Зоммерфельд А. Термодинамика и статистическая физика (1185124), страница 64
Текст из файла (страница 64)
е. положим (е = рс7; тогда получим дО до до дв . йо — = р — + д — ' = о — — с7 йч (рп) = р — — сйсч(рс7н). дс дс дс ' дс йс Таким образом, из уравнения (43.27) получаем ,Д+й 9=Р( —,',+ чР)7+й (1= = — р йч и — (ев). (43.28) (43.25) Будем рассматривать вектор (1, определенный равенством (43.24а), как плотность потока тепла (харасстерссзующусо энергию, переносимусо движущимися панельками) и введем в качестве плотности внутргпнеи энергии (кинетической энергии в движущейся системе координат) выра- жение д дд.
Основные уривиеник видродинавсики 389 Правая часть этого уравнения имеет тот же смысл, что и прежде. Слева дополнительно появляется только тепловой поток, обусловленный теплопроводностью, так как теперь, говоря макрофизически, мы рассматриваем определенный элемент массы и следим за ним в процессе его движения.
6. Принцип энтропии. Будем исходить из определе- ний плотности энтропии и потока энтропии (42.1) и(42.5) и из уравнения (42.14) с существенно положительным распределением источников энтропии С, определяемым равенством (42.12). Если в1 — энтропия единицы массы, то Н= рв1, н из уравнения (42.14) следует, если принять во внима- ние уравнение непрерывности (43.15), с' д Н = рг1+ рс = ро — в1 йч (рп) = р ( —, -~- п~в) в1 — с)1т(ръ1п). Вследствие этого уравнения (42.14) принимает вид Р-,~,' =Р (де+ сей) 'С= — Йч(Я вЂ” реп)+С. (43.29) Из потока В в этом случае вычитается энтропия, перено- симая конвекцией Ни. Согласно (42.1) н (42.5), имеем  — Ни= — 1с ~ с1п1 ~с(с.
(43.29а) Вычислим приближенно  — Нп н Н. Будем считать, что функции 1 и 1 мало отличаются друг от друга, так что можно положить 1п 1 1и со' В этом случае, согласно (42.21), 1п 1 ие 1и а — 1св. Отсюда в силу (42.1) получаем Н = — йл 1па-1-йт ~ св/с(1, 399 Га. )г. Оенови точной кинетической теории завоз т. е., согласно (43.3в) и (43.4а), )г 3 )е Н = — — р 1и р+ — — р 1п Т + сопв1 р. т 2 т Отсюда для энтропии единицы массы [ср. уравнение (5.10)] получаем выражение 5 / 3 11= — — ~1пр — — 1п Т)+сопв1, тч 2 (43.30) т г.=ад:-ра( — ') . (43.31) Это второе начало термодинамики с е29 в качестве дифференциала внутренней энергии. Полученное соотношение связано с апрокснмацней 1и р' ки 1и ро, означающей, что распределение не слишком отличается от равновесного. Последнее ограничение аналогично условию, накладываемому при определении обратимых процессов. Однако фактически оно являетсн менее жестким и допускает, чтобы величина С в уравнении (43.29) была отлична от нуля.
Причина этого состоит в том, что здесь приравниваются лишь логарифмы 1пр и 1п)о, которые при больших значениях аргументов изменяются медленно. Величина отклонений от равновесного распределения, допускаемых этим ограничением, была уже указана ц 3 21, п.
6. Обосновать это можно путем более точного решения кинетического уравнения. Однако мы этого делать не будем и отошлем читателя к соответствующей литературе'). з) Р. Еп в)соя, РЬув. Хв., !2, 533 (191!): 3. М е1х пег. Хв. РЬув. СЬеп1!е, 53, 235 (1943). нлн, если взять полную производную, 51! ар 3 тат, ае т'ч.р Ш 2 т ае) ' Умножение на Т дает Ч ао кйт ар Т вЂ” = — — — —, ае ае рз ае ' 3 3 так как д = —, л)еТ[р = — (ее,'т) Т. Если последнее уравне- ние записать в дифференциалах и использовать формулу р = п)еТ, то оно примет внд ф ед.
Основные ураененил еидродинамиии ЗВ1 Величину С можно вычислить при помощи уравнения (43.29). Прежде всего из (43.29а) следует (если для 1п 1 подставить максвелловское выражение) Ь вЂ” Ни=)г( 1 сй суй. На основании (43.24а) выражение справа равно йт-'Е=--. 0 р т' Следовательно, получаем термодинамически естественный результат 8 — и =О.
(43.32) Подставляя это выражение и выражение (43.31) в уравнение (43.29), найдем С= — -+ — ('р — +был~ - — (а~) Т. а др 1 Г дч не ~й Т ( до ) Т' Второй член в правой части можно преобразовать при помощи закона сохранения энергии (43.28). Принимая во внимание равенство р(Т пй= (й/т)р, получаем С = — —,Я, йтан Т) — ~ (Пс) — — ( — „-,+рн(чп) . 1 Последнее слагаемое здесь исчезает в силу уравнения непрерывности. Следовательно, имеем С= — т,® йгабТ) — т (ае).
(43.33) 1 1 Это основное уравнение, на котором базируется термодинамика необратимых процессов. В связи с этим сошлемся на $ 21. На основании уравнения (43.19б) и закона теплопроводности Фурье (21.3) (~ — ияган Т (43.33а) можно заключить„что величина С в уравнении (43.33) существенно положительна: С= +т' ~а 6 Т)о+т за > 0' (43'336) 392 Гк. У. Основы епочной кинеекической теории возов В связи с этим заметим, что закон Фурье, так же как уравнение (43.19б), можно обосновать при помощи кине- тической теории газов (см. 944). й(")=~Ао+Ан~:-+Ам ЗЕ ЗЕ + )~о (44.1) то коэффициенты А„А;„Ам, ...
можно опроделить, вычисляя моменты пбо — $ й(т)с(Е = ггАо, -'= 5' ()"'="("'-') пС4,= ~ ЕнЕ, я(т)е(Е=п(А ЕдЕ! — А„Е~ — А,Ей+Ам) и т. д. -в — о Средние значения Ет Е„ЕО ... определя!отся здесь согласно выражениям (43.10). Соотношения (44.2) представляют (44.2) е) К, Р, Нсгс1с!д, Рве!с Же9!аиде иие) Тгаиэрог!егесье!ииияси ш Саееи, Наий-и. Лаьгьись е)ег СЬет1ссЬеи РЬум1г, Вй. Ш, 2, АЬзсЬи.
1Ч, Ье)рс!д, 1939. ') Н. 6 го д, Сспииии, риге арр!. ИасЬ., 2, 3!1 (!949). 4 44. 1» ИНТЕГРИРОВАНИЮ КИНЕТИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ ] 1. Интегрирование методом моментов. Было развито много приближенных методов интегрирования кинетического уравнения (41.18). Относительно деталей теории интегрирования отсылаем читателя к обзорной работе Херцфельда ') и к уже цитированной работе Града е). Из всех приближенных методов здесь будет использован лишь один — тот, в котором применяется разложение (43.1) по производным функции распределения Максвелла. При этом и он будет развит лишь в той мере, какая необходима, чтобы понять существо метода и обосновать уравнения (43.196) и (43.33а), ведущие к уравнениям Иавье— Стокса и уравнениго теплопроводности. Практически при этом мы приходим к методу моментов.
Весьма обширный класс функций д(т) можно разложить в ряд по производным функции распределения Максвелла. Если положить у ао. К интегрированию кинетического уравнения 393 рекурентные формулы для коэффициентов разложения, позволяющие однозначно определить последние. Получаем Ао Со А„= С, ń— Сл, (44.3) — о "о -о Ам=СоЕлЕе СлЕе С~ Ел+Си н т. д. д (РЕв Ел) + зв (РЕеЕлЕ~) (ЕА + Ее Л) = Уел (44.4) 5-, (РЕвЕеЕл)+ с (РЕеЕУЕлЕ~) (ЕеЩ+ ЕлЕ*'/г+Е'Ег1л) = Убл (44 5) В правых частях здесь стоят моменты относительно ин- теграла столкновений У,„= — ~ ЕсЕл (р 'р, '— О,) / Уе ~ е(ю е(Е д. Е,, (44.4а) У;,л= — ~ ЕоЕ,Ел(!'1,' — О,)/Уе!аьиееьЕеЕЕи (44.5а) 2.
Преобразование уравнений моментов. Прп вычислении средних значений и моментов относительно интеграла столкновений в уравнениях (44.4) п (44.5) следует подставлять функцию распределения р' в определенном приближении. Простейшее нетривиальное приближение получится, если в обеих частях уравнений сохранить Отсюда следует, что если моменты равны, то коэффициенты разложения двух функций совпадают. Эта теорема и будет использована прп решении кинетического уравнения. Ее можно применять, если удается удовлетворить всем уравнениям моментов (43.11).
Вместо того чтобы решать кинетическое уравнение, можно проинтегрировать совокупность уравнений моментов. Последние составляют удобный исходный пункт для приближенного расчета. В з 43 уже были рассмотрены первые уравнения моментов, а именно все те, в которых вклад от интеграла столкновений обращается в нуль. Рассмотрям теперь еще уравнения моментов для ~р=Е;Е„и ~р=ЕвЕ,Е„.
Согласно уравнению (43Л1), получаем 394 Го. е'. Оекоеи точкой кикетичеекой теории еаеое лишь высшие неисчезающие выражения. Это означает, что в данном приближении мы используем в левой части распределение Максвелла. Таким образом, отчасти возвращаясь к прежним вычислениям, заменим средние значения степеней Е следующими выражениями: РЕ; = рио РЕдЕд т РЕе(д = р3а+ ридид, (44.6) РЕдЕ Ед еи РЕеЕ Еда=р(ие3~д-Е и,.3„,.+ид3;,.)+Ри;и,ид, РЕ,Е,ЕдЕ, еи РЕ,.Е,Я= — "(3,.„3п-,' ...)+р[(3,диеид+ ...)+ +(Еии,и, +...))+Ряди~иди,. При этом уравнение (44.4) принимает вид д д д (Р3а+Риеид)+ д [Р(ие3м+ ° ) +Ригидие[ — (и;Уд+ идУе) Хед. После простого преобразования получаем Хе =( —, -Š— р Й1тп) Ее + /Ыр 5 (де 3 а Г дие дид 2 ди~ р(- -+ —.— — 3,)+ 'ч.
дк дг 3 д1 е,г +[Р ~ е)'т(ри)!иРд+не(Р де + де Лв) + е' дие др Если заметить, что в используемом здесь приближении о,д-.О и Я=О, то, согласно уравнениям (43.15), (43.18) и (43.25), все члены справа, кроме второго, исчезают. Пользуясь выражением для тензора деформаций еа [см. (43.22б)], получаем Удд 2реед (44.7) Точно так же можно преобразовать и уравнение (44.5). Если подставить средние значения (44.6), то прежде всего ае.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
