежем бесконечно малыми величинами выше первого порядка н напишем для с(ш и !20 следующие выражения: ош тсЬ+лоу йо М с(х+ У с(у Последние два дифференциальных уравнения нельзя проинтегрировать до тех пор, пока переменные х и у являются независимыми друг от друга, так как величины лс, и и тг( и д! не удовлетворяют условиям интегрируемости, а именно (~ ) не равно (~ ) ~ — ) не равно ( — ) Работа (гп) и теплота (д) принадлежат к величинам, обладающим следующей особенностью: хотя дифференциальные коэффициенты являются определенными функциями от обеих независимых переменных, сами величины нельзя выразить такими функциями.
Подобные величины можно определить только тогда, когда еще указывается дополнительная связь между переменными и тем устанавливается путь изменения» * ([1О], т. 1, стр. 115 — 11б). Раздел математики *", краткое содержание которого изложено в приведенной цитате, находит большое применение в термодинамике. Дифференциальное выражение Пфаффа Читатели уже знакомы с выражениями для суднвазист и !(гпквазист через свойства системы на примере случая, когда состояние системы определено заданием двух ее свойств — объема и температуры. Количество работы при квазистатическом изменении объема системы выражается уравнением (т(!, 11).
Для удобства пользования перепишем снова это уравнение: дшквазист (Х, 3) На каждой бесконечно малой стадии квазистатического процесса давление, которое источник работы оказывает на границы ' В цитате модернизирована транскрипция математических выралсеннй. (И, К.) '* Как отмечает сам Клаузиус ((О], математическую теорию дифференциальных уравнений, которыми Клаузиус воспользовался в !888 г.
для нужд термодинамики, задолго до етого разработал французский математик Монгк (создатель начертательной геометрии). Это один из примеров тех нередких случаев, когда математический аппарат возникал раньше, чем он становился нужным какой-нибудь другой науке. С математическим аппаратом термодинамики, примененным Клаузиусом, можно ознакомиться по книге О. Д. Хвольсона ((!1 и статье [!21. 203 системы, равно давлению системы на эти же границы.
Это — условие механического равновесия. Оно позволяет выразить суюквавнст через свойства системы; Р н Г Читателям известно, что отношение бесконечно малого количества теплоты, полученной (отданной) системой на фиксированном квазистатическом пути, к бесконечно малому приращению температуры является свойством системы: (' )= "( )~= чкваэвст ~1 С ( ~~чкваавст д1 /к 1' ( д1 )р По уравнению (Х, 3) отношение бесконечно малого количества работы на квазистатическом пути к бесконечно малому приращению объема тоже принадлежит к свойствам системы: ссывваэвст Р (х, за) д)т уа Рнс. 19. Бесконечно малые колнчества работы ярк квазнстатнческях изменениях объз ема системы.
204 Возникает вопРос: почемУ пРи с(ш ст1т1 Р не дана характеристика пути? Ответ таков: состояние системы определено заданием объема и температуры. Поэтому система может совершать работу только в том случае, если объем системы изменяется. Если же объем системы остается постоянным (с(У = 0), то сгпткваэвст равно нулю. При этом безразлично, будет ли температ) ра изменяться или оставаться постоянной.
Следовательно, когда состояние системы определено заданием объема и температуры, тогда ('" 1= 'Гсакваэаст (Х, 4) дт Ь Уравнение (Х. 4) выполнимо; следовательно, нет необходимости Указывать пРи сав,сваэяст/с1)т в УРавнении (Х, За) хаРактеР изменения температуры. Уравнение (Х, За) останется справедливым независимо от того, изменяется ли температура при изменении объема или остается постоянной. На диаграмме Р— $' (рис. 19) ~ушква „равно площади бесконечно малого прямоугольника )аое, если при изменении объема температура изменяется при постоянном давлении; суат„„„равно бесконечно малой площади )асе, если при изменении объема температура остается постоянной (изотермическое расширение системы); сую„„вн„равно бесконечно малой площади )ас(е при адиабгтическом изменении объема системы.
Из диаграммы также видно, что все эти три бесконечно малые площади отличаются между собой на бесконечно малые величины второго порядка. Разделим любую из этих бесконечно малых площадей на приращение объема (оно равно отрезку )е). При переходе к пределу, независимо от выбранной площади, всегда получится отрезок 1а.
Он же равен давлению системы в состоянии, изображаемом точкой о на диаграмме Р— $' (рис. 19). Конечное количество работы равно площади, ограниченной осью абсцисс, ординатами, проведенными через начальный и конечный объем системы, и кривой, изображающей путь перехода системы нз начального ее состояния в конечное. Таким образом, для интегрирования уравнения (Х,З) необходимо знать, как изменяется давление при изменении объема. Состояние системы определяется ее температурой и объемом, а не одним только объемом и.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
