Зоммерфельд А. Термодинамика и статистическая физика (1185124), страница 55
Текст из файла (страница 55)
Из формул (37ЛЗ) и (37.19) вытекают соотношения 326 Гя. !'е'. Общие прииципи статистики. Метод ячеек (29.4а), равны единице. Действительно, при ет' > 1 '"'"""'"'" (" — ')" У =' Следовательно, формула (37.21) не дает ничего нового и, как это уже отмечалось в п. 2, приводит к известной формуле (36.19). Поэтому обращение к классическому случаю может рассматриваться только как проверка изложенного выше (отнюдь не простого) приближенного метода. Броме того, этот пример может служить заменой до сих пор не приведенного доказательства того, что при большом сч' Р" (чо) — очень большая величина.
Действительно, последнее предположение существенно использовалось при переходе от (37.17) к (37.18), и оно необходимо для применения метода седловых точек. Из соотношения (37.20б) следует, что в классическом случае это условие выполняется: поскольку ~ — конечное число, меньшее единицы, величина Р'(чо) растет пропорционально Х до бесконечности. Мы будем предполагать, что это верно также и в случае квантовой статистики.
Переходя к квантовой статистике, составим логарифм суммы состояний (37.18), воспользовавшись при этом выражением (37.12) для У(ч): 1л Е = + '5' 1п(1 т ( ге) — (У+1) )пСо — — )п (2яР" (чо)). Здесь можно пренебречь единицей во втором члене, а также последним членом. Действительно, поскольку Р"(~ ) пропорционально дс, последний член по порядку величины равен )печ' и в пределе при ет' — и со становится сколь угодно малым по сравнению со вторым членом. Таким образом, получаем )п Я = =г ~ 1п (1 т- ~ г;) — Л )п(о. (37.22) Величина (о определяется нз уравнений (37 13) и (37.13а), которые дают (если пренебречь единицей по сравнению с еч') —;, Р у((.)1= —,", (37.22') ачо ча 828 Гл.
1'е'. Общие аиинниим статистики. Метод ячеек играет ту же роль, что и сумма состояний. Она представляет собой термодннамический потенциал. Из уравнения (37.22') следует Х= — —. дФ да (38.2) Внутренняя энергия дается выражением (36.8) а~ ' (38.3) а числа заполнения — формулой (36.7) — 1 дФ 1 де;, +МЕ +1 ' Пользуясь (38.4), из (38.2) и (38.3) получаем 1У=~~' и,, У=~псе;. (38.4) (38.5) Для энтропин в силу (36.9) имеем о =к(Ф+аХ+рУ). (38.6) Дифференциал Ф равен сеФ = — Л аа — У еер — р,л,' ие ейе.
(38.7) По термодинамической терминологии Ф есть потенциал, соответствующий независимым переменным а, р, е;. Согласно (38.7), функция Ф, определенная равенством (38.1), представляет собой один нз видов тормодппамнческого потенциала. Она отличается от прежних выражений последнего тем, что в данном случае наряду с, энергией зависимыми термодннамнческнми псременнымн являются также и числа частиц (задача П.1). Для совершенно изолированной системы энергия Ое= совзс и все фазовые точки лежат на одной поверхности в фазовом пространстве.
При этом все равновеликие фазовые элементы, расположенные между данной поверхностью и поверхностью 1е'+ аУ, являются равновероятными. В этом случае говорят о мнкроканоннческом распределении и ми кроканоническом ансамбле. До сих пор мы рассматривали только канонические ансамбли. О таковых можно говорить, если система находится в тепловом контакте с окружающей средой. Длн д дд. Вырожденные газы 329 1пУ=Ф=е-'Хе — Еч=е-"Ес. (38.1') Отсюда, согласно выражениям (38.2) — (38.4), получаем — е" дхь л = —— $ Р д$; 1ч' = е-"У, У = — е-' — ' д2ь ь' дч плп, исключая а, что находится в соответствии с (29.18).
Здесь и,— обычная больцмановская функция распределения. Те же вычисления можно провести н при не слишком больших значениях а, однако операция исключения а при этом уже не элементарна. В любом случае вычисления можно производить в р-пространстве. Однако, в то время как в Г-простраястве функция распределения всегда имеет каждой температуры имеется каноническая функция распределения, которая допускает флуктуации средней энергии, обусловленные взаимодействием системы с термостатом. Различие между результатами вычислений, произведенных при помощи канонического и микроканонического распределений, для систем с большим числом степеней свободы очень незначительно, так как колебания энергии чрезвычайно малы.
функция состояния Ф относится к так называемым большим каноническим ансамблям. Если а — заданная поличина, которая (в отличие от нашего дальнейшего рассмотрения) не может быть исключена при помощи условия (38.2), то общее число частиц 1ч' также испытывает флуктуации. Последние обусловлены тем, что в данном случае система может обмениваться с окружающей средой не только энергией, но и частицами. При этом, как и раньше, в достаточно больших системах флуктуации в общем очень малы, так что не возникает никаких заметных различий. Мы удовлетворимся только этим указанием н вернемсн к каноническим распределениям, предполагая величину а исключенной при помощи равенства (38.2) (см. также з 40). Из формулы (38.1) в предельном случае больших з следует 330 Гя..
Ле. Общие ярииеики етатяиетики. Метод ячеек внд е-е-зн<и> [изменяется лишь кратность уровней энергии Е(л)], в в-пространстве мы получим вместо больцмановского выражения е ' ~' новые функции распределения. В соответствии с (38.4) в случае Бозе — Эйнштейна — 1 ле +з (38 4а) и в случае Ферми — Днрака 1 ее ее. е о+1 (38.4б) Эти формулы дают возможность пользоваться е-пространством и при рассмотрении квантовых газов; для этого следует лишь, как говорят обычно, перейти к новым статистикам. Обычно формулы (38.4а) и (38.4б) обосновываются прн помощи комбинаторных методов, в которых уже в в-пространстве принимается во внимание неразличимость частиц и принцип Паули. Однако мы не будем останавливаться на этом.
Очень показательно выражение для энтропии (38.6). Из (38.4) следует, что еезв. 1+ яе е к; Подставив зто выражение в (38.6), получаем или после элементарных преобразований — „8 = —,,'е', (пе1пп; ~ (1 ~ и,) 1п(1 ~ и;)). (38.9) Первое слагаемое здесь совпадает со значением 1пИ' по Больпману 1см. (36.10)). Все же в целом представляет собой квантовомеханнческое выражение дла 1п Ие, поскольку именно величина 1п И'+ = — ~ (1е 1и 11 ~ (1 ~ Л) 1п (1 ~ 1,)) (38.10) дд. Вырожденные вавы обращается в максимум функциями распределения (38.4а) и (38.4б) при дополнительных условиях аЧ='Я1в сопев, Х раав — сопев. В случае статистики Ферми †Дира это иэменение термодинамической вероятности легко охарактеризовать.
Заметим, что выражения р( = 1 — я,, р'( = лв (38.11) представляют собой соответственно вероятности не найти в 1-м квантовом состоянии ни одной молекулы или обнаружить там одну молекулу. Из (38.10) получаем )п И' = — ~~~~ (Д 1п Д+ Д 1п 1,'). (38.12) 1 Это выражение отличается от больцмановского одним членом под знаком суммы, определяющим больцмановскуво термодинамическую вероятность свободных мест.
Отсюда получаем распределение Ферми, если искать максимум И' при условиях ,.(в+ /' 1, ~ р( = ав', ~ евр( = У. (38.13) То же самое верно и для случая Бозе — Эйнштейна. В этом случае также нужно принимать во внимание больцмановскую термодинамическую вероятность свободных мест. Пусть рв — вероятность того, что в 1-м кван(о) тоном состоянии находятся и молекул.
Тогда термодинамическая вероятность равна сумме выражений больцмановского типа 1и И" = — ~а~ (Я 1п Л+ 1в 1п Д + 1(1п Д +... ). (38. 14) Если искать максимум выражения (38,14) при дополнительных условиях «о Х 1а -1 ~ ~4 '=Х Х и/~юа,=У, (38.15) н=с Ьн Ьн то получим распределение Бозе — Эйнштейна (38.4а), а из 38.9) найдем значение )п И"'.
(Это показано в задаче У.7.) 332 Гл. 17, Общие принципы статистики. Метод лисок 2. Степень вырождения газов. Рассмотрим квантовый идеальный газ, состоящий из одноатомных молекул. В этом случае сумму в (38.1) можно приближенно заменить интегралом со Ф= ~ —, ~ 1п(1 г е " ЭР'аозт) рее(р, (38.16) о т. е. а ( и1 Х(а), где Рре= 2тг и Х(а)= с = ~ 1п(1 те-"-')$/7й. (3816б) у' Поправка к формуле (38.16) приводится ниже в (38.26). Используя формулы (38 16а) и (38.2) — (38.4), находим число частиц Л = — — „, (2 т7сТ) "у' (а), (38.17) энергию У= 2 ~, (2ктЯТ) ~7сТ у (а) = 2 БИТ [ — —," ~ (38.17а) и даеление (учитывая, что Ф+ Ха = — РР и с(г' = = — Здт — р И) р = — —,.
= — „, (2ктйТ) ~ОТ у (а). (38 17б) Из двух последних равенств вытекает не зависящее от у (а) соотношение рК= — У, (38.18) которое, следовательно, сохраняется и в квантовой статнстико. В силу (38.17) а является функцией аргумента ~Ч йо Р= (2кткТ) ~с 333 в Зд. Выроочеденные газы измерягощего степень отклонения величины (38.17), (38.17а) н (38.176) от соответствугощих значений для идеального газа. Назовем р степенью вырождения газа.
На основании (38 16б), (38.17) и (38.19) имеем оо р = — у ' (а) = = ~ „,' ~, (38. 20) о так что при больших а р мало. Малость р означает, следовательно, что газ явлнется классическим. Уже в 5 37 ( (-х/к7 Кяа пре Ф н г. 30. Логарифм родукивоккого фактора энергии О/(Г = †)(/)(' в уравнения (38.17в) квк фувкивя Воэьямая логарвфма стопевп вырождения р =. — т', определяемой выражением (38.20). (Расчет Бауера.) было показано, что для газа при нормальных условиях р 1!3ОООО. На фиг.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
