Зоммерфельд А. Термодинамика и статистическая физика (1185124), страница 59
Текст из файла (страница 59)
Аналогично уравнению (38.4) получаем (40.12) т. е. в случае газов Бозе — Эйнштейна или Ферми — Дирана в силу уравнения (38.4) имеем (40.13) ») ( «+З»; ~ 1)» или авив =)»и, (1 ~ и,). (40.14) В случае газа Ферми — Дирака это выражение заметно отличается от нуля только на границе Ферми. Непосредственно в точке а; = ~ ) йо [см. уравнение (39.5)) Ьп; принимает максимальное значение Ьпв = 1/2.
Для возбужденных состояний сильно вырожденного газа Бозе— Эйнштейна и, « 1, следовательно, Ап; = Р и,. Последнее равенство справедливо и в предельном случае классической статистики. Особый интерес представляет основное состояние газа Бозе — Эйнштейна. Так как 1 « и,(- Ж), то Ьп и. о о. В атом случае флуктуации имеют величину порядка самого среднего значения и, следовательно, они очень велики, В связи с этим следует заметить, что выражение (40.14) справедливо для больших канонических ансамблей. Прн дифференцировании в выражении (40.12) считается постоянным а, а не число частиц Ж.
Поэтому имеет место постоянный обмен частицами между отдельными членами 354 Гя. е'!'. Обоеие яринчияы статистики. Метод ячеек ансамбля, что объясняет, как могут возникнуть болыпие флуктуации. В силу малости отдельных фазовых ячеек флуктуации в их группах имеют практически большое значение. Если через 2,' обозначить сумму по некоторой определенной группе ячеек, то среднее число частиц в них, согласно (38.4), равно — — 1 ~ч~~' д 1п2 ! ! и выражение для средней квадратичной флуктуации имеет вид е1!е Так как в случае уравнения (38.4) и! зависит только от к„смешанные члены в двойной сумме выпадают, и мы имеем (оя!)' = — (, ~~ — ' — — ~ и (1 ~ и!). (40.16) ! ! В частности, если флуктуации происходят в элементе объема И', то из (40.16) получаем (без спинового множителя 2) т В предельном случае статистики Больцмана это дает 4иИ' ее 2т ч! е!ь р' и Подставляя сюда вместо е' выражение (31.4), получаем (Ьп)' = —, (40.18) или, вводя среднее число частиц в элементе объема Ь7(л й!ЬУ/$'), имеем ан ч/ Г у !ча (40.18а) д дд.
Средние коадра»пичнои флуктуации ЬУ»' 2т '~Чо г е" ,. ди (Ьл)'=8и — ~ — ) ~ — — )/х+~",—. ло ~ р ) 1 (е" +1)' 2 -Ьоо Интеграл вычисляется точно так же, как и в 2 39. В предельном случае полного вырождения интегрирование дает (йп) о = 8и —, (2т"„о)» о,—,„ 2Р о т. е., согласно (39.7) и (39.7а), 3 Л.ЪУ 1 (Ьл)о = — — —.„ 2 $» д."о Отсюда, учитывая, что и = УйР/Р, получаем (40.19) флуктуации плотности ферми-газа также исчезают прн абсолоотном нуле. В заключение отметим, что более высокие степени флуктуаций также можно вывести из суммы состояний.
Например, до1п Я [Е (и) Е]о = д, др (40.20) Такие флуктуации плотности можно наблюдать, так как они вызывают рассеяние света. Голубой цвет неба является следствием рассеяния солнечного света на флуктуацпях плотности воздуха. Конечно, можно было бы непосредственно вывести формулу для флуктуаций (40.18а), принимая во внимание лишь постоянство средней плотности. Этот вывод значительно проше, чем тот, который был приведен. Однако в нашем выводе выявляется связь с основными положениями статистической механики, утрачиваемая при других выводах. Прямой вывод будет рассмотрен в задаче 1Ч.8.
Для электронного газа из (40.17) следует (со спиновым множителем 2) оо 356 Гл. Ю. Общие лринцилы етатштили. Метод лчее» Действительно, ( -1-, ) Ее ЗЕл Е+ 2Ее ~Е Л)в Для идеального газа 1пЯ= — —, ее'1п'р'+... Отсюда слез 2 дует, что 1Е Е)е 8 1 9 М' Глава Ч ОСНОВЫ ТОЧНОЙ КИНЕТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ ГАЗОВ Развитая в гл. 1т' статистическая механика дает атомистическое обоснование термодинамики как теории теплового равновесия. Более того, она дополняет термодинамику, позволяя в принципе выразить термодинамические функции (например, свободную энергию Р (29 12а) или сумму состояний (29.15)] через микроскопические параметры. Атомистнческое рассмотрение неравновесных процессов оказывается значительно менее простым.
Феноменологические законы были сформулированы в з 21. Следуя историческому развитию, мы ограничимся рассмотрением поведения молекул идеального газа. Таким образом, задача состоит в строгом изложении развитой в гл. Н1 кинетической теории газов. В последнее время получила заметное развитие кинетическая теория конденсированного вещества. Однако ее рассмотрение выходит за рамки этого учебника. В этой главе придется чаще, чем раньше, ссылаться на специальную литературу. Это относится в особенности к методам решения кинетического уравнения, которое мы здесь выведем'). Неполнота этой главы обусловлена не только ограничениями в постановке задачи. Она вытекает также из того, что в явном виде вычисления удается провести лишь для очень простых и грубых молекулярных моделей. Особенно это относится к тем случаям, когда необходимо учесть квантовые свойства молекул.
В этой области успех достигнут в электронной теории металлов, где, в частности, ') М. Вогв, Сазэе ээо СЬзпсе, Лэт. 8. 203. 358 Гл. 1е. Основы точной кинекчичеекоа теории гаков Зоммерфельду удалось вывести закон Видемана — Франца. Этот вывод будет приведен в конце настоящей главы. 1 41. КИНЕТИНЕСКОЕ УРАВНЕНИЕ МАКСВЕЛЛА — БОЛЬЦ51АНА 1. Описание состояния в кинетической теории гааов. Идеальный газ характеризуется тем, что состояния его моленул являются независимыми (нсключая акт столкновения). Состояние отдельной молекулы можно полностью описать, задав ее координаты и скорость в каждый момент времени.
Ограничимся только одноатомными молекулами, рассматривая пх нак твердые и гладкие шарини. Пусть координаты молекулы задаются вектором г = (х», хео хэ), а скорость — вектором ч = (Е„Е„Ез) '). Элементы объема в пространствах координат н скоростей равны соответственно Ых = »(х» дхедхз, »1Е =-г)ч»»ЕЕ, е(гз (41.1) В противоположность гл. 17 здесь мы везде (за исключением 3 45) будем отвлекаться от квантовой природы этих элементов объема.
Предположим нх достаточно большими, чтобы внутри их помещалось много молекул, н в то же время настолько малыми, чтобы плотность внутри каждого элемента мои»но было считать постоянной. Математически это означает, что Нх и гЕЕ, несмотря на их величину, мон»но рассматривать нак дифференциалы. Этим видоизмененным определением можно оправдать обозначения в выражениях (41.1). Вычислим число частиц »Еч в окрестности точки (г, ч) в элементе фазового Е»-»»ространства. При этом заменим импульс частицы на скорость, так что указанный элемент равен ах »ЕЕ. Тогда получим сЬ=1 (г, и, г) е(х»1Е. (41.2) В Возможность рассматривать молекулу как твердый шарик и вместе с тел» гссорпть лишь о ее поступательном движении обусловлена кпа~тсэымп явлениями.
См. э спили с этим примечание в начале 1 34, где упоминается с вращательной энергии электро»»ск, В а1. Кинееническов уравнение Максвелла — Воаьцмана зов Полное число частиц дается интегралом 1У=11(., ч, 1)«х(Е, (41.3) Здесь интегрирование распространяется по всему пространству (например, заключенному внутри сосуда) и по всем скоростям. Следовательно, полное среднее значение некоторой функции г (г, г) имеет вид я= — $ я(г, т)1(г, т, 1) е(хе(Е. (41.4) ~р (г) = — ~ у (т) 1 (г, т) е(Е. (41.5) Здесь и обозначает локальную плотность частиц и = ~ 1' (г, т) е(Е. (41.5а) Следовательно, величина пе(х представляет число частиц в элементе объема е(х, независимо от пх скоростей.
Например, среднее значение скорости равно и = — ~ т1(г, т) ееЕ. 1 Г (41.6) Будучи записано в компонентах, это выражение представляет собой тройной интеграл пе (х„х,, х,) = — ~ ~ $ Е;У(х„х„х,; Е„Е„Еа)е(Е,е(ЕаеХЕз. (41.6а) Кроме сил межмолекулярного взаимодействия, о которых речь будет идти ним<е, следует задать еще внешнюю силу. Последнюю можно считать функцией точки Г=Г(г)=(Х, (г), Х (г), Х,(г)). (41.7) Однако для кинетической теории имеют значение только локальные средние значения. Они представляют средние значения в пространстве скоростей, потовые, вообще говоря, меняются от точки к точке. Если и (т) — некоторая произвольная функция скорости, то ее локальное среднее значение дается интегралом 360 Га, Г.
Осноои точной кинетической теории гаков Мы не рассматриваем здесь силы, зависящие от скорости, которые действуют, например, на заряженные частицы в магнитном поле. При этих предположениях оказывается возможным полностью обосновать термодинамику движущегося одноатомного газа. Прекрасный нетривиальный пример этого дает открытие Клузиусом и Вальдманом так называемого диффузионно-термнческого аффекта, содержащегося в более высоких приближениях к решению кинетического уравнения для разнородных молекул.
Из термодинамики известно, что идеальные газы смешиваготся без изменения температуры. Однако сам процесс смешивания сопровождается термическими эффектами. Эти эффекты неявно содержатся в расчетах ь)эпмена ') и Энскога '), но их значение для эксперимента впервые было осознано Клузиусом и Вальдманом. Последние авторы впервые наблюдали этн эффекты. Сгязь их с термодиффузией указана в 9 21, п. 3 (соотношения взаимности).
2. Изменение функции р" со временем. Кинетическое уравнение Максвелла — Больцмана мы получим, поставив вопрос об изменении функции 7 со временем. Для этою предположим, что функция 7 непрерывна и достаточное число раз дифференцнруема (это возможно в силу нашего определения элементов объема с(х и с(г). Плотность в ф»- зовом и-пространстве 7' (г, т, !) изменяется вследствие движения частиц н при столкновениях.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
