Зоммерфельд А. Термодинамика и статистическая физика (1185124), страница 37
Текст из файла (страница 37)
Далее, в уравнении (22.5) уже заключена теория удельных теплоемкостей одноатомного газа. Так как знергия последнего зависит только от температуры, то уравнение (22.5) для величин и и сс, рассчитанных на один моль, дает — 3 аи 3 и = ЬЕм — — — ВТ, с, = „— „— Н 3 ккал/кмоль '). (22.6а) В силу равенства с — с„=Л отсюда можно найти и с„, а также отношение — '" =1+ — =1,66. св 3 (22.6б) ') 1 ксюль=1000 моль=1 кнлограимоленуляримй иес. Тем самым мы подтвердили то, что уже говорилось в 3 йе, и.
3: кинетическая теория в состоянии заполнить общие рамки термодинамики конкретными численными значениями, согласующимися с опытом. К приведенным там сведениям относительно многоатомных газов мы вернемся в гл. Ж. Выше были выведены средние квадратичные величины сс, с'. Среднее значение К конечно, равно нулю, так как в силу изотропип пространства скоростей положительная полуось с статистически не отличается от отрицательнбй илн какой-либо другой полуоси. О среднем значении с, которое, конечно, не равно нулю, будет идти речь в 3 23, п. 2. Непосредственно из опыта определяется средняя квадратичная скорость (с') ~е.
(22.7) Вычислим ее, например, для газов Н,„Не, Ое, Мс. Пока газ остается идеальным, она зависит только от темпера- 218 Гя. 11!. Элементарная кинетическая теория еиеое туры и не зависит от давления. Из соотношения (22.5) вытекает, если обозначить через т массу молекулы, что т е 3 — се = — 'кТ 2 2 или, умножая на число молекул в граммолекуле Е, — с' = — ЙТ. 2 2 Величина л,ж представляет собой вес одного моля р, так что средний квадрат скорости молекулы се = ЗгеТ/р вычисляется исключительно из макроскопических данных.
Для водорода, например, я= 2 кг/кмоль. При Т=273оК и значении Л из (3.9) получаем с'= — 8,31 273 10з м'сек"', откуда $' сеея1,85 км сек е. (22.8) Для гелия, представляющего собой одноатомный газ с атомным весом 4 (т. е. вдвое больше молекулярного веса Н,), соответственно получаем ге с = — '=км.сек =1,30 км.сек ьл е 1,85 г' 2 Молекулярный вес кислорода в 16 раз больше молекулярного веса водорода. Позтому скорость (22.8) следует разделить на )/Г6=4; аналогично для азота ее надо разделить на )/14 = 3,74.
Эти скорости уже при 0'С удивительно высоки. Они еще несколько возрастают с увеличенном температуры, согласно закону (1+1/273)не, где е' — температураЦельсия. Известное объяснение такая высокая скорость все же находит в том, что скорость звука, которая не может быть больше, чем скорость молекул, участвующих в распространении звука, имеет тот же самый порядок величины, а именно се = — — [ср. т.
П, уравнение (13.17а)1. /+г кт Аналогично обстоит дело прн истечении сжатого газа из сопла. 219 .В 28. Распределение Максвелла В атмосфере средние скорости молекул газов 0„1чэ н т. д. различны, так же как и в любой другой смесй газов. При тепловом равновесии, согласно нашему определению температуры, средние энергии поступательного двиэгсгния длп всех газов одинаковы. Полная энергия поступательного движения распределяется в среднем равными долями по различным составным частям смеси газов в соответствии с их относительными количествами.
Это простейший пример общего закона о равномерном распределении энергии. Здесь говорилось только о давлении на стенку. Однако все результаты переносятся также на давление внутри газа, если представить себе, что в какую-либо его точку внесена небольшая мембрана, являющаяся измерителем давления. При этом давление внутри газа (так же как и давление на стенки) оказывается не зависящим от координат (см., однако, в связи с этим 3 26). Это результат того, что мы не учитывали внешних сил (например, силы тяжести).
Каким образом они входят в статистическую теорию газов, будет показано в 9 23, п. 3. 1 23. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ МАКСВЕЛЛА Выше говорилось о координатном пространстве и пространстве скоростей. Мы считали, например, в равенстве (22.4а), что координатное пространство равномерно заполнено молекулами (это, повидимому, подтверждается макроскопнческими наблюдениями), причем неявно предполагалось, что на молекулы не действуют никаьне внешние силы. Обратимся теперь к пространству скоростей, в котором до сих пор нам были известны только средние значения(э, ..., с'. 1.
Распределение Максвелла в случае одноатомного газа. Вывод 1860 г. Компоненты скорости какой-либо (произвольно выбранной) молекулы газа имеют некоторые значения 1, ть ~. Можно ввести представление .о вероятности того, что первая компонента лежит в области между с и (+а.' (т.
е. в плоскопараллельном слое пространства скоростей, перпендикулярном к оси 1). Эта вероятность обозначается через У(1) е1ч. 220 Гл 1!1. Элементарная кинетическая теория еаеое У (Е) У (ч) У (Е) с(Е с(ч) Ж. (23.1) Так как в силу изотропни все направления скорости равновероятны, то для вероятностя (23.1) можно ввести новую неизвестную функцию Р, зависящую только от абсолютной величины скорости, а именно: Р(с) Ыт, с(а=с(Е сЬ) Ж.
(23.(а) Сравнение (23.1) и (23.1а) дает Р ($~Еа+ т('+(а) =-~(Е) 1(т)1(Е). (232) Чтобы нз этого функционального уравнения определить функции Р и Г, поступаем (довольно формально) следующим образом: а) Возьмем логарифмическую производную от (23.2) по Е Е Р' (с) У' (Е) с Р (с) / (Е) б> Введем обозначения Ф(с) = —— 1 Р' (с) с Р(с) ' (23.3) 'Р (Е) = Е е(Е) ' 1 У' (Е) . (23. За) То же можно написать и для компонент ~1 и (, причем в силу изотропии пространства «функция вероятности» для них будет той же самой. Однако отнюдь не очевидно, что математическое ожидание, например, величины а не зависит от значения Е, коль скоро последнее уже найдено.
В лотерее, как известно, это имеет место: если я в этом году получил главный выигрыш, то имеется вероятность, что я получу его и в следующем году, и притом точно такая же, как в предыдущем году. Максвелл сначала просто предположил, что такая независимость вероятностея имеет место и в теории газов; в дальнейшем же ему удалось доказать это утверждение (ср. и. 3 и гл. 7).
Скорость т, составленная из Е, ть Е, принадлежит элементу объема Л с(ч(Ж пространства скоростей (этот элемент образуется пересечением трех плоскопараллельных слоев, перпендикулярных к осям Е, э, ~); соответственно вероятность того, что конец вектора т находится в этом элементе, благодаря предположению о назависнмости вероятностей равна д Зд. Распределение Максвелла 22$ тогда (23.3) примет вид Ф (с) = ~р (Е). (23.3б) в) Дифференцируя (23.3б) по и или С, получаем Ф' (с) = О, Ф (с) = сонет. (23.3в) Если положить') сопзь=- — 2(, то, согласно (23.3б), 'т(Е) = 2Т Поэтому в силу (23.3а) д 1п У (Е) ,Š—— - — 2 ТЕ, )п У(Е) = а — (Ет (23.3г) и, следовательно, обозначая е-' через а, имеем у (с) = ае т".
(23.4) Замечательно и достойно внимания, что здесь появляется нормальная форма всех статистических распределений— кривая ошибок Гаусса. Наиболее вероятным значением составляющей скорости Е является значение Е =-О. Вокруг этого значения симметрично с обеих сторон группируются отклонения в виде колоколообразной кривой. Определим значение постоянной а в,(23.4) из условия, что Е с достоверностью (т. е. с вероятностью 1) должна иметь каное-нибудь значение между — со и + со: +со 1 ~(Е).Е=1.
(23.5) +со а $ е-т" сКЕ=а( — ) =1, а=( — т) . (23.5а) — оо С другой стороны, чтобы определить (, вычислим среднюю кинетическую энергию, приходящуюся на одну степень т) Знак минус необходим хотя бы для того, чтобы выполнялось равенство (23.5) Множитель 2 присоединен для удобства. Отсюда, пользуясь известным выражением для интеграла Лапласа, получаем 222 Т». 111.
длементариая иииетииееиая еиеерия ламе свободы (на компоненту Е): Э ее еи — е» ' (Ю Если, согласно (22.6), приравнять ее ЕТ(2, то получим 2ЪТ ' (23.6) На основании (23.5а) и (23.6) выражение (23.4) принимает следующий окончательный вид: (Е) (2 эт) е вьит Ее 2 Еа. (23.7) Величина Е, обозначает здесь кинетическую энергию, соответствующую составляющей Е.
Такие же выражения справедливы и для компонент а и еЕ. Отсюда на основании уравнения (23.2) сразу получаем функцию распределения Р(с) =( — ) "е-вит, Г= — (Е'+'э'+ Ее), (23.8) где Ю обозначает теперь кинетическую энергию поступательного движения, направление которого может быть любым (оно определяется значениями компонент Е, э и Е). 2. Вычисления и аксперимент. Будем интересоваться сейчас не самой скоростью т, а только распределением по абсолютным значениям скоростей (онн, как обычно, обозначаются буквой с). Рассмотрим сферу, описанную около начала координат, с внутренним и внешним радиусами с и с+е(с соответственно. В этой сфере содержится некоторое конечное число частиц, пропорциональное Ыс.
Математическое ожидание их обозначим через р (с) Ыс. Оно равно объему сферы 4исее(с, умноженному на функцию )т(с) (23.8). Таким образом, получим -,е|е р (с) = 4исе( — ) ' е-вЮ Е = —, сз. (23.9' (2»ВТ ) '' е а 23. Расаредслеиие Максвеааа 223 Отсюда следует, что закон распределения уже не будет изображаться симметричной колоколообразной кривой. ср(се Ф и г.
24. Распределение Максвелла. Действительно, кривая, показанная на фиг. 24, не симметрична относительно максимума вероятности в противоположность гауссовой кривой (фнг. 24а). Как и зта последняя, кривая (23.9) зкспоненцпально стремится к нулю Ф и г. 24а. Распределение Гаусса. прн больших с; однако при малых с (т. е.
при с-+О) она спадает лишь параболически (при с ( О функция у, есте- ственно, не определена). 224 Гл. 111. Элгмгнтарная ккнгпшчггкая тгария гагаг В точке, где гр' (с) = О, кривая (23.9) имеет максимум. Соответствующее значение с=с представляет собой наиболее вероятную скорбсть. Для нее мы получаем выра- жение с =( — ) (23.10) Она отличается как от средней квадратичной скорости 'гг' с', так и от среднего значения с = ~ ст (с) ггс.
о (23.10а) Как будет показано в задаче П1.2, отнопгения этих трех величин равны с„: с: Усг = 1: 1,13: 1,22. (23.11) (23.12) 'г Все частицы с одинаковыми значениями $ дают вклад в плотность интенсивности на спентрограмме в точках с положительными или отрицательными смещениями гЛЛ относительно ее середины.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
