Зоммерфельд А. Термодинамика и статистическая физика (1185124), страница 42
Текст из файла (страница 42)
Тот же порядок величины имеет и «средняя длина свободного пробега», вычисленная еще Максвеллом в предположении, что скорости молекул распрсделены по максвелловскому закону (отличие состоит лишь в множителе )г'2 в знаменателе). Наша специализация проблемы, повидимому, обоснована, так как в строгой теории 4см. 2 44) знание длины свободного пробега излишне; эта величина заменяется там некоторым параметром разложения, значение З 27. Птобаема данны свободного пробега 247 которого особо определяется для каждой отдельной проблемы. Заметим, что аадачи, рассматриваемые в п. 2 и 3, касаются необратимых процессов и, следовательно, строго говоря, выходят за рамки обычной термодинамики и статистики (см. З 21 и гл.
Ч). 1. Вычисление длины свободного пробега в одном частном случае. Если одна из частиц (»ударяющая») движется значительно быстрее другой (»ударяемой»), то последнюю можно считать просто покоящейся. Как и в З 26, и. 1, припишем собственные объемы обеих молекул одной из ннх (вударяющей»), определив таким образом пх «эффективное сечение». Обозначим его радиус через (он равен сумме радиусов г, и г» обеих молекул; в нашем случае г,= г,=г, следовательно, »=2г). Часть пространства, охватываемая сферой действия в единицу времени, представляет собой круговой цилиндр с основанием кв» и высотой с. Если единица объема содержит п частиц, то внутри этого кругового цилиндра в среднем находится лкз»с ударяемых частиц, которые теперь, после того как мы их лишили собственных объемов, следует считать точечными.
Вместе с тем эта величина равна числу столкновений в единицу времени». Так как число стольновений соответствует всему пути, пройденному в единицу времени, то длина свободного пробега, определяемая как путь, пройденный до первого столкновения, будет равна с (27. () » пае» В случае жестких шарообразных молекул с эффективным сечением всз» длина свободного пробега 1 равна толщине слоя, эффективные сечения молокул которого, нс перекрываясь друг с другом, покрывают всю его площадь.
Установим порядок величины 1. Для этого введем эталонную длину 1м ранку»о ребру куба, в котором в среднем помещается одна молекула. Тотгда п=1/1,' и, согласно (27.1), — ', --'(-")' (27.2) 248 Гл. 11в. Элементарная аинвтичесаая теория ванов и, согласно (27.2), — = — ~ 100. 1 10в й 36а Следовательно, в силу (27.2а), (27.2б) имеем пропорцию 1: 1,: в = 10': 10': 6. (27.3) Длина свободного пути 1 при указанных условиях в 100 рав больше, чем среднее расстояние между молекулами а последнее при атмосферном давлении вначительно больше радиуса сферы молекулярного дейстпвия в (т.
е. диаметра молекулы). Так как длины 1, для всех идеальных газов, согласно Авогадро, одинаковы и размеры молекул также мало отличаются друг от друга, то та же самая пропорция (27.3) справедлива для О, и г(„с тем же приближением, что н для Нв. Отсюда следует, что в идеальном газе молекула испытывает бесчисленное множество столкновений, прежде чем она удалится на несколько сантиметров от своего начального положения. Вследствие этого поразительно большие значения, которые мы вывелн в 3 22 для )' св, имевот место на чрезвычайно малых расстояниях.
С другой стороны, из уравнения (27.1) видно, что, поскольку 1 обратно пропорционально давлению, при очень сильном разрежении понятие длины свободного пути становится иллюзорным— молекулы могут достичь стенок сосуда, не сталкиваясь друг с другом. Этот предельный случай кинетической (27.2б) Численное значение радиуса атома водорода (радиуса первой боровской орбиты) составляет приблизительно 0,5.10 в см.
Если для радиуса молекулы водорода приближенно взять значение, равное удвоенному радиусу атома, то величина в, представляюшая радиус сферы молекулярного действия, окажется равной 2. 10 а см. Величина и есть число частиц в единице объема; она вычисляется нз числа Авогадро и составляет при температуре 0'С и давлении 1 ат 2,8 10" в 1 смв. Поэтому — ° 10 в 1 в в 1, 3 30 1,'=28 10/" см', — 2 0 а 3 (27.2а) 2, 10-в 3 д 27.
Проблема длины гвободного пробега 249 теории газов был экспериментально и теоретически исследоваи в обстоятельной работе М. Квудсеяа. В другом предельном случае (сжижевие, соприкосновение молекул) величина г становится почти равной е и тогда понятие длины свободвого пробега также теряет смысл. 2. Вязкость. Допустим теперь, что наряду с молекулярвой молекулы газа обладают и мопярной скоростью.
Пусть оиа направлена по оси х и по абсолютиой величине линейно возрастает вдоль оси у. В феиомевологической гидродинамике доказывается (см. т. П, Механика деформируе- и(у) мых сред, 9 10), что иа сечевие, расположенное перпендикулярно к оси у, действует напряжение сдвига в направлении оси х а ~ Л д (27 4) да которое замедляет движение верхнего (более быстрого) полупростраиства и ускоряет движение иижнего (более медленного). Мы должиы это доказать с точки зрения кинетической теории газов и вычислить коэффициент вязкости (или вяутреввего трения) в. Вывод основан иа исследовании переноса импулгси.
Обозначим через т массу молекулы, через и и 2 — соответствевио компоненты моляряой и молекулярной скоростей в направлении оси х. Тогда полная составляющая импульса молекулы в направлении оси х будет равна дл = т (и + Ц. (27.5) Скорость и зависит от у (фиг. 25); распределение вероятности значений а от у ие зависит, если, как мы и предполагаем, температура одинакова во всех точках простраиства.
Через плоскость у = 0 переходят из пижвего полупростраиства в верхнее более медленные молекулы и из верхнего полупростраиства в нижнее — более быстрые. Точное расположение мест, откуда приходят медленные 250 Гг. ггг', Элементпрная кинетипеекая теория газов Ф и г. 26а. Частипы, испытывающие столкновения в витией полуплоскости.
Ф иг. 26. Частицы, испытывающие столкновения в верхней полуплоскости Π— раапус круга). свободного пробега 1. Если 0 — угол между направлением траектории и осью у, то ордпнаты мест столкновений равны — г соз 6 для молекул, приходящих снизу, и + г соз 0 для молекул, приходящих сверху (фнг. 26 и 26а). Вычислим теперь молярный импульс я=ти, переносимый в верхнее полупространство (у)О) молекулами, пересекающими единицу площади указанного выше сечения (при у=О). Молекулярный импульс т: "при этом не следует учитывать, так как величина 2 не зависит от у, и импульсы, переносимые вверх и вниз, взаимно компенсируются.
Рассмотрим прежде всего группу молекул, летящих вверх, скорости которых лежат не>иду с и с+сзс и траектории которых составляют с положительным направлением оси у углы между 6 и 6+г20. В соответствии с их происхождением нз нижнего полупространства (фиг. 26а) и быстрые молекулы, вависит от того, где именно они испытали последнее столкновение, в нижнем или соответственно верхнем полупространстве.
Чтобы определить вероятные места столкновений, рассмотрим траектории молекул и отложим на них от плоскости у =О (противоположно направлениго движения) отрезки, равные длине 251 9 2т. Проблема длинм свободного аробееа ях вклад составляет 0 ] = ти ( — е сов 0) = ти (О) — тЕ сов 9 ( —" 1 . (27.5а) С ау /о (В силу линейности функции п(у) более высокие члены разложения и в ряд Тейлора здесь не появляются.] Для молекул, летящих вниз (угол 0 для них отсчитывается относительно отрицательной полуоси у) соответственно получаем у!=ти(+есов9)=тв(О)+т7сов9( — "~), (27,5б) ду 3о Разность этих выражений равна 0] — 9~= — 2т1 совд ( — "1) .
(27.6) ~ ду ео ' Мы должны ее умножить на (одинаковое для обеих групп) число е7е молекул, которые в единицу времени пересекают единицу площади сечения у=О. Согласно формулам (22.2а) и (23.9), число молекул, подлетающих в единицу времени из показанного на фиг. 23 объема к единипе поверхности, дается выражением (предполагается, чго нормаль к поверхности направлена по оси ~, которая является также полярной осью) е7е = — ее (с) с сов 0 в)п 0 се0 ейск се Ис. (27.7) Полный импульс, переносимьш этими молекулами, мы получим, если у множим это выражение на величину (27.6).
После интегрирования по азимутальному углу еу и соответствующей группировки сомножителей зто дает — птахой (с) с(с сове 0 в!п 9 ее0 ~ — ) бди~ ~. ду ) Заметим, что 9] и 9] были умножены на одну и ту же величину, так как распределение Гаусса является симметричным. Весь перенесенный импульс получится отсеода путем интегрирования по всем скоростям с и по всем направлениям траекторий 9. При этом последнее интегрирование выполняется лишь в пределах от О до --/2.
252 Гл. 111. Элементарная кинееаииеекая теория галок Таким образом, для полного изменения импульса имеем е = $ (6 ( — 6 )) сЬ = еа и!2 е' ди '~ = — тл ( — ) ( 1с<р(с)е1с ~ соэгбз)пбг16= (.6з ~о!~ 'о о — з ( — ) ') 1ср (с) Ыс. (27.8) о В такой форме записи учитывается, что величина 1 сама зависит от с. Эту зависимость можно установить, даже если она не совсем проста, при условии справедливости распределения Максвелла. Однако для рассматриваемой проблемы характерно то, что она не относится к какому-либо равновесию и, строго говоря, распределение Максвелла для нее несправедливо (ср. п.
4). Поэтому мы не будем производить более подробное исследование оставшегося в (27.8) интеграла, а просто заменим 1векоторым средним значением, например (см. начало этого параграфа) значением 1, деленным на )/2, и вынесем эту величину за знак интеграла. Тогда из выражения (27.8) получим Ю д= — —" ( — "— ) ) ср(с) г(с.
(27.8а) о Воспользовавшись теперь формулой (23.10а)„можно заменить интеграл в (27.8а) через с. Таким образом, (27.8а) принимает вид (27.9) Такой же формулой (но с положительным знаком) определяется изменение импульса для отрицательного полу- пространства (27.9а) 252 В ЗГ. Проблема длины свободного оробела Сравнивая (27.9) и (27.9а) с (27.4), получаем для коэффициента внутреннего тренин тлЫ 3 (27 10) 1 р=-тп и В' 2 низе (27.11) видим, что число частиц и в числителе и знаменателе сокращается и остаются лишь величины, зависящие от массы н размеров частиц. Этот казавшийся сначала парадоксальным вывод о независимости з от давления был подтвержден в 1875 г.
Кундтом и Варбургом вплоть до давления 1/60 ат. Однако при весьма больших давлениях этот вывод становится уже несправедливым, так как тогда газ приближается к жидкому состоянию; кроме того, для таких, а также для очень низких давлений понятие длины свободного пробега теряет смысл. Представляет интерес также температурная зависимость з в (27.10), определяемая множителем с. Действиз Че тельно, с [как и (с') "] растет пропорционально квадратному корню из температуры. В то время как вязкость жидкости (например, масла) с температурой сильно падает, вязкость газа возрастает пропорееионально ~/Т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
