Зоммерфельд А. Термодинамика и статистическая физика (1185124), страница 38
Текст из файла (страница 38)
Число их, следовательно, определяется функцией 1 (1) (выражение (23.4)]. Так как можно предположить, что все частицы возбуждены в одинаковой степени и так как в силу некогерентности излучения складываются интенсивности, а не амплитуды, то наблю- Качественным подтверждением распределения Максвелла явлнется наблгодаемое у испускающих свет газов увеличение ширины спектральных линий с повышением температуры.
Оно обусловлено вффсктом Допплера. Пусть та — собственная частота излучающей частицы (атома или молекулы) н Ла = сь/та (где сь — скорость света); тогда наблюдатель, производящий измерения в направлении оси х, воспримет свет с длиной волны Л, от тех частиц, у которых составляющая скорости $ почти равна нулго; в общем же случае длина волны будет равна Л + йЛ. Здесь, согласно т. 1 т' (Оптика) з 11 (отвлекаясь от релятивистских поправок), ЬЛ(Ла = с/сь и, следовательно, ЬЛ= —.
э' 93. Раеаределение 1«1«кавелла даемая интенсивность. будет также прямо пропорциональна ~(Е), где Е, согласно (23.12), следует приравнять» ЬЛ. Поэтому из (23.4) получаем ев = У е-т 1»««»1» (23,13) Здесь Х« — плотность интенсивности в середине спектрсграммы, а т, согласно (23.6), обратно пропорциональна температуре Т н определяет ширину спектральной линии. Полуширина линии характеризуется значением аргумента, при котором У= У /2, и, следовательно, равна йЛн= — ( — ) = — ( — 2 1и 2) Контур спектральной линии, соответствующий выражснию (23.13), непосредственно изображает кривую ошнбск Гаусса, а следовательно, и закон распределения Максвелле.
Первые измерения формы и полуширины линий испускания в зависимости от температуры и атомного веса т были выполнены Майкельсоном'). Для астрофизики фундаментальное значение имеет форма фраунгоферовых лившй поглои4ения. Наряду с эффектом Допплера здесь учитывается также уширение, обусловленное давлением (ударное гашение), в то время как естественная ширина линии (см. т. П1'), 3 36) отходит на задний план. Прямую проверку распределении Максвелла впервые удалось произвести Отто Штеряу») при помощи его метода атомных пучков.
3. Общие соображения о распределении по энергиям. Множитель Больцмана. До сих пор мы основывались на первоначальном несколько примитивном доказательстве Максвелла. В гл. 1Ч предположение о независимости вероятностей будет доказано для объектов классической механики при помощи более общею и в основе своей более простого «метода ячеек», который для одгоатомного газа, находящегося вне силового поля, приводит также к распределению Максвелла.
Ограничение случаем одно- атомного газа нашло свое выражение в заглавии и. 1 этого в) М(сЬе1'аоа, РМ!. Ыад., 34, 28(! (1892). в) А. 8 о ш ш е г 1 а! й, Е1еИгоагааш(Ь, Ье(р»18, 1949, ») О. 8«е г и, 2«. 1. РЬуа., 3, 4И (1920). 226 Г.е. 1!1. Эае.иененарнаее кинетиееекая теОрия гагае параграфа. Условие, что газ находится вне силового поля, содержится, например, в уравнении (23.4а), где предполагается, что плотность частиц одинакова во всем координатном пространстве. Очевидно, что это условие не выполняется, если газ находится, например, в поле силы тяжести. Дадим теперь, предворяя результаты гл. 1Ч, обобщение для случая многоатомного газа, который, кроме того, может находиться во внешнем силовом поле с потенциалом Ф.
хгудем исходить нз формулы (23.8), в которой, однако, энергию поступательного движения Е следует заменить полной энергией частиц а=Ее„+Е„г+... +Ф. (23.14) Следовательно, к энергии поступательного движения (единственной, имегощейся в случае одноатомного газа) добавляется еще вращательная энергия Е„г и обозначенная многоточием энергия возможного внутреннего движения частиц (колебательная энергия и т.
и.), а также потенциальная энергия Ф в силовом поле. Далее, сделаем еще одно обобщение, введя вместо интервала пространства скоростей «гео = его ЫЛ Ы~ интервал «фазового пространстваг (определяемого ниже) е1(е. Тогда вместо (23.8) получим Р сг(а = Ае-и"т е((е. (23.15) Введенная здесь постоянная А определяется, как и постоянная а ь формуле (23.4), нз условия нормировки (23.15а) Относительно значения сгге заметим только, что в случае одноатомного газа ееЯ = е(т жалея. Здесь егт = егх е(у е(х— элемент объема в координатном пространстве; множитель лгг обусловлен тем, что в фазовом пространстве вместо скоростей $, з, С фигурируют импульсы лг1, жтн лгг.
Нас сейчас интересует содержащийся в уравнении (23.15) множитель е — одт (23.16) (множитель Больцмана). Так как предполагалось, что от координат х, у, х зависит только Ф, то множитель (23.16) дает верЬятность того, что частица газа окажется в вди- З И. Броуновское двиовоение нице объема с координатами х, у, з. Следовательно, он позволяет вычислить пространственную плотность частиц р. Если ро — плотность для нулевого уровня потенциала, то в общем случае е- емт (23.17) св В прсстейшем случае поля тяжести Ф = туз и (23.17) переходит в барометрическую формулу (ср. т.
11, Механика деформируемых сред, $7, уравнения (7.15а), (7.15в)]. Модельные опыты Перрена (см. там же) можно рассматривать как манроснопическую проверку правильности формулы (23.17). $24. БРОУНОВСКОЕ ДВИЖЕНИЕ Ботаником Робертом Броуном в 1826 г. было описано явление, состоящее в том, что мельчайшие частицы (частицы пыли, ноллоидные частицы и т. 'д.), взвешенные в жидкости или газе и рассматриваемые под микроскопом, обнаруживают беспорядочное движение. Это долго оставалось загадкой. Окончательное обьяснение было дано Эйнштепном в 1905 г. Однако в 1906 г. Рентген, критически относившийся к этим опытам, пытался рядом контрольных экспериментов выяснить, не вызывается ли это движение энергией света, сообщаемой частицам при освещении их под микроскопом.
Броуновское движение принадлежит к общему кругу флуктуавгионных явлений, т. е. отклонений от термодннамического равноеесил. В соответствии с элементарным характером этой части книги мы ограничимся здесь лишь частным рассмотрением вопроса, принадлежащим Ланжевенуг), из которого весьма наглядно получается результат Эйнштейна. В т. 1Ч (Оптика) 2 ЗЗ была доказана следующая теорема: если на плоскости образовать сумму большого числа еЧ единичных векторов, ориентированных вполне беспорядочным образом, то результирующий отрезок будет равен )РУ. В данном случае мы имеем дело с ударами, которые испытывают коллоидные частицы вследствие теплового в) Ьа п ее ч1п, Сопврс.
геев)., 530 (1908). 228 Х.е. еееее. Эеевеентарнан кинетииеекан таврин ааааа движения в окружающей среде. Полная равновероятность их направлений является статистически гарантированной. Число их пропорционально времени наблюдения т.
Пути, проходимые частицами между двумя ударами (подразумеваются проектирующиося на поле зрения микроскопа отдельные отрезки пути г, из которых составляется полный зигзагообразный путь), не являются, конечно, единичными векторами, а представляют собой небольшие отрезки, длины которых колеблются около некоторого среднего значения и зависят от свойств окружающей среды и сталкивающихся частиц. Результирующее смещение частицы при движении ее по зигзагообразной траектории определяется формулой (33.4) т.
1Ч (Оптика). Заменяя принятое там обозначение о на г и обозначая единичный вектор через г;, получаем г'= ~~' г1= заде= Р~. (24.1) Чтобы найти введенный здесь коэффициентпропорциональности Р, надо воспользоваться уравнением движения частицы (24.2) Мг=К(г) — Сг, где М- масса коллоидной частицы, г — радиус-вектор ее центра тяжести относительно некоторой фиксированной начальной точки, К (~) — случайная (по величине и направлению) сила, характеризующая удары, испытываемые частицей; последний член в праной части представляет собой силу трения, которая, согласно Стоксу, принимается пропорциональной скорости г (таким образом, окружающая среда рассматривается как континуум).
Очевидно, это допустимо только в том случае, если частица весьма велика по сравнению с молекулярной структурой окружающей среды (это предположение законно).. Принимая частицу за шарик радиуса а и обозначая коэффициент вязкости окружающей среды через с, получаем на основании формулы (35.20) т. П (Механика деформируемых сред) С = бгтате (24.2а) Умножая уравнение (24.2) скалярно на г, получаем М (г,г) = (г,К) — С (г,г), (24.3) 229 где (г,г) = — — (г ).
~ н 2 ~й Прн атом уравнение (24.3) принимает вид (-Ы вЂ”.,) '- 2 д»+2 ~ ) г — Мт =(г,В). Проинтегрируем это уравнение по времени от О до 1 н затем поделим почленно на г. В течение времени т величина (г,К), т. е. проекция быстро нзменяюшейся силы удара на направление г, очень часто меняет знак. Можно ожидать, что для больших значений т [больших по сравнению с интервалом, в котором происходит изменение знака (г,К)), мы получим —, ~ (г, В) «В = О. о (24.4а) Тогда проинтегрнрованное уравнение (24.4) при»» = О (начальное положение частицы) имеет вид м<тг«с «1 2с юй 2с с — — + — г« = — '«ЛХт««й.
о (24.5) В правой части уравнения (24.5) стоит усредненная по времени удвоенная кинетическая энергия частицы. Согласно закону равномерного распределения по степеням свободы, среднее значение кинетической энергии, взятое по большому количеству частиц, равно ЬТ (соответственно двум степеням свободы плоского движения; для одномерного движения следовало бы написать йТ)2).
При этом можно сослаться на наш результат, полученный при рассмотрении смеси газов (9 23, и. 2): средние скорости Величина (г,й) в механике точки называется «внриалом силы В». Полезность его для кинетической теории газов была известна уже Клаузиусу. Совершим обычное для теоремы вириала элементарное преобразование (г,г) = — (г,г) — (г,г) = — —,, (г») — т . 230 Г!. Пг'.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
