Зоммерфельд А. Термодинамика и статистическая физика (1185124), страница 54
Текст из файла (страница 54)
87, Авит. 2, 8. 33, »71о»вед, 1944. в том случае, когда л; — малые числа. Так как в их методе существенно, чтобы слагаемые в (37.5) были целыми числами, то значения о; нужно «измерять столь малыми единицами», чтобы все они приближенно могли рассматриваться как целые числа.
Обозначим эту (ещо явно не введенную) малую единицу посредством о,. Ввести ее необходимо для того, чтобы функцию комплексного переменного („соответствующую нашей функции у((), (см. формулу (37.8)), можно было разложить по целым степеням ~ и применить к ней теорему Коши. Однако неизбежный при этом предельный переход ао — » О приводит к разбиению шкалы энергий на бесконечно малые отрезки, что противоречит конечности фазовых элементов.
Иордан упоминает об этом в своей книге' ), но, по. его выражению, вне проводит более подробной дискуссии по поводу этих обстоятельств, мешающих нашему рассмотрению». Условие постоянства энергии (37.5) унсо учтено в самом выражении для суммы состояний. Последнее было получено в 3 36 другим путем, так что для уравнения (37.5) нам больше не требуется метод Дарвина — Фаулера. Теперь, однако, появляется еще условие постоянства числа частиц (36.16), которое в квантовой статистике уже не являетсн тривиальным.
Его также 320 Гл. 1Г. Обигие принципы статистики. Мгглед ячеек можно учесть методом Дарвина — Фаулера, следуя Шредннгеру'), причем в данном случае законность этого метода даже менее проблематична, ибо все слагаемые в (36.16) по самой сути дела являются целыми числами.
Для вычисления суммы состояний (37.2а) обратимся к выражению (36.18). Подставив значение энергии иэ (37.1), получим 8=Х з"'з",~ (37.6) (и! Если просуммировать это выражение по всем по то возникнет множество членов, не входящих в сумму состояний (37.6).
Их можно уничтожить прн помощи искусственного приема: следует заменить величины з! из (36.18) на (лг и произведение Пзг' на 1,'." Пз",'. (37.7) Выражение, возникающее при этом после суммирования в (37.6) по всем ло обозначим через г'("). Разлогким его по степеням ~ н обратим внимание на ту группу членов, которые умножены на !!г. В силу (37.7) это и будет как раз наша сумма состояний (37.3а). Итак, можно написать уд=... +~'г+... (37.8) Вторым искусственным приемом члены с ".~ отделяются от всех остальных. Следуя Дарвину и Фаулеру, мы используем теорему Коши о вычетах; тогда г=,— '.$ у('.)' -'г".. (37.9) Здесь ч рассматривается как комплексная переменная: интеграл берется по замкнутому контуру, окружающему точку !.
= 0 н не содерн<ащеагу внутри никаких других особенностей подинтегральной функции. При атом исчезают все члены степенного ряда, обозначенные в (36.8) многоточием, и остается только вычет (член, содержащий ~ '), который, согласно формуле (37.9), непосредственно дает Я. г) Б с Ь г о г! ! и 8 е г, 8!ацзмса! ТЬегшог)упаш!сз, Сашьг!г)де, 1948, СЬ. Ч!!. (См.
перевод: Ш р е д и и г е р, Статвствческаа термодвпамвка, М., 1948,) в ЗГ. Основы квантовой статиаатки 3. Статистика Бозе Эйнштейна и Ферми — Дирака. Исследуем теперь подробнее вспомогательную функцшо У(",). Заменяя в выражении (37.6) г на",г и не принимая во внимание условия (36.16), получаем у(ь) =- ~~д ((г,)а ~ (",г,)"з па=с па=о (37.10) Суммирование легко выполняется, если числа и,, как это уже указывалось в (37.9), независимо принимают все значения и, = О, 1, 2, ... Тогда мы имеем просто у(с) =П вЂ”,', (37.11) п,=1 нли О. Этот случай был введен в квантовую механику Ферми в 1926 г. (причем он ссылался на принцип Паули) и независимо от него Дираком. Важнейшей областью применения этой статистики являются электроны в металле.
Из уравнения (37.10) получаем тогда У(') = П(1+В;) 1 (37.11а) ') Мы здесь нс буден подробнее останавлнваться на атон связи с снмметрнчныын нпп антнснмметрпчнымп водпопымп функппямп квантовая механики. С точки зрения квантовой механики собственные функции системы явлшотся лрн этом симмешричнымп функциямн координат ее составных частей. Этот случай был рассмотрен Бозе в 1924 г. в применении к фотонному газу и вскоре после этого распространен Эйнштейном пп газы материальных частиц '). Возможен, однако, и другой случай, также реализующийся в природе н соответствузощий пнтмспзьметричныдв собственным функциям, когда 322 Гя, е"е'.
Обезия криивияи ееяаеяиетики. метод'ячеек Оба случая мохено объединить формулой У(С) = П (1 ~ Сге)+~. (37.12) (Верхний и нижний знаки приводят к статистике Бозе— Эйнштейна или Ферми — Днрака соответственно.) В обоих случаях У(0) = 1 и вблизи точки ~= 0 функцию У (1) можно разложить по степеням ~, как это уже предполагалось в формуле (37.8). В случае статистики Ферми — Дирака У(с) представляет собой целую (голоморфную) функцию, которая монотонно возрастает вдоль положительной вещественной оси. В статистике Бозе— Эйнштейна У (1) — разрывная (мероморфная) функция, обладающая полюсами во всех точках 1 с=(,= —. ке Согласно определению г, [см. (36.18)), эти точки расположены на положительной части вещественной ~-оси.
Если нормировать энергию так, что при любом 1 к; > О, то все ~< располагаются за точкой (= 1, причем число их постепенно возрастает до бесконечности с ростом (. При ~ < ((е)„„, У(~) ведет себя монотонно и в случае статистики Бозе — Эйнштейна. Рассмотрим теперь логарифм подинтегрального выражения в (37.9), обозначив его через Р((): Р (() = )п У (() — ()У+ 1)!и(, (37.13) Функция ег(~) обращается в + со при (= О (так как 1п~= — со) и очень быстро убывает, пока в правой части (37.13) преобладает второй член. Однако еше прежде, чем ~ достигнет единицы, начинает преобладать первый член, который, так же как и У(1), монотонно возрастает.
Таким образом, на положительном отрезке вещественной оси имеется точка (к, в которой Р ("„)=О. (37.13а) Значение второй производной еч'"(() в этой точке положительно и очень велико, поскольку переход от монотонно убывающей к монотонно возрастающей ветви Р(~) про- згз а зт. Основы квантовой статистики исходит очень быстро, и притом тем быстрее, чем больше Л'. Последнее обстоятельство будет использовано ниже.
В связи с появлением обеих «новых» статистик заметим еще, что фактически новыми являются не статистики, а объекты, к которым они применяются, — тождественные частицы и их квантовые состояния симметричного илн антисимметричного типа. 4. Метод седловых точек. Займемся вычислением интеграла в формуле (37.9). Вводя определенный в (37.13) логарифм подинтегрального выражения, вместо (37.9) можно написать г= — ф.
~ч (с. (37 14) Разложим Р (С) в степенной ряд около точки С = (о. Согласно (37.13а), линейный член ряда исчезает, так что Р(~) = Р(~о) -г —, Р" (~о) (~ — ~о)'+ " (37 15) Двумерные потенциальные функции не могут иметь ни абсол»отного максимума, ни абсолютного минимума, так как в силу равенства ЬФ=О вторые производные д»Ф,дх» и д»Ф/ду» всегда имеют разные знаки. Поэтому поверхность и =сопзс всегда является выпуклой в одном направлении и вогнутой в другом, перпендикулярном к первому.
Таким образом, при дФ/дх = дФ/ду = О имеется седловая точка. То же самое относится и к поведеншо вещественной и и мнимой и частей каждой комплексной функции Р(.) в тех точках й=йо, где Р'(йо) =-О. Мы видели, что если двигаться вдоль положительной вещественной полуоси, то в точке ~=(о функпия Р(~) имеет резкий минимум.
Следовательно, если двигаться вдоль линии, параллельной мнимой оси, то в точке ~о должен быть острый максимум. Интеграл (37.14) берется по контуру, охватывающему нулевую точку, например по окружности. Если последнюю провести через точку ~о, то путь интегрирования пройдет через крутой «перевал» («наиболее крутой подъем» по одну сторону перевала и «наиболее крутой спуск» 221 Гя. 7У. Общие принципы ппатиеепкки. Метод ячеек по другую его сторону).
Иногда метод седловых точек называют еметодом перевала». Существенный вклад в интеграл вносится только малым отрезком вблизи вершины. Эту часть окружности Ф и г. 29. Плоскость ч (ч=к+еу) вблизи точки перевала бо. Дава качествеииак картвпа линий равной высоты. можно заменить отрезком касательной, а остальной частью пренебречь (см. фиг. 29). На данном отрезке мы имеем ( =(о+'У Уо < У < + Уо (37 13) +оо Я 2 е ~ы ~ ехр ( 2 ~ (~о)У 1 ~~У' — ио Вводя новую переменную = У-"«) (37.17) видим, что если вторая производная Р'(~ ) достаточно велика, то еу(со) у= 1 ~ „2 еуко) ~ е-чое( 2" У У" ((о) 1 ~/2пр ((о)' Пренебрегая членами высшего порядка, получаем из (37.14) и (37.15) Е ЗУ.
Основы квантовой статистики Тогда, подставляя Р(о ) из (37.13), находим г У(() он+о ~' 2кс'" ((о) (37Л8) Очень поучительно проверить правильность этого результата в классическом случае, хотя тогда, как мы видели выше, сумму можно легко и совершенно строго вычислить и не пользуясь методом Дарвина — фаулера.
В этом случае для суммы состояний следует пользоваться выражением (36.17а), а не (37.6). Если для суммы (36.16а) [как и для суммы (37.6)) отбросить условие (36Л6) и внести знаменатели и,! и,!... под знаки частных сумм по и„и,..., то вместо Г(1) получим соответствующую ей о классическую» функцию г .»сс.=Л'! Ц (~~~~ ( ') ') =У) екав»со+-)=М! ео~о. (37.19) ов Р(1)=Ы»+!п)У! — (Х-!-1)1п(, (3720) (37.20а) (37. 206) Р.
(() л'+ 1 Отсюда в силу (37.13а) находим оо 3 $~2кр ((о) ( у+1) со (37 20в) формула (37.18) теперь принимает впд 1'о ! Рт Е~~~ Я=,„— в со (37 21) (Я+ 1) 1/2к (во'+ 1) ~1исленные множители, согласно формуле Стирлннга Кан и раньше, оказывается, что применение суммы состояний 2 в классической статистике вполне законно.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
