Зоммерфельд А. Термодинамика и статистическая физика (1185124), страница 40
Текст из файла (страница 40)
Рассмотрим парамагнети, составленный из отдельных элементарных магнитиков. Будем считать, что они движутся вполне хаотично, независимо друг от друга и способны свободно вращаться. Магнитные моменты их равны ш =. р)п (р — магнитный заряд полюса, 1 — расстояние между полюсами, и — единичный вектор). Такая модель удовлетворительно описывает не только парамагнитные газы (О, 1)О и т.
д.) н жидкости, но также и твердые соли, и притом не только в классическом (см. п. 1), но и в квантовом (см. п. 2) случае. Согласно классическим представлениям, все направления магнитного момента априори считаются возможными и равновероятнымн. В квантовом случае допустимы лишь некоторые дискретные ориентации магнитного момента относительно внешнего магнитного полн. Б обоих случаях вероятность той нли иной отдельной ориентации определяется двумя противодейству|ощимн факторами — магнитным полем и тепловым возбуждением (т.
е. температурой системы). 1. Классическая функция Ланжевена. Обозначим через 6 угол между осью элементарного магните~ и направлением внешнего поля; индукцию последнего обозначим через В (в з 19 эта величина обозначалась через )в Н). Вращательный момент, действующий на каждый магнит со стороны поля, равен В = т В я'и 6. Он вызывает уменьшение угла 6 и, следовательно, стремится повернуть т параллельно В. Работа, которую надо совершить для увеличения 6 против сил поля, составляет ~) сй = т В з! и 6 г)6 =- — тВ 4 сов 6.
230 Гл. П1. Элементарная кинетическая теория сааов На такую же величину изменяется потенциальная энер- гия Ф элементарного магнитика при повороте его на угол ес9. Имеем, следовательно, есФ= — тВЫсоз9, Ф= --тВсоз6. (25.1) е1И' = Ас-а/"т ело. (25.2) Здесь ясно видно противоположное влияние температуры и поля. При высоких температурах все ориентации приблизительно равновероятны, как зто было ясно априори, так как в этом случае е аят ки 1.
Для низких температур над всеми прочими возможностями преобладают ориентации вблизи стабильного положения 9 = О, Ф = Фиан . Фигурирующий в формуле (25.2) множитель А удобнее всего определить из того условия, что элементарный магнитик с достоверностью имеет какую-либо ориентацию, т. е. вероятность этого события равна единице. Это означает, что ае=1=л1 л,).— ° а.бев, о и, следовательно, — =2к ~ е аЯтз)п0сс9. А ч (25.2а) С увеличением угла 6 величина Ф возрастает, подобно тому как растет потенциальная энергия в поле силы тяжести Ф = тбг при увеличении высоты подъема над поверхностью земли г.
В данном случае значение Ф нормировано так, что его минимум Ф= — елВ соответствует стабильному положению элементарного магнитика 9 = О, а максимум — нестабильному положению 6 = я. С классической точки зрения вероятности тех или иных ориентаций ЫИ' нашего элементарного магнитика априори одинаковы для равных интервалов телесного угла ест= = з)п 0 Ы0 Ы0. Согласно распределению Больцмана, они оказываются различными — в той или иной степени— в зависимости от температуры.
Именно, э 00. Статистика аарамагнитнык веигеетв 237 Подстановка в (25.2) дает после интегрирования егИ' по г0 е ~ е!и 0 а'0 (25.3) ) е-~/кг а1в000 . Вычислим теперь среднее значение компоненты ш в направлении поля. Обозначив ее через т, получим т = ~ т соэ 0 г0И'. о (25.4) М=ит; с другой стороны, величина М =ит обозначает намагни- ченность насыщения (в достаточно сильных полях все элементарные 'магнитики ориентируются одинаково). Вводя обозначения х=соз0, а=- тес (25.5) е силу сказанного получаем из (25.4) +$ )е кЬ М (,25.6) М ег ) е 0к -1 Интегрирование в анаменателе дает 2 — (е'- е-") = — эпа. а а [Сюда надо подставить значение егИг из (25.3).) В случае большого числа элементарных магнитиков важна только эта компонента и ее вероятное значение, так как компоненты, перпендикулврные к полю, имеют всевозможные азимуты ~0 и поэтому взаимно компенсируются. Умножая среднее значение т на число элементарных магнитиков в одном моле и, находим величину М, которая в 0 19 была названа намагниченностью, 238 Гл.
ууу. Элементарная нинетичееиал тегрил эаэае Числитель является частной производной знаменателя по а и, следовательно, равен 2 2 — сЬ а — — зй а. а ае Поэтому нз (25.6) получаем М сЬи 1 (25.7) М ай и а Правая часть представляет собой функцию Ланжевена нз уравнения (19.5б). Наше определение а в (25.5) совпадает, как это непосредственно видно, с прежним определением в (19.5а). Вывод уравнения (25.7) восполняет допущенный в $ 19, п.
2 пробел, н классическая теория парамагнетизма (равно как и связанная с ней теория ферромагнетизма Вейсса) становится законченной. 2. Функция Ланжевена, видоизмененная согласно квантовой теории. С точки зрения квантовой теории возможные ориентации элементарного магнитика не образуют континуума — 1 < соз 9 < + 1, а ограничиваются определенными дискретными значениями соз 9 (епространственное квантованнеэ). Их число определяется из характера спектра атома (нли молекулы) в основном состоянии.
Оно равно 2, 3, 4, ... в зависимости от того, принадлежит ли основное состояние к дублетной, триплетной, квадрупольной и т. д. системам. (Если основное состояние представляет собой сннгулет, то магнитный момент в нем отсутствует; в этом случае атом не являенэся элементарным магнитиком.) Подробное рассмотрение показывает, что пространственное квантование приводит к следующему правилу, которое здесь, конечно, не может быть обосновано. Пусть г — число состояний, соответствующих терму системы (г = 2 для дублета, г = 3 для триплета и т.
д.); полагают гли2у'+1 (у' называется «внутренним квантовым числомг) и соз9=гу'у' (следовательно, )г(<у', так как (соз9(<1). Тогда допустимы только такие значения г, которые отличаются друг от друга на единицу и, таким образом, й ва. Стаьпистика пара.иигнипьных веиьеств 239 даются следующей таблицей: г 2 3 4 5 / '/, 1 3/, 2 3 -~ '/, ~ 1; О ~ '/,; ~ '/, + 2; ~ 1; О т Еа — е а — =1)3а, ьп Е«+е а (25.8) при г=3 пь е« вЂ” е " 239« (25.8а) пь в«+1+с — «1+2сььа ' при г=4 Е» 1 Е«ЬЗ Е вЂ” «ЬЗ Е вЂ” а 3 3 (25.8б) ьп е«+ е«~3+ е «!3 + е Таким образом, функцию Ланжевена в уравнении (25.7) следует в соответствии со спектроскопической структурой состояния атома заменить правой частью одного из предшествующих равенств.
Классическая функция Ланжевена получается только в пределе при г —.»со. В дальнейшем будем обозначать ее через Е (а), а указанные выше видоизмененные формы функции Ланжевена соответственно череа г:3(а), 3.3(а) и т, д. Функция Ь была введена уже Следовательно, для дублегной системы возможны лишь две ориентации (сои 6 = ~ 1) — параллельно и антипараллельно полю. В случае триплетной системы к зтим двум добавляется еще ориентация перпендикулярно к полю, соз 6 = О. При квадрупольной конфигурации суп1ествует 1 четыре ориентации: соз6«а ~ 1, соз6= ~ — и т. д.
Эти ориентации априори являются равновероятными. При вычислении среднего значения т компоненты магнитного момента ш в направлении поля следует опять учесть мнолситель Больцмана. Вместо интеграла в уравнения (25.4) теперь появляется сумма, вообще говоря, г членов. В обозначениях (25.5) имеем, в частности, при г = 2 240 Гя. Ш. Эяеаентарная кинетаяеекая теория вавов в 1920 г. В. Ленцем'). Сравним ее с классической функцией Ланжевена: вЬ (25.9) сЬа 1 Г, вЬа а Кривые для е.„е.„...
располагаются по порядку между двумя гранипами, описываемыми уравнениями (25.9). Это сказывается, в частности, на угле наклона касательной в нулевой точке. Согласно (25.9), имеем [ср. также (19.6)1 Что касается других изменений, вносимых квантовой теорией в классические результаты, то онн указаны в конце 19, п.
3 и на фиг. 19. Не входя в детали, заметим только, что теории пара- и ферромагнетизма в соответствии с их статистическим происхождением часто обнаруживают различие между классическими и квантовыма результатами. 1 26. СТАТИСТИЧЕСКИЙ СМЫСЛ ПОСТОЯННЫХ В УРАВНЕНИИ ВАН-ДЕР-ВААЛЬСА Постоянные Ван-дер-Ваальса а и 6 были введены в 3 9 феноменологическим путем; мы ограничились лишь беглым указанием на их физический смысл. Сам Ван-дер-Ваальс 1) ее'. Ь еп в, РЬув: Ев., 21, 613 (1920). — т( )= 3-, в то время как из (25.8а), (25.86) получаем Ц(0)=ф, ~;(О)=-',, ... Следовательно, указанный наклон нвляется наибольшим для Ьв и постепенно уменьшается до '/в в случае Г Тай нак температура Кюри 6, согласно (19.11а), зависит от Г,' (О), то ее квантовотеоретичесное значение также изменяется по сравнению с классической величи- ной.
То же самое справедливо илля постоянной Кюри С, классическое значение которой дано в (19.7а). Например, в случае дублета выражение (19.7а) заменяется следующим: воМ~~ С Я д вд. Статистииееииа смысл лостолнныт е ур. Вон-дер-Виллиса 241 в своей диссертации дал им подробное статистическое обоснование, а Больцман ') смог это обоснование упростить. Мы следуем здесь (в и.
1) изложению Ф. Заутера з), представляющему собой новое оформление в сущности того же метода Больцмана. Подчеркнутое Заутером обстоятельство, что при этом необходимы лишь простейшие сведения нз элементарной теории газов, дает возможность уже здесь восполнить пробел, допущенный в 9 9, не обращаясь к общим методам гл. 1Ч. 1.
Собственный объем молекул и постоянная гг. В случае идеального газа собственный объем молекул считался равным нулю, что оправдывается при известных условиях (не слишком низкие температуры и достаточно высокая степень разрежения). В общем случае для реальных газов следует предположить, что наличие у молекул (очень небольшого) собственного объема оо препятствует проникновению в их сферу действия других молекул с таким же собственным объемом. Достаточно рассматривать молекулы как твердые шарики объема г . Тогда сферу молекулярного действия можно определить как объем шара, поверхность которого простирается до центров соседних молекул (этим обеспечивается отсутствие «перекрывания» двух собственных объемов).
Очевидно, что радиус этой сферы действия вдвое превосходит радиус молекулы и, следовательно, объем ее равен 8о,. Рассмотрим некоторуго единицу объема внутри газа. Пусть и; — плотность молекул, содержащихся в этом объеме. Тогда часть единицы объема, недоступная для центров других молекул, составляет 8лгп„и, следовательно, доля свободного пространства равна — "' = 1 — 8про, (26.1) иг Здесь эг обозначает единичный объем, помещенный в знаменателе только из соображений размерности.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
