Зоммерфельд А. Термодинамика и статистическая физика (1185124), страница 39
Текст из файла (страница 39)
Элемент«рнии кинетикеекак теории гааае коллоидных частиц вследствие их большой массы много меньше, чем скорости молекул окружающей среды, однако средние кинетические энергии и тех и других одинаковы и поэтому выражаются указанным образом через абсолютную температуру окрунгающей среды. Обозначая «среднее по частицам» горизонтальной чертой сверху (т. е.
переходя от рассмотрения одной отдельной частицы к совокупности нх), получаем ! (24.5а) Как мы убедимся ниже, первый член слева в уравнении (24.5) экспоненциально убывает со временем ~, поэтому при предварительном рассмотрении мы опустим его. Тогда из (24.5), переходя в левой части также к среднему по частицам и учитывая уравнения (24.2а) и (24.5а), находим — 2МТ г» = — !. З,а (24.6) Это формула Эйнштейна, которая была подтверждена разнообразнейшими экспериментами и использовалась, например, для определения постоянной Больцмана й или числа Авогадро Ь = Л/й.
Дополним теперь наш вывод строгим интегрированием уравнения (24.5), в котором уже до интегрирования перейдем к среднему по частицам. Интегрируя (24.4) один раз, находим (полагая г'= и) С 4И' "+ ы"= Лр М В смысле зависимости от времени эта формула содержит прежнее уравнение (24.1), причем здесь явно определен фигурирующий там коэффициент пропорциональности Р. Если наблюдаются лишь смещения в одном измерении, например в направлении оси х, то вместо формулы (24.6), согласно закону равномерного распределения по степеням свободы, получаем формулу — йT х' = — 8. Зггча 231 д 2д. Броуновское движение Решение соответствувощего однородного уравнения имеет вид 1 — спм (24.7а) а в качестве частного решения неоднородного уравнения легко находим ие = "С' (1 — С) (24.7б) Но М = (4а/3)рав, где р — плотность частиц; поэтому, согласно (24.2а), М 2 р С=9 Полагая а = 10 в см (предел видимости), о) ж 10 ' г/см сек (вода) и р ь 1 г см в (частица плавает в воде), получаем — = — .10 ' сек.
М 2 С 9 (24.7в) что согласуется с формулой (24.6). Конечно, наблюдения над отдельными частицами приводят к значительным отклонениям от средних значений (24.6) илн (24.6а); как можно показать, этв отклонения распределены по закону ошибок Гаусса. Следовательно, для экспериментальной проверки формул для средних значений необходимо произвести много отдельных наблюдений. Чрезвычайно поучительный вариант броуновского движения представляет поведение крутильных микровесов. Их исследование, начатое еще Смолуховским, Капплер') ') Е.
Капп!ег, Апп. 6. Раув., 11, 233(1931), ср. Ха1птво(зе., О, 649, 666 (1939). Следовательно, член М/С в скобках в выражении (24.76) дает лишь неизмеримо малое смеп1ение нуля шкалы врэмени, а множитель С/М в экспоненте (24.7а) приводит к чрезвычайно быстрому уменьшению любого имевшегося вначале возмущения А. Поэтому наше решение и=и,+ив упрощается и принимает внд о*кТ ижи — 1, С 232 Гл. !11. Элементариал аинетичееаая теория ливов усовершенствовал до такой степени, что смог определить число Лошмидта с точностью до 1оео. В то время как при броуновском движении имеют дело со средним значением квадрата пути (г' или х'), в случае крутнльных весов определяют среднее значение квадрата угла отклонения 3а.
Условия опыта обычно следующие. На кварцевой нити длиной в несколько сантиметров и толщиной в несколько десятых микрона висит тонкое зеркальце площадью около 1 лема. Повороты зеркальца, обусловленные действием ударяющихся о него молекул воздуха, благодаря отражению света регистрируются на фотографической пленке. Для успеха опыта необходимо отсутствие сотрясений н постоянство температуры. Коэффициент упругости кварцевой нити Р вычисляется известным способом путем исследования свободных колебаний дополнительно нагруженной системы. Во избежание радиометрического аффекта давление воздуха рекомендуется поддерживать или очень низким (например, 0,01 мм рт. ст.), или достаточно высоким (например, 1 атм). Продолжительность регистрации составляла для одной пленки примерно 10 часов.
Для теоретической обработки результатов исследования этого флуктуационного явлении следует принять во внимание, что зеркало обладает не только кинетической энергией — (1 — момент инерции ')), (24.8а) но и потенциальной энергией — (Р— коэффициент упругости). (24.8б) л7 'рак как в среднем по времени кинетическая и потенциальная энергии равны друг другу, то каждая из них вносит в статистическое среднее энергию аТ/2 на одну степень свободы. Поэтому, усредняя (24.8а) и (24.8б), получаем (3 а ИТ (24.9а) ~й (24.9б) в) Ср.
1 31, замечавае и ураввенвю (31.7). у 21. Б1оуновекое двноеоенне Статистические отклонения от этих средних значений регистрируются по схеме Капплера. Их распределение имеет характер строго гауссовых кривых. Распределение 1з около среднего значения (24.9а) можно назвать «распределением Максвелла» для угловой скорости. Так как равенство В = Ьй позволяет при известном й вычислить число Авогадро, то метод Капплера дает элементарный и достаточно точный способ определения Ь. При броуновском движении свободных взвешенных частиц соотношение, аналоГичное (24.96), естественно отпадает, так как для этих частиц нет какого-либо специального положения равновесия.
Соотношение (24.9а) заменяется прежним соотношением (24.5а). Далее, как было показано еще Перреном, для среднего угла поворота броуновских частиц (измеряемого относительно некоторой неподвижной оси) также справедливо соотношение, подобное формуле Зйнштейна (24.6а); прн этом лишь соответственно видоизменяется выражение для коэффициента вязкости по сравнению со стоксовым значением (24.2а) [см. т. П, Механика деформяруемых сред, формула (35.21)]. Для изучения динамической стороны поведения крутильных весов изберем опять метод Ланжевена.
Уравнение движения в этом случае аналогично (24.2) и имеет вид 1<р = Я (~) — Се — Юз, (24.10) где д)) (с) — закручивающий момент, обусловленный столкновениями молекул с зеркалом, Се — момент, вызванный стоксовой силой трения окружающего (возможно, разреженного) воздуха, ХЬЭ вЂ” закручивающий момент силы упругости кварцевой нити [единственный член, не имеющий себе аналога в уравнений (24.2)]. Умножая (24.10) на ч и пользуясь теоремой вириала, получаем вместо (24.4) (.' ° ) ' 1 не С Н~ 2 ~,+ ~ у )ез — 12'+Ю~'=у%(~). (24.11) После интегрирования.по е и деления на з правая часть этого уравнения исчезает.
Средние значения по частицам от двух последних членов слева, согласно (24.9а), (24.96), 234 Га. Ш. Элементарное кинеенквеекая теория еавов взаимно уничтожаются. Таким образом, уравнение (24.11) принимает вид ейе 1 — +Си=0, где и=ца ае (постоянная интегрирования равна нулю, так как прн усреднении моменты исчезают). Второе интегрирование дает и = иое-снг (24.11а) Уменьшение начального угла отклонения (нлн угловой скорости), описываемое уравнением (24.11а), было изучено Капплером.
Уменьшая давление воздуха, можно сделать константу трения С сколь угодно малой и, следовательно, увеличить время затухания Х/С до значений порядка нескольких секунд. Именно поэтому в случае крутильных весов можно экспериментально проверить также и соотношение (24.9а). Невозможность такой проверки в случае свободных взвешенных частиц (соответствующем уравнению (24.5а)) обусловлена вычисленным в (24.7в) порядком величины М/С, одновременно характеризующей время, в течение которого движение можно считать практически прямолинейным (без значительных изменений направления). Вследствие малости М/С непосредственно наблюдаемое движение броуновскнх частиц фактически представляет собой результат сильного усреднения.
Именно поэтому в очень тщательных измерениях Франца Экснера (1900 г.) были получены значения скоростей, заниженные на несколько десятков процентов по сравнению с (24.5а). Вероятно, по этой же причине объяснение броуновского дзяжоння как результата яви>кения молекул смогло победить лишь после 1905 г., когда Эйнштейн теоретически вычислил величину, доступную эксперименту; таковой оказалось среднее значение квадрата смещения. Возвращаясь опять к крутнльным весам, сделаем в заключение одно замечание общего характера: факт существования теплового двизесения в случае крутильнмх весов, допускающий количественное исследование и проверку, ставит непреодолимую границу чувствительности всех Э Вг.
Статистика гаэамагыитныг вггцвгтв измерителгных инструментов (впервые это было обнаружено Изингом в 1926 г. для высокочувствительного гал ьванометра). 6 25. стАтистикА НАРАИАГнитных ВещестВ Распределение Больцмана (23.15) позволяет дать простой статистический вывод введенной в $ 19 функции Ланжевена.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
