Зоммерфельд А. Термодинамика и статистическая физика (1185124), страница 62
Текст из файла (страница 62)
Основа точной к нетической теории севов Легко показать, что антиподная функция тождественно равна нулю, если она обращается в нуль в следуюших пяти точках '): (0,0, 0), (1,0, 0), (О, 1, 0), (О, О, 1), ( — 1,0, 0). (42.19) Далее, всегда можно, составляя ту нли иную линейную комбинацию пяти функций (42.18), образовать функцию, имеюшую в характеристических точках (42.19) произвольные наперед заданные значения, т.
е. совпадающую в этих точках с любой антнподной функцией. Так как разность между заданной и образованной таким путем антиподными функциями сама является антиподной функцией, которая обращается в нуль в точках (42.19), то она вообще равна нулю. Следовательно, сугцествуют только антиподные функции и аддитивные интегралы движения вида (42.20) ф = а, + ат+ аетз. В силу (42.17а) отсюда следует (если ввести другие обо- значения для констант) (42.20а) 1п 7'= и — 7 (т — «)е, т.
е. при е'=а получается закон распргделення ло скоро- стяее Максвелла (42.21) 7' — ~о (т) — ае — г (™>' с той л«шь разницей, что здесь величины а, 7 и «могут быть функциями от г и 1. В этом случае говорят о локаяьнозе распределении Максвелла. Надо еще доказать лемму Града. Рассмотрим сначала только плоскость 9к, 1, изображенную на фпг. 36, а.
Из пяти точек (42.19) в этой плоскости лежат четыре точки: А, В, С, Р. По предположению, в них ф = О. Это же справедливо и для всех узловых точек квадратной решетки на фиг. 36,б. Действительно, всегда можно найти пары таких точек-антиподов, для трех нз которых ун<е известно, что ф=О и, следовательно, то же самое справедливо для ') Доказательство дано Градом 1Н. С та о. Сошшао. роте аррд мать., 2, 311 (1949)1. ак. Н-еаеорелеа и распределение Максвелла 375 четвертой. Например, (А, В; В, 1), (С,.0; В, 2), (А, С; Р,7) и т.
д. Таким же путем можно найти и другие точки, в которых ф обращается в нуль. Пусть на фиг. 36, б точки, обозначенные знаком «+», представляют собой узловые точки фиг. 36, а. Тогда ф исчезает также и в средних точках а, Ь, с, сс,..., как зто вытекает из рассмотрения 1 3 э Фиг. 36. К выпаду деказьпого распределения Ыакспс:ки. следующих пар антиподов: (а, Ь; 2, 5), (Ь,ее; 5, 6), (с,ее; 5,8), (а, с; 4, 5), (а, Ы; Ь, с). Из соотношений ф(а)+ф(Ь)=ф(2)+ф(5) =О, ф(Ь)+ф(с() =ф(5)+ф(6) =О, ф(с) +ф(ее) = ф(5)-,'-ф(8) = О, ф(а)+ф(с)=ф(4)+ф(5) =О, ф(а)+ф(с() =ф(Ь)+ф(с) вытекает, что ф(а) =ф(Ь) =ф(с) =ф(с») =О. Отот процесс разбиения, очевидно, вновь приводит к квадратной решетке (но уже с меньшими ячейками).
Следовательно, его мо»кно продолнснть. Таким образом, мы получаем сетку сколь угодно плотно расположенных точек, в которых функция ф исчезает. В предположении непрерывности ф отсюда вытекает, что ф(ч)=О, что и требовалось доказать. Зтб Гл. р. Основа точной кинетической теории гкооо Используя все точки (42.19), можно без особою труда обобщить данное построение и доказательство на три измерения. 3, Равновесные распределения. Уравнение (42.21) содержит множество распределений, совместимых с условием изменения энтропии только вследствие наличия потока.
Однако не все функции г и е в уравнении (42.21) допускаются кинетическим уравнением Максвелла — Больцмана. Напротив, нз уравнения (41.18) следует (42.22) следовательно, й е -к ( 1 + ~ ое ) Й'-, т (42. 25) Все расстояния нзменяеотся в равных отношениях. Из уравнения (42.22) после подстановки выражения (42.20а) н простого преобразования получаем Кгаб-=о, — д, =-бс дк, дик дй д~ т а — (иЧ) (а — .(пе) — то', (42.23) =- ~и [ — + — рас( (з —;и ) + — и ~~, Где 1 1 ~ дс 2т т где индексы с н и означают х, у нли з.
Первые два уравнения (42.23) можно преобразовать к виду т =.1(Е), и= ~2 г ',-(а(с) г]+Ь(с). (42.24) Так как и есть средняя локальная скорость, то уравне- ние (42.24) представляет особую комбинацшо лереноса, вращения и радиального расширения, Полное движение ясегда изот раино. Так как за время 6е г переходит в г+ нос, то, следовательно, с(г переходит в с)г+с(пос и Иго — кагс+2 (с(ге)п) ос (еслп опустить член с бес).
Согласно (42.24), имеем йз = с — с(г+ (а с(г], у вд. Основные уравнения видродинамики 377 Последнее уравнение (42.23) определяет вид силового поля, в котором возможно локальное распределение Максвелла. В частности, при и= О из (42.23) и (42.24) получаем а = а (г), 7=сопзс, Ь=О, а=О (42.26) и, кроме того, ис Р= + — ягас( з. 27 (42.27) 43. ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ ГИДРОДИНАМИКИ 1.
Разложение функции распределения в ряд. Для вычисления интеграла столкновений в уравнении (41.18) необходимо знать функцшо распределения 7', являющуюся решением кинетического уравнения. Поскольку мы рассматриваем неравновесный случай, она будет отличаться от локального распределения Максвелла (42.21). Однако эти отклонения от равновесного распределения, вообще говоря, малы. Поэтому при определении функции 7' целесообразно исходить из локального распределения Максвелла.
Без значительного ограничения общности можно положить д дв дв /= (1-'с ак д. ~ амд1 д: +~и"'д" д': дй„' ' '.)7о. (43.1) Действительно, отношение !/~о представляет собой по существу разложение по полйномам Эрмита от трех переменных (эти полиномы образуют полную систему функций (см. т. Ч1, Дифференциальные уравнения в частных производных фнзнкп)), и мол'но ожидать, что при незначительных отклонениях от равновесия коэффициенты разложения окажутся быстро убывающими. Индексы 7с, 1, и,...
в уравнении (43.1) соответствуют координатам х, у, г. Подразумевается, что по одинаковым индексам производится суммирование, так что, например, Таким образом, в отсутствие локальной скорости потока тепловое равновесие устанавливается только в не зави- сящем от времени потенциальном поле (ср. барометри- ческую формулу).
378 Гл. е'. Основы точной кинетической теории севов второй член суммы в подробной записи имеет вид д/о, Но д/о к де о дев еде,' Таким же образом следует понимать и следующие члены. Коэффициенты а„, а„н а,,..., вообще говоря, аависят от г и г, но, по определению, не зависят от ч. Они образуют тензоры 1, 2 и более высокого ранга, которые можно считать симметричными по всем индексам. Разложение функции 1 (43.1) будет однозначным лишь в том случае, если определить не зависящие от скорости коэффициенты а, а, 7 и и в локальном распределении Максвелла ~ =е" — тС вЂ” и1в=се — тСт Юо.
о (43.2) Эти коэффициенты можно определить, потребовав, чтобы отдельные интегралы допускали строгое вычисление уже с функцией /о; это следующие интегралы: плотность частиц и= ~ сссс= ~ со ссс'=а( — ) средняя скорость — 1 Г 1 Г ч = — ~ ч~ссс = — ~ ч/ ас1 = и и н (43.3а) (43.3б) и среднее изотропное давление [см. формулу (22.3а)] р= 3 $ (ч — ч)в~с(1= — ~ Ч(ч — ч)в1о с($= —" (43.3в) (43.4) и воспользоваться выражением р = пт для плотности массы, то получим (43.4а) (давленпе на стенки малого объема, движущегося со средней скоростью и).
Уравнение (43.30) позволяет определить коэффициент а в выражении (43.2). Если определить температуру Т соотношением ,З дд. Оеновние дравненил видоодинаиики 379 Два других уравнения дают условия для определения коэффициентов разложения (43.1). Из выражения для 1-й компоненты уравнения (43.3б) следует ~ Е; (1+ав дв„+ ) Уев(Е = ~ Е~Ув«Е. Так как функция 1 вместе со всеми своими производными исчезает на поверхности бесконечно большой сферы в пространстве скоростей, то можно произвольное число раз интегрировать по частям, опуская прн этом интегралы по поверхности.
Получаем ~ Е;У,Й вЂ” ав $ 1,в(Е = $ Е;!,с(Е. В левой части остаются теперь только два слагаемых. Так как парное из них совпадает с правой частью, то (43.5) ав=О. Аналогично из уравнения (43.3в), подставив в него ~, определяемое выражением (43.1), и проинтегрировав по частям, получим ~ (Ев — Ев)'Ув е(Š— 2а, $ (Š— Ев) уосвЕ+а;ьбв„~ ~ве(Е= = $ (Š— Е;)'Уве(Е. в„=( при в =й, при 1Фй. Следовательно, для суммы диагональных членов ав„имеем ໠— — О. (43.6) Первое слагаемое в левой в правой части, второе в ственно равно нулво. Из следует, что амбв„=О, где Кронекера: части сокращается с членом силу (43.36) и (43.5) тождерассмотрения третьего члена Еса представляет собой символ 380 Гп.
1е. Основы ваочной кинетической теории вазов Поэтому уравнение (43.1) принимает следующий вид: 1 дв 1 д ( 2р и дбк дбв бр ч мт дск дбв дбт + 1 дв 24р~ьти д-„дб, дв дб„+ ) Гв (43.7) 2. Уравнения переноса Максвелла. Здесь под моментом мы будем понимать локальное (вычисленное по формуле (41.5)) среднее значение некоторой степени скорости, например ЕеЕ, — „~ ЕвЕвУс(Е. Более важнымн в дальнейшем окажутся моменты локаль- ной относительной скорости с=ч — ъ =ъ — и, Г,=Ее — Ее= Е; — и;. (43.8) В этом случае моменты второй степени (при срс = е1Е) имеют вид — Г свео = — ~ с;Г„7'в1с.
Для моментов первой степени, т. е. средних значений, согласно уравненшо (43.8), имеем св = ~ (Е; — Е ) ~вЕс = О. (43.9) Выгода разложения в ряд (43.1) или (43.7) состоит в том, что при вычислении моментов всегда приходится иметь дело с конечным числом коэффициентов разложения (число их равно степени момента). Все без исключения моменты можно выразить через моменты, вычисленные относительно распределения Для коэффициентов разложения здесь введено другое обозначение, более удобное для дальнейшего.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
