Зоммерфельд А. Термодинамика и статистическая физика (1185124), страница 63
Текст из файла (страница 63)
Из уравнения (43.6) вытекает еще дополнительное условие ар=0 (43.7а) (шпур тензора ом равен нулю). д од. Основные уравнения еидродиномики 301 Максвелла. Введем для произвольной функции скорости >р(с) помимо локального среднего (41.5) еще среднее по локальному распределени>о Максвелла (43.10) Тогда, интегрируя по частям, получим') — — о ! до>Ро 1 до>)о >р (с) = >р + —, с — — — —;- —; (),„— +...
(43. 9а) 2р "> дсо дс! ОР О>'" дс>,дс> дс,о Так как распределение Максвелла симметрично относительно отражения (с — о — с), то прн усреднении по нему все нечетные моменты псчезак>т. Далее, из инвариант- ности распределения Максвелла относительно отражения и вращения вытекают (с точностью до численных множителей) соотношения сосо = — оеь, сес,.сог> = —,— (о,,б!ь+ оное! -~-бо,б>!). (43.!Оа) — о р о ре Численные множители получа>отея из рассмотрения кон- кретных интегралов: с', = 1РГ !ь — ) ~ се~ее >весов(с Ж с(>Р = — = —, ~~) 3 ' 21 Р' — о —,о —,о —,о о р' с*со =с. сй =(сс) = е Р Таким образом, в силу (43.9а) средние моменты имеют вид (недописанные члены в скобках получи>ется круго- ') Это преобразоваиио может привести к трудностям в более высоких членах, если встречаются множители с= угсь так как получающиеся интегралы могут расходиться, несмотря иа то, что интеграл (43.10) сходится.
В таких случаях можно опустить интегрирование ио частям или взять лишь коиечиые части интеграла. См, В. Я сЬ>та гьз, ТЬеог!с с)оо с)!огг!!>и1!оп, Раг!о, 1050). 382 Гл. 'е'. Основи точной кинетической теории севов вой перестановкой) сесе —— — 6си+ — оси, с,скос = — Дсм, (43.9б) — р 1 — 1 —; (рр)+ с(1~(рет) — 1( —, ) = л" Ц). (43.11) Здесь через р и 1 обозначены соответственно плотности массы и силы: р=тл, 1= — г=лг. Р т (43.12) Выражения рр и руч представляют соответственно плотность и плотность тока величины ~р(т). У(р) обозначает интеграл У(ср) = — ' ~ ~р (т) (!'!; — !/,) /Уе ~ а~со сКс с(1м (43.12а) который, согласно (42.13), можно переписать в виде УИ)= 8 ~(р+'р — 'р'-Ю(!'!~ — !!И~ ~"""И1.
(43.13) Назовем это выражение моментом величины р(т) относительно интеграла столкновений. Если в уравнение (43.11) вместо ср подставить аддитивные интегралы движения (42.18), то правая часть обращается в нуль. В (42.18) приведены все без исключения аддитпвные интегралы движения. Поэтому мы полу- — [(...8,.„-,—...)+(.„8ц —, ...)]., ' Л, „, Моменты, вообще говоря, зависят от пространственных координат и от времени.
Они удовлетворяют характеристическим дифференциальным уравнениям, вытекающим из кинетического уравнения (41.18). Если умножить последнее на р(т) и проинтегрировать по пространству скоростей, то получим (непосредственпо или после интегрирования по частям) уравнение иеремоса для величины ср (т): д дд. Основные уравнения гидродино ники 383 чаем пять уравнений, соответствующих пяти законам сохранения: массы, энергии п трех компонент импульса. Эти уравнения имеют вид — е(рф)+ п1ч(рфч) = лГ( — ) . (43.14) Равенство У (ф) = О означает, что масса, энергия н импульс прп ударе не изменяются. В присутствии внешнего поля импульс может не оставаться постоянным.
3. Сохранение массы. Закон сохранения массы получается при ф=ф =1. Тогда уравнение (43.14) принимает вид — ~о + 61ч (рп) О. (43.15) [Здесь использовано уравнение (43.3б).] Это известное из гидродннамики уравненяе непрерывности [см. т. 11, Механика деформируемых сред, уравнение (5.4')). Оно справедливо в более общем случае, чем зто соответствует предположениям, необходимым для вывода уравнения Больцмана. Физический смысл уравнения (43.15) обнаруживается, если проинтегрировать ого по произвольному конечному объему )е. Так как полная масса, содержащаяся в объеме )е, равна ре(х=Ле, то от первого члена уравнения (43.15) получаем ЫМф1. Интеграл от второго члена преобразуется, согласно теореме Стокса: й)ч (рп) е(х = ~ ри„е(о.
Здесь еео — элемент поверхности О, ограничивающий объем )е, и„ вЂ” компонента средней скорости в направлении внешней нормали к поверхности. Величина ри„еео есть поток массы через элемент поверхности е(о; он положителен, если поток направлен наружу, н отрицателен, если поток направлен внутрь. Интеграл распространяется по всей поверхности О, ограничивающей объем )е. 11оэтому 384 Ги. у. Основы точной кинетической твории веков из уравнения (43.15) получаем осМ сС Г вЂ” — = — — ~ РЫх= 1 ри с(о. (43.15а) Уменьшение массы в объеме И равно потоку массы наружу. Плотность потока массы равна (43.15б) т. е.
она определяется переносом вещества со средней скоростью и. дс (р» +51 (р~Еь) = ~ь ( ,~: ) (43.14а) и положим в соответстви~ с (42.18) ф=(се= Ее. Получим д (Рис)+-~(РЕсЕк)=Л. (43.16) Первый член мосссно преобразовать прн помощи уравнения непрерывности. Имеем дс (Рис)=Р дс -"' дс =Рис исд-,,(Рик) = с' д д ч д Вследствие этого уравнение (43.16) принимает вид Р ~ Р (, д +и" дй,)ис дЕ[р(рсЕс — иссек))+!с. (43.17) сСС (, дС Здесь символ сЕ~с(с = (дс'дс --, 'и„д(дк) ооозначает полную производную, отнесенную к некоторому объему, движущемуся со средней скоростью данного вещества [см.
т. П, уравнение (11.3)). Выражение в квадратных скобках в силу (43.9б) равно р (Е;Ек — исиь) о (Ес — и;) (Еь — ик) = рс;с„= ром+он. 4. Сохранение импульса. Для вывода закона сохранения импульса запишем уравнение (43.14) отдельно для каждой компоненты д дд.
Основные урлвненин гиддодннл.вики 888 Таким образом, если вернуться к векторной заппсп, из (43.17) строго получаем до l д р —,= — р~ — +пТ)п= — йтас)р — П(уе — ', 1. (43.18) дв — ~, до Здесь дивергенция тензора Р1у е представляет вектор с компонентами (Р(те); = — '~ . (43,18а) Уравнение (43.18) совпадает с основными уравнениями гидродинамики. Поскольку о„. О, о;„представляет тензор напряжений, описывающий только силы сдвига (см. т. П, 1 10).
Условие о, =О (43.19а) приводит к уравнениям Эйлера. При о. = — л) ~ — '-'- — — — —.! с к ) (43.19б Г ди; дик 2 диг 'к, д/с ' д~ 8 дУ '") получаются уравнения Навье -- Стокса. Эта форма тензора оы в 8 44 выводится (в известном приближении) из кинетического уравнения, В случае ламинарного (куэттовского) течения (см. 1 27) п=(н(у), О, 0) получаем уравнение (27.4), а именно: ди о = — т — =о .кв 1 ду Обратно, равенство (43.19б) следует из уравнения (27.4), если учесть трансформационные свойства входящих сюда величин при вращениях системы координат.
При интегрировании по малым (!) объемам, движущимся со средней скоростью, получаем уравнение, аналогичное уравнению (43.15а), — ~ рнгс(х= — ~ (рп,+о,„) ой+ ~ ~, с7х. (43.20) 'Здесь и; обозначает жо компоненту единичного вектора и в направлении внешней нормали, а о;„= овиггд. Приращение импульса в единицу времени определяется потоком импульса через поверхность (снаружи внутрь вслед- 336 Гл.
И. Основы левиной кинетической теории гогов ствие отрицательного знака) и полной силой, приложенной н данному объему (последняя вычисляется из плотности силы 1). 5. Сохранение энергии. Закон сохранения энергии получается, если положить 1 2 2 Уравнение (43.14) в этом случае принимает вид —, ( 2 Э)+ й1т ( р2 ~' «) = Ь. (43.21) Здесь, согласно (43.8) и (43.10), зр та= (с+п)с= с'+и'= — +пз. р Таким образом, первый член в (43.21) имеет вид д/3 р ч 3' р ди — р+ — пз ) = — р + — «'+ рп — . дг~2 2 ) 2 2 дс Преобразуя это выражение при помощи уравнения непре- рывности (43.15) и уравнения для импульса (43.18), получаем —, р — —, и й 1т (рп) — и [р (и 7) и + огай р + Р1т а — 1], 3 ' 1 или — тг) = — р — (п~) р— дс ~2 ) 2 — й(ч Я и'и+[си]) +(аз) +(пЕ).
(43 22) Здесь произведение [ап] тензора и на вектор и пред- ставляет собой вектор с компонентами [ап]с = ареисо (43.22а) з есть часть тензора деформации (см. т. П, 3 1), опнсы- васощая сдвиг, гм — [ — + — — — —, 3м ), (43.226) 1 е'дис дий 2 дис 2~да дс 3 ду и д дд. Основные уравнения гидродинавиики а (ее) — скалярное произведение тензоров а и е, определяемое выражением див (ез) = омом — — им дй . (43.22в) в с,'с = — О. р Ив' Если ввести вектор вР с компонентами Е; = —,аяо 1 (43.24) то получим с* с=-'([ (43.24а) Р Для второго члена на основании (43.9б) находим св,п Рн (43.24б) Р В третьем члене величина (с ! с) обозначает тензор свс„, так что в силу уравнения (43.9б) имеем 2 [с ~ с) и] = Р и+ — [оп[. (43.24в) Р Р Наконец, четвертый член остается без изменения.
Подставляя выражения (43.22) и (43.23) в уравнение (43.21) н принимая во внимание соотношения (43.24)— (43.24в), находим 2 Р (и " ) Р + в 1т ~ к + 2 Рп ] + (ее) + ~п Эквивалентность двух последних выражений следует из симметрии тензора е (оси=ам) п обращения его шпура в нуль (о,, = 0), Таким же образом можно преобразовать среднее значение во втором члене уравнения (43.21). При этом получаем тв т = (с+и)о.(с+и) = со с+со и+ + 2 [(с ( с) и)+ и' и.
(43.23) Согласно (43.9б), первый член, записанный в компонентах, имеет вид 388 Гл. Се. Основы точной кинетической теории валов Элементарное преобразование дает Зйр ЗГд 5 — — — —,+ пЧ( р = — йч(с — ев — — р йчп. 2 йс 2 ( дс л 2 (е = —.с'= — р. р — з 2 2 (43.24г) Тогда уравнение (43.25) можно переписать следующим образом: — „, + Йч ~ = ~ —, + пТ ) Д+ ЙчЯ = = — (е йч и — р йч и — (ев).
(43.26) Это уравнение можно преобразовать двумя способами. Перенося первый член справа в левусо часть, получим — + йч Я+ Дп) = — р йч и — (ев). (43.27) В правой части здесь стоит работа сжатия и работа против сил внутреннего трения (см. з 44). Под знаком дивергенции в левой части уравнения (43.27) фигурирует доля локального изменения ф, обусловленная теплопроводностью Я) и конвекцней фп). Введем вместо плотности энергии энергию на единнпу массы о, т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
