Зоммерфельд А. Термодинамика и статистическая физика (1185124), страница 60
Текст из файла (страница 60)
Рассмотрим промежуток времени А1, относительно которого предположим, что он велик по сравнению с продолжительностью столкновения тч, так. что большинство столкновений, начавшихся в этом промежутке времени, в нем же и заканчивается, но мал по сравнению со средним временем менарду двумя столкновениями т. Следовательно, путь, пройденный за время Ы, мал по сравнению со средней длиной свободного пробега. Поэтому, вообще говоря, в промежутке времени 31 молекула испытает столкновение ке более ') СЬзршап, РЬ!!.
Тезок., 211, 433 (1911); 216, 279 (1916), 217, 115 (1916). ') !!. Е и оЬо 6, К!пе!!асье Епег3!е «)ег Чогяапхе 1п шар!6 чег66ппсеп Сазеп, 1папд. ))!аз. (13ррка!а, 1917); Агз!ч 1йг Ма!ет., 16, Хг. 16 (1921); Кпп3!. Якепкха АЬае)., 63, 4 (1922). В а1. Кинетическое уравнение Максвелла — Больклсана 361 одного рава. Это предполагает малость радиуса действия межмолекулярных сил по сравнению с расстоянием между атомами и тем более по сравнению с длиной свободного пробега Я 27).
Если внутри интервала М вообще не произошло столк- новения, то г-иг'= г+»М и ч-оч'=ч+ — ГЫ 1 т и, следовательно, /(г, ч, 1)с(хс(Е-о/(г+чдС, ч+ — РЫ С+йг) с/х'агЕ'= 1 = (/(г, ч, С)+Ь1 [ч — )- — à — + — ~ + ... ~ с(х'с(Е'. д/, 1 д/, д/ "с дг т дк ' дс~ (41.8) Последнее преобразование справедливо, если можно пренебречь более высокими членами разложения, т..е. если функция / лишь незначительно изменяется за время дс. Заметим, что в силу неравенства М « т это предположе- ние вполне совместимо со значительными изменениями / на длине свободного пробега. Кроме того, согласно тео- реме Лиувилля 8 28), для описанного выше движения, не возмущенного столкновениями, имеем с(х' сс'г' = с/х ссс, (41.8а) так что произведения дифференциалов в обеих частях равенства (41.8) взаимно уничтожаготся. В результате столкновений часть молекул выходит из элемента ссх с/1, другие же входят в него нз других элементов с/хг с/1г. Соответственно одни столкновения приводят к убыли, а другие — к увелнчениго числа частиц.
Таким образом, изменение (41.8) числа частиц вследствие нх движения долг/сне быть равно разности между увеличением Ув,ч И УМЕНЬШЕНИЕМ /»„1 ЧИСЛа ЧаСтИЦ За СЧЕТ СтОЛКНО- вений. Следовательно, для единицы времени и единицы фазового объема имеем д/ д/ , 1 д/ — + ч — т- — Р— = /зеве — /»осг. дс дг т д» (41.9) Это и есть кинетическое уравнение Максвелла — Болгцмана. Величины Уве и Укесс вычисляются по законам упругого 382 Гв. 'е'. Основы точное кинеепичеекой теории гоков удара.
Для краткости градиенты функции / в пространствах координат и скоростей обозначены соответственно через д//дг и д//дв. 3. Законы упругого удара. Законы упругого удара зависят от вида снл, действующих между молекулами. До сих пор предполагалось лишь, что радиус действия межмолекулярных снл мал. Это справедливо, например, для спл, зависящих от расстояния по закону Г ° 1/г" при достаточно больших значениях и. Именно этот случай всегда и обсуждается. При и= 5 он приводит к особенно простым результатам. В далнейшем будет рассматриваться только предельный случай п — > со, соответствующий предположению о твердых шариках. Пусть диаметр шарика равен г. Он представляет имеете с тем наименьшее возможное расстояние между центрами двух шарообразных атомов.
Конечно, реальная молекула отнюдь не представляет собой твердын шарик. В лучшем случае модель одно- атомной молекулы годится при не слишком высоких температурах'). Полная энергия н полный импульс должны сохраняться при столкновении. Следовательно, если обозначить скорости обеих частиц до и после удара соответственно через и, тм и т', тв, то должны быть справедливы уравнения т+т,=т'+т(, та+ ив, = т'+ттз. (41 10) Обозначив через Ъ' относительную скорость частиц перед ударом т' = », — т (41.11) и разрешив уравнение (41.10) относительно скоростей после удара, получим т =т г(Уе)е, те=в,— (т'е) е. (41,12) ') При обычных температурах более высокие энергетические состояния атома термическим путем практически не возбуждаются, твк что закон притяжения определяется поляризацией атомов.
и вд Кинетическое уравнение Максвелла — Болъвмана ЗОЗ Здесь е обозначает произвольный единичный вектор. Следовательно, относительная скорость после удара равна у' = ч) — т' =- 'т' — 2 (т'е) е. (41.12а) Таким образом, имеем (т"е) = — (Уе). (41.12б) Разрешив теперь уравнение (41.10) относительно т и тн получим т = ч'+ (У'е) е, и, = т( — (У'е) е. (41,13) Эти уравнения по форме совпадают с (41.12). Следовательно, уравнения преобразования скоростей являются взаимно обратными.
Соотношение (41.11) для одинаковых частиц допускает удобное графическое представление, которое мы еще (Че)в Фиг. 33. Векторная диаграмма скоростей при упругом стоныыоисиии двух оди- иаковых шаров. будем с успехом применять в дальнейшем. Точки т и т, на фпг. 33 обозначают концы векторов т и т,. Вектор, пх соединяющий, изображает относительную скорость в'. Если из точки т провести луч в направлении +е, а нз точки т,— в направлении — е, то, проектируя вектор в' на оба противоположно направленных параллельных луча, получим векторы ь (Уе) е. Эти проекции проведены 304 Гв.
$'. Основи нсочнон исспснсичесиои нссории говов от точек т и ч, к точкам т' и чс'. Четыре точки ч, т,, ч', ч,' соответствуют углам прямоугольника (независимо от направления вектора е). Все они лежат иа окружности с диаметром ~'в'~ и центром в середине отрезка, изображающего вектор т', прп этом точки ч и ч„а также точки ч' и т, 'лежат на противоположных гонцах диаметров. Следует еще указать смысл вектора е при соударенин твердых шаров. Согласно уравнению (41.12а), имеем У вЂ” 'ч" = 2 (Уе) е. (41.14) При ударе имеет место передача импульса. С одной стороны, она должна происходить перпендикулярно к плоскости соприкосновения шаров при ударе, т. е.
вдоль линии центров. С чругой стороны, передаваемый импульс равен пзмснснню импульса каждого из шаров, и, следовательно, пропорционален величине т' — ч=ч,— т,'=(т'е) е. Отсюда следует, что вектор е направлен ко линии центров. Это совпадает с направлением биссектрисы угла между У и У' [так как, согласно (41.12б), векторы т' и чг' имеют одинаковые составляющие].
Наблюдатслго, движущемуся <о скоростью ч, равной скорости одного из шаров перед ударом, представится картина, изображенная на фпг. 34, 4. Интеграл столкновений Больцмана. При вычислении правой части уравнения (41.9) удобно воспользоваться фиг. 34. Она будет несколько нагляднее, если рассматривать движение центра налетающего шара относительно сферы действия радиуса з (фиг.
35). Число молекул, попадающих за время лв в телесный угол Йо (т. е, на элемент площади гола), составляет зг е(м ~ Уе' ,1|~ (г, ч„С) дсг Первый множгпель згесиг ~ "в'е ~ Ы представляет объем косого цилиндра, показанного на фиг. 35, который содержит частицы определенного направления и определенной скорости, приходящие за время Йц второй множитель дает плотность этик выделенных частиц. l к к Ф и г. 34.
1т кинематике упругого столк- новения. Фиг. 35. Сфера действия и число столкновений. 366 Гк. )е. Основы точной кинетической еоеории саков Величина ~(г, ч, 1)с)хЫс представляет число молекул, обладающих скоростью у. Следовательно, число столкновений между молекулами со скоростями у и у, и линией центров, направленной вдоль вектора е'), равно г' сею ( Уе / й)~ (г, Уы е)! (г, ч, Г) в)х й в(:, (41.15) Интегрирование по всем скоростям у, и всем направлениям вектора е дает полное число столкновений, которые изменяют траектории частиц со скоростью у. Это число, отнесенное к единице времени и единице фазового объема Их вес, следует подставить в уравнение (41.9); тогда мы получим етег! = 2 ~ ~Уе)/(г, Уы е)) (г, У, с)еемй,.
(41.16) Множитель '/т обязан своим происхождением тому, что интегрирование здесь распространено по всем шарам, в то время как физически подразумевается только половина их, как это ясно видно нз рассмотрения изменения вектора е при параллельном сдвиге у. Вычисление ев,к протекает совершенно аналогично.
В этом случае векторы у и у, соответствуют скоростям после столкновения. Действительно, саек обозначает как раз увеличение числа частиц со скоростью у вследствие столкновений. Пусть соответствующие скорости перед столкновением суть у' и у,. Число столкновений на единицу площади атомной сферы гес)ю равно гтс)ю /У'е / й)~(г, У', Ю) /(г, У'„Г) е)хв)с'е(1,'. (41.15а) Согласно (41.12б), / У'е / = /Уе / и, кроме того, в силу (41.13) (а также и вследствие теоремы Лиувилля, 6 28) е)~'Нс,'= = с)6 «сс,. Действительно, составляя якобиан преобразования (41.13), находим [полагая координаты вектора е равными (О, О, 1)]') ') При таком кратком способе выражаться всегда имеется в виду, что векторы т, ч, имеют указанные значения внутри интервалов Ыи и йкй1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
