Зоммерфельд А. Термодинамика и статистическая физика (1185124), страница 43
Текст из файла (страница 43)
3. Теплопроводность. Предыдущие рассуждения можно применить к переносу не только импульса а, но и любой другой величины С, транспортируемой молекулами, летящими вверх и вниз. Выберем в качестве такой величины энергию Е, т. е. рассмотрим газ, не находящийся в тепловом равновесии. Предположим, что температура газа линейно возрастает в направлении оси у. Для пояснения опять могут служить фиг.
26 и 26а. Величина Е дается выражением (23.14), в котором для нашего случая потенциал Ф можно зачеркнуть. Обо- Заметим, что произведение тп представляет собой массу единицы объема, т. е. плотность газа о. Формула (27.10) была выведена еще Максвеллом в 1860 г.
Зависимость от давления в ней лишь кажущаяся. Действительно, составляя произведение величин 254 Га. 1!1. Эае.аентарааа аиаегинчееааа еаеориа гогов значим число степеней свободы через 7 (сюда входят поступательное движение, вращение и внутренние колебания) и воспользуемся законом равномерного распределения энергии по степеням свободы. Тогда на каждую степень свободы приходнтсн энергия йТ12, так что для полной энергии мы получаем /АТ 2 или; если явно указать зависимость сп у, г= —" [т(о)+д( —,") 1.
Значение перенесенной энергии С мы найдем, подставив эту величину вместо ти в формулу (27.6). Получим С ~ — С ( = — 2 — (созд ~ — г) 1'1е е' дт' ~ 2 ~,дд) Вместо (27.8а) имеем аг о Сравним теперь это выражение с феноменологическим законом Фурье для теплопроводностн прн соответствующем температурном перепаде Г дТ'~ 1е = — а ~ ~. ду /а Здесь (е — переносимое количество тепла, а — коэффициент теплопроводности. Тогда для газокинетического значения х находим 3 2 (27.12) Величина з, так же как н г4, не зависит от давления (так как в нее входит лишь произведение л() п зависит от температуры (благодаря множителю с).
Независимость от давления (при не слишком низких температурах) была подтверждена Кундтом и Варбургом одновременно с исследованием г4. Представляет также интерес простое значение, которое получается для отношения а,1а~, так как из него выпадают В З7. Пробое,на добин свободного пробега проблематичные величины с и 1. В силу (27.10) и (27 12) оно равно 77е 2т Если умножить числитель н знаменатель этого отношения на число Авогадро Ь, то получим е.
/В/2 и (поскольку И. =  — универсальная газовая постоянная н гис,/и — молярный вес). В числителе здесь стоит, согласно выражению (4.13), молярная теплоемкость газа при постоянном объеме се Следовательно, в противоположность величинам с и 1. первоначально присутствовавшим в выражениях для х н тн здесь фигурируют лишь непосредственно измеримые величина. Получающееся таким образом соотношение ее е„ (27 13) где с„/ — удельная теплоемкосттн содержит при более точном расчете в пвавой части еще числовой множитель, который для твердых шарообразных молекул равен 2,52 (Энског) и несколько меньше для многоатомных молекул. Соотношение (27.13) до некоторой степени напоминает закон Видемана — Франца в теории металлов (см.
2 45): — = — ( — ) Т; (27.13а) здесь в — электропроводность, е — заряд электрона. Аналогия состоит в том, что и из последнего соотношения выпадает проблематичная величина 1 (равно как и число свободных элегтронов п). То обстоятельство, что в соотношении (27.13) выпадает также температурная зависимость, отличает (27.13) от (27.13а). 4. Общие замечания к проблеме длины свободного пробега. Уже неоднократно подчеркивалось, что использование распределении Максвелла при изучении неравновесных состояний представляет собой грубое приближение.
Собственно говоря, в таких аадачах проблема состоит 256 Гл. П1. да«ментарная кинетическая теория га»а« х= ~ хв„. к=! (27 14) Здесь и!„— вероятность того, что данное число впервые выпадет при х-м бросании. В случае игры в кости значение и!я хорошо известно и потому сумму в (27.14) можно немедленно вычислить. Это проделано в задаче П1. 4; результат оказывается равным шести.
Это число представляет собой, следовательно, «длину свободного пробега единицы» в серии бросаний. Однако рассматриваемую последовательность событий можно обратить, поставив вопрос о том, когда в последний раз до данного бросания кости было вероятно выпадание единипы. Математическое ожидание этого события опять дается формулой (27.14) и попрежнему равно шести. Таким образом, «расстояние» между последним выпаданием единицы в прошлом и первым выпаданием ее в будущем оказывается равным двенадцати, что на первый в том, чтобы найти распределение скоростей в зависимости от координат и времени.
Необходимость такого рассмотрения была осознана еще Больцманом; математическая формулировка ее принадлежит Гильб!ергу. При ее решении сама собой появляется некоторая длина 1, которую истолковывают как длину свободного пробега, но определить которую можно лишь вместе с распределением скоростей. При этом отнюдь не очевидно, что она, как это было принято выше, окажется одной и той же как для внутреннего трения, так и для теплопроводности.
Мы еще вернемся к этому вопросу в $ 44. Особые трудности возникают в связи с задачей о диффузии, котору!о мы здесь не будем рассматривать. Однако следует разобраться в одном осложнении, которое содержится в самых основах исчисления вероятностей и становится особенно ощутимым в проблеме длины свободного пробега. Поясним его суть на примере игральной кости.
Спросим себя, при котором бросании вероятно первое выпадание какого-нибудь заданного числа (например, единицы)? Этот довольно неясно поставленный вопрос уже давно был уточнен при помощи понятия математического ожидания Э" д7. Проблема длины свободного аробега 257 взгляд противоречит найденному ранее значению «длины свободного пробегаю. Однако это противоречие целиком обусловлено полной беспорядочностью рассматриваемых событий и связано с произвольностью выбора начального момента в цепи бросаний.
В кинетической теории газов этому «начальному моменту» соответствует произвольное сечение, проведенное на фиг. 26 и 26а при у=О. Выпаданию единицы в будущем или в прошлом соответствует в данном случае фант столкновеяия данной молекулы с какой-нибудь другой в верхнем или нижнем полупространстве. Не удивительно поэтому, что расстояние, пройденное молекулой между этими двумя столкновениями, оказывается равным удвоенной длине свободного пробега, которая определяется формулой (27.14) как математическое ожидание одного отдельного столкновения и приближенно выражается соотношением (27.1). Глава 1Ч ОБЩИЕ ПРИНЦИПЫ СТАТИСТИКИ.
МЕТОД ЯЧЕЕК В гл. П1 было показано, что статистика равновесных состояний приводит к таким простым общим закономерностям, как закон распределения Максвелла — Больцмана, уравнение состояния идеальных газов и формулы для их удельных теплоемкостей. Напротив, в конце гл.
П1 мы установили, что необратимые процессы и все вопросы, связанные с понятием длины свободного пробега, приводят к необходимости использовать довольно произвольные апрокснмации и требуют для своего решения весьма обстоятельных рассуждений. Поэтому естественно предположить, что при рассмотрении с более общей точки зрения мох<но получить простую обобщающую трактовку равновесных состояний; напротив, для удовлетворительного решения проблем, связанных с необратимыми процессами, требуются более сложные методы.
Последние мы рассмотрим в гл. Ч. Настоящая гл. 1Ч овеяна духом Людвига Больцмана (1847 — 1906) и удивительно ясна с идейной стороны. Действительно, о простоте следует судить но с точки зрения элементарной, тривиальной наглядности, но с точки зрения высшей математической ясности. В этой главе впервые появляется понятие энтропии. Это основное понятие термодинамики, которое вообще не фигурировало в элементарной гл.
1П, только здесь занимает подобающее место и выступает в принципе Больцмана как чисто арифметическое следствие принятого метода расчета. 1 28. ТЕОРЕМА ЛИУВИЛЛЯ. Г-ПРОСТРАНСТВО И а-ПРОСТРАНСТВО Прежде чем применять теорию вероятности, необходимо ввести поннтие равновероятных событий. Например, Э 98. Теорема Лиувилля. Т-яроетранетво и Э-яроетранетво 259 ири игре в кости однородность материала и геометрическая форма куба гарантируют равновероятное появление чисел от одного до шести. Прн игре в карты тщательная тасовка колоды уравнивает шансы всех игроков. 1. Многомерное Г-пространство. В теории газов естественно ожидать, что в силу колоссальности числа частиц и хаотичности их движения закономерности, возможно, существовавшие в пространстве скоростей и координат в некоторый начальный момент, с течением времени нивелируются и устанавливается состояние молекулярного беспорядка («молекулярного хасса«), для описания которого можно применять законы теории вероятностей.
Будем рассматривать газ как механическую систему с Р степенями свободы. Если ««' — число молекул, рассматриваемых как тонедсственные, а ~ — число степеней свободы каждой отдельной молекулы, то Р = ~Де. Будем описывать эту систему при помощи канонических уравнений Гамильтона [см. т. 1, Механика, уравнение (41.4)] дН ' дН р = — —, да=+ —, И = Н (р» ..., рр, д» ..., др), (28 1) где д«и р„— соответственно обобщенные координаты и импульсы. Величины о и р пронумерованы здесь в соответствии с т.
1, 9 12, так что к одной молекуле относятся несколько значений индекса й. Функция Гамильтона Н есть полная энергия системы, представленная как функция р и д. Сюда включается, в частности, энергия взаимодействия молекул при столкновениях и отталкивающее взаимодействие их со стенками. Функция Гамильтона выводитсн из функции Лагранжа е =х (й» ° Чр Ч« ° ° ° Чр) ври помощи соотношений [см. т. 1, уравнение (41.1)] де. ет = Х РИ« х Ра= —. э до« В 2Р-мерном (р, д)-пространстве, которое мы назовем 260 Гя.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
