Зоммерфельд А. Термодинамика и статистическая физика (1185124), страница 56
Текст из файла (страница 56)
30 поназано, как зависит от р энергия газов Бозе — Эйнштейна и Ферми — Дирана. Эта зависимость используется для исключения константы а из выражений (38.17) и (38.17а). Пример, когда значение р велико и газ сильно вырожден, дают нам электроны проводимости в металле. В 3 39 мы увидим, что электроны проводимости в первом приближении ведут себя как свободные частицы. Следовательно, они движутся в металле так же, как молекулы 334 Гл. Л'.
Од«сии иринцииы стпаеиистики. Метод яиееи газа в сосуде. Однако электронный газ является в высшей степени вырожденным. Для меди р ии 5000 (при условии, что каждый атом дает один электрон проводимости). Так как электроны подчиняются принципу Паули, электронный газ описывается статистикой Ферми — Диракк. В то время как для малых р газы Бозе — Эйнштейна и Ферми— Дирака ведут себя одинаково, в предельном случае больших р они заметно отличаются друг от друга, почему и следует рассматривать их по отдельности.
3. Сильно вырожденный гав Бове — Эйнштейна. До сих пор из газов, подчиняющихся статистике Бозе— Эйнштейна и заметно вырожденных, был известен только газ световых квантов. Оказывается, однако, что наступление сверхтекучести гелия при очень низких температурах связано с вырождением.
Во всяком случае, сверхтекучесть возникает только у изотопа Не', подчиняющегося статистике Бозе — Эйнштейна. У Нез, который описывается статистикой Ферми — Дирака, она отсутствует. Для газа Бозе — Эйнштейна число частиц в силу (38.17) н (38.20) пропорционально величине г Г Уеде -к'(«)-= ~, рей ~ ееем 1 (38.21) Этот интеграл достигает максимума при «=0. Значения «< 0 следует исключить, поскольку тогда интеграл расходится.
Тот факт, что интеграл (38.21) при «=0 еще сходится и принимает значение ц (е/е) =2,612 (~ — дзетафункция), приводит к весьма неправдоподобным следствиям. Именно, получается, что в конечном объеме можно разместить лишь конечное число Бозе-частиц, причем это число убывает с температурой пропорционально Т М н при абсолютном нуле обращается в нуль. Это противоречит предположению о том, что в случае статистики Бозе— Эйнштейна в канщом квантовом состоянии может находиться сколь угодно много частиц. Этот вывод и в самом деле неправнлен.
Он получился в результате замены суммы (38.1) интегралом. При низких температурах, для которых рз, 2е 1, такую замену производить нельзя. зз э ЗВ. Вмроэкденкые еаам Выберем начало отсчета энергии так, чтобы наименьшее возможное значение ее равнялось нулю, и пронумеруем уровни энергии согласно их величине: О ее<атаев< Тогда средние числа частиц в различных энергетических состояниях даются формутюй (38.4) не= —, и;= „' (1=1, 2, ...).
(38.22) а 1' 1 «+За. Множители В<, как и в формуле (33.11), означают кратности соответствующих уровней е,. Основной уровень считается простым. Так как в пределе при а-+О и, неограниченно растет, общее число частиц может быть каким угодно. Конечность интеграла (38.21) при а .0 означает аа только, что число частиц и = ~ л, в возбужденных сое=~ стояниях не может превысить некоторого предела, так что увеличение числа частиц сверх этого предела происходит исключительно эа счет основного состояния.
Частицы до известной степени «конденсируются» в основном состоянии (конденсация Эйнштейна). Число и определяется интегралом (38.21). Согласно формуле (38.17), определяя степень вырождения, как и прежде, равенством (38.19), получаем ') л = — — у (а) ~ — ( ( — ) = Л~е. (38 23) Таким образом, пренебрежение низшим уровнем энергии при определении и практически ничего не меняет в интеграле. Можно показать, что погрешность при этом имеет величину порядка Ъл(и = (р/Л') ~э. Этим можно пренебречь даже при значительных степенях вырождения.
Обратимся теперь к высоким степеням вырождения. В этом случае, согласно уравнению (38.23), и ь Л~. Практически все частицы находятся в основном состоянии. т) Конечно, при этом формула (З8.20) уже не имеет места, так как ока связана с равенством а=)т'.
ЗЪС Гл. 1ва. Ойи>ис принципы статиспжки. Метод пасек Следовательно, в силу (38.20) а — очень малая величина. При этом Л'о « Ж п и = Уо ио = са в"а'о а = — . (38 24) лао В первом приближении 1если в (38.22) подставить а еи О) числа частиц в возбужденных состояниях оказываются равными п. - па в Юо За. е ' — 1 (38.25) Исследуем теперь, когда можно заменить и; на величины ио определенные равенствами (38.25), т.
е. когда о Две фа,.— щ — и; (е — 1)е ' е '/по па е а — 1 е ' — 1 1 1 Рое»==— "о Энергия первого возбужденного уровня по порядку величины составляет >ва 2 гие' что соответствует дебройлевской длине волны порядка линейных размеров сосуда, занимаемого газом. Следовательно, указанное выше неравенство соблюдается, если — 'г»=. >ва — е>а 1 2тИ' "о Согласно (38.19), отсюда следует условие (38.26) "о которое выполняется в предельном случае больших р, так как тогда и, т >а'. Прея>де всего видим, что это выражение мало при больших значениях рое.
Однако возможен и случай рос « 1, если только для всех возбужденных состояний оо собл>одается неравенство д дд. Виваззедгнние гази Числа частиц в возбужденных состояниях сильно вырожденного газа Бозе — Эйнштейна даются формулой (38.25) и зависят только от температуры. В первом приближении эти частицы описываются той я<е функцией распределения, что н световые кванты (см. $ 20). Более точные значения в (38.22) можно получить при помощи модифицированного потенциала «з Ф = — 1п(1 — е-") = — (2лтйТ)Чг — 1!и (1 — е-'-') )/1 е(1.
Ьг )гй3 о (38 16') Первый член здесь представляет собой поправку, вносимую в правую часть (38.16) для низшего квантового состояния. Давление не зависит от нее. Согласно (38.176), оно равно р= у(а) ( — г) (7гТ) у(0) ( ьлг ) ' (йТ) . (38,27) Получается нечто вроде формулы для давления пара. Покажем еще, что вырождение газа Бозе — Эйнштейна совместимо с теоремой Нернста о теплоемкости. Из формулы (38.6) с учетом формул (38.1) — (38.3) следует -Ю= Я ~ — 1п(1 — е ' ~")+ причем а определяется из соотношения (38.2) Вблизи абсолютного нуля для всех возбужденных состоиний рег Э 1, так что 1~ 0 все члены суммы стремятся к нулю по меньшей мере как е ~'.
Остаются только не зависящие от температуры слагаемые 1 а 1 — Я = — 1п(1 — е-')+ — „, Ж= — „ ев е" — 1 е" — 1 ;ИВ Гл. 11с. Общие яриицияы статистики. Мееясд ячеек Соответственно к постоянному энтропия Ю экспоненциально стремится значению Юи = й (1п)'ч'+ 1). на одну частицу при абсолютном нуле Для энтропии получаем ое 1и де+1 %= — „е =й,т О (38.28) (с точностью до членов, имеюжих порядок величины, которым мы уже пренебрегали ранее). До сих пор предполагалось, что низшему уровн1о соответствует энергия е, = О.
Если е, м О, то, поскольку в силу (38.2) а зависит от температуры, можно положить а = =а' — Рее, после чего формула (38.1) вновь примет прежний вид. Равным образом и соотношения (38.2) и (38.4) останутся без изменений. Вместо (38.3) мы получим 5 39. ЭЛЕКТРОННЫЙ ГАЗ В МЕТАЛЛАХ 1. Замечания к теории Друде. После открытия электронов не могло быть никакого сомнения в том, что электрический ток переносится электронами. Друде выдвинул представление, что электроны в металле ведут себя, как молекулы газа, и принимают участие в термодинамическом равновесии.
Наиболее крупный успех теории Друде состоял в выводе закона Видемана — Франца для отношения теплопроводности х к электропроводности и в форме — =3 —,Т. ч И е (39.1) Отсюда следует, что 'е ее Таким образом, если при дифференцировании по р считать постоянной не а, а а', то энергия уменьшится на величину нулевой энергии еч'ее. г 89. Электронный еае в мекваллак Здесь е обозначает электрический заряд электрона. Друде получил также формулу для электропроводности е'Ъ (39.2) (1 — длина свободного пробега электрона, и — число свободных электронов в 1 мк, о — средняя скорость, еи т— соответственно заряд и масса электрона), которая в известном смысле имеет значение и в настоящее время. Теория Друде, по крайней мере качественно, объясняла сущность и внутреннюю связь многочисленных других термоэлектрических и термомагнитных явлений, как, например, термо-э.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
