Зоммерфельд А. Термодинамика и статистическая физика (1185124), страница 32
Текст из файла (страница 32)
е. интенсивности). Поэтому из формулы (20.27) получаем (ы«« — е)«+ арене со о Отот интеграл допускает дальнейшие упрощения, так как числитель и член 4рета также медленно меняются. Поэтому пх можно заменить соответственно выражениями 2 е 4( е) е (20.286) а.де, согласно (20.266), 1 ее а= — —. 12к тессе ' (20.28в) Далее можно написать (то т«)к = (т — то)е 4т'. Тогда рассматриваемый интеграл принимает внд «о ОЭ 1 Р Ие 1 1 аЕ 2 ~(н „,)е, (ануа=у„,~ 1 „е,, ЕДŠ— Це и, так как ат « 4, получаем 1 ~+со К 2он1 ( — а» 2оне агс!.8 Е ~ и — ыо Е= Подинтегра льнов выражение в правой части является быстро меняющейся функпией т, которая вблизи т=в обладает острым максимумом (вследствие малости члена с рата), в то время как функпия С' изменяется медленно и может быть заменена своим значением прн в = в .
Поэтому вместо формулы (20.28) мы имеем ф 20. Иеауоение е поеоети 187 «Вернула (20.28а) принимает вид (20.29) Теперь следует еще выразить величину С через плотность энергии черного излучения и„. Плотность энергия равна удвоенной электрической энергии, следовательно, она равна (Е, П) = ооЕ' Усредняя это выражение по времени для изотропного черного излучения, находим ос Е' —— 3оо Е' = и . (20.30) Последний член в этом равенстве показывает, что в данном случае плотность энергии измеряется в шкале круговых частот ш, а не просто частот ч. Согласно (20.24) и (20.25), С равно амплитуде еЬ'„.
Отсюда при усреднении ле времени вблизи ш = ш получаем о е —,С',= е Еи. Подставляя значение Еа из (20.30), получаем . (20.30а) 3 ео Величина и имеет смысл плотности энергии, отнесенной к интервалу частоты Ыш вблизи ш=ш . Таким образом, имеем соотношение 1 и„йо = ич ееч, и„= — и„. 2и Поэтому вместо выражения (20.30а) имеем ~=з 1 ее (20.306) Зо ео Подставляя это выражение в (20.29) и учитывая (20.28в), исключаем связанные со специальной моделью оспиллятора величины е и и (постоянная о, очевидно, также выпадает, чего, впрочем, можно было ожидать уже из 188 Гл. 11.
Применение термодинамики к конкретным еиетемал» соображений размерности). Окончательно получим (20.31) Таким образом, энергия осциллятора оказывается такой же универсальной функцией, как и плотность энергии теплового излучения. Поэтому в дальнейшем исследовании Планка вместо теплового излучения рассматривается осциллятор. Планк приписал осцнллятору не только температуру Т, но и энтропию Ю.
Последняя при постоянном объеме излучения (е»»'=О) дается выражением И5'= — . (20.32) р', (х) = Ае *, х = — . Т Следовательно, получаем и» (», Т)»зе-еи!т аАА з— (20.33) Согласно (20.31), этому закону соответствует Ц А е — ои(т А = — »А. (20.33а) Определяя отсюда 1/У' и принимая во внимание (20.32), находим ~Б 1 /У~ — = — — 1п~ — ~ ИУ аи ~ А»,' (20.33б) (20.33в) Планк в своем нобелевском докладе 1920 г. дал классический пример объективного изложения истории. Его окончательный закон излучения появляется там прежде всего как «счастливо угаданная интерполяционная формула».
Казалось, что намерения, произведенные до 1900 г. для малых длин волн (Пашен, Луммер, Прингсгейм), подтверждают гипотетический закон, предложенный Вином. Этот закон можно получить нз формулы (20.18б), если положить (в принятых нами обозначениях) З ЗО. Иавучвнив в полости 189 (20.34а) Область промежуточных частот [между областями, описываемыми соответственно уравнениями (20.33в) и (20.34б)] Плавя описывает следующей интерполяционной формулой: (20.35) аЮ+ — * а Если правую часть написать в виде 1 1 1Г1 1 ач вв+ ~уз ач ~ вв 1+8у / ' гдэ в8 чу ю то (20.35) можно проинтегрировать. Появляющиеся при этом постоянные интегрирования определяются из условия, что при 1/ = со также и Т = оэ и, следовательно, вЫ/ЫУ = =О.
Тогда получаем — = — — 1п НЯ 1 уа7 ИУ ач 1+уа7 ' (20.36) Выражая здесь в(Ю/ИТ/, согласно(20.32), через 1/Т, находим нли, подставляя значение р из (20.35а), имеем ача вач17 1 (20.36б) Напротив, более поздние измерения Рубенса и Курльбаума, произведенные в области длинных воля (инфракрасная область остаточных лучей), привели к совершенно другим соотношениям, подтверщдающим, казалось бы, скорее закон Релея — Джинса (20.16). Этому закону соответствует в силу (20.31) [если использовать для численного множителя П в (20.16) полученное Релеем значение 8и) следующее значение энергии осцвллятора: У = 1сТ. (20.34) Отсюда в силу определения (20.32) ~м 1 а Ж=Т =Г' (20.346) 190 е л. ее'.
Применение леермединамики к конкреленим кислее.ил.и Величина ик, согласно таблице (20.13), имеет размерность энергии, умноженной на время, т. е. размерность действия. Здесь, следовательно, появляется уже упоминавшаяся выше новая универсальная постоянная — квант действия (20.37) Энергия осцвллятора записывается теперь в виде лчкт ° (20.38) и из формулы (20.31) вытекает закон излучения Планка (20.39) Гораздо глубже, чем этот несколько затянувшийся вывод, идет статистическое понимание уравнения (20.38), в котором впервые выступает в должном свете революционный характер константы Ь (см.
1 33). Выше мы набросали первоначальный ход мыслей Планка; мы это сделали ве только потому, что он имеет исключительную историческую важность, но также для того, чтобы показать, что решающую роль сыграло перенесение на осциллятор понятия энтропии. ~а фиг. 21 представлена пространственная модель поверхности, описываемой формулой Планка (20.39). В вертикальном направлении откладывается и„ в горизонтальном в направо к и от читателя Т. Эта модель состоит из шести последовательно расположенных плоских картонных профилей, которые представляют зависимость и„(к) для Т = 100, 200, ..., 600' К.
Этн профили удерживаются плоским вертикально установленным профилем, проходящим через точки ч (уравнение (20.20а)1. Благодаря линейности последнего уравнения данный профиль также вырезается из плоского картона. Покажем теперь, каким образом из формулы (20.39) вытекают предельные случаи законов Релея — Джинса и Вина. Для малых ч при заданном Т знаменатель в формуле (20.39) можно разложить в ряд. Это дает — кзТ. Ьй вэ (20.40) р 20. Иаюрчгнис е яояосгяи !У! Для болыпих ч при фиксированном Т, превебреггя в зксмеяателе (20.39) единицей, имеем и, — чее-л.!лт (20.40л) Формула (20.40) совпадает с (20.16), в частности, и в отношении уже отмечавшегося тлм выбора численного Фкг. 21. Модель поверхности, описываемой иаковом иилучеввя Плавка ич = у (ч, Т).
Ось ч непреелене пепреео. ось т-понед. Снетдея в темнея онресне рясно.мееппмх тстгпемв прсфмясй еьмееве осиян!сивом. Температуре 600'К соотистсгнтет менсвмтм прв честотечм=л 10!тесн.-г, тенисреттре 20О'К вЂ” очень иванна™менсимтм прв чм=!2 !Оге сен;!. Темпереттре 100'К соотестстетет пРофиль, нотормй едва видев ве енгтре, благодаря сеоемт меяомт множителя П.
Формула (20.40а) переходит в (20.33), если постоянную 4 в последней формуле также приравнять 8и. Наконец, для постоянной а в эакопе Стефана †Больпмана также получается определенное теоретическое выра- 192 Га. е'е'. Применение термодинамики к конкретньи» система.и жение. Сравнение формулы (20.18б) с формулой Планка 120.39) дает для фигурирующей в (20.18б) функции /, выражение 8к е» вЂ” 1 Следовательно, интеграл /г в (20.19) принимает вид со '=8" 5-*- "* о Перепишем его, принимая во внимание, что для всех х) 0 функция е-х есть правильная дробь: аа «о 2г г ехое1х ~ (г-х+е-гх+г-зх+ )хге1х 8к 11— о о (20.41а) Заменяя во втором, третьем и т.
д. членах ряда 2х, Зх,... через 1, преобразуем (20.41а) к виду (1.»,'+.'+...) ~;ог — с,Р1, о (20.416) Здесь интеграл равен Г(4) = 3!. Значение ряда, стоящего в 'скобках перед интегралом, приведено в т.1Ч (Оптика, формула (2.18)). Оно равно ка/90. Позтому все выражение (20.41б) равно ка/15 и интеграл в (20.41а) есть к (20.41в) Подставив зто выражение в (20.19), найдем теоретическое значение постоянной а в законе Стефана — Больцмана: 15 Ь (20.42) Так как а и постоянная а=Ь/Ь в законе смещения Вина (20.23а) известны из опыта, то соотношения (20.42), (20.23а) и (20.37) представляют собой уравнения для определения постоянных Ь и Ь. В настоящее время наиболее точными значениями последних считают следующие: Ь = 6,624 10 " эрг сек, Ь=1,380 ° 10 'о орг/град, (20.43) 9 27.
Необратимые ароцессы Х93 З 21. НЕОБРАТИМЫЕ ПРОЦЕССЫ. ТЕРМОДИНАМИКА НЕРАВНОВЕСНЫХ СОСТОЯНИЙ 1. Теплопроводность и появление локальной энтропии. До сих пор мы рассматривали в основном только состояния термодинамического равновесия, а в отношении необратимых процессов смогли лишь установить, что в адиабатически изолированной системе их протекание связано с возрастанием энтропии. Теперь установим более точно, где именно имеет место возрастание энтропии и как оно зависит от соответствующих параметров системы. Прежде всего рассмотрим особенно простой пример, а именно процесс теплопроводности в твердом однородном изотропном теле, отвлекаясь пря этом от теплового расширения последнего.
Если температура меняется от точки к точке, то внутренняя энергия единицы массы и(х, у, з, з) зависит, вообще говоря, от координат точки и от времени. Последнее справедливо также для потока тепла Ж. Тогда из закона сохранения энергии получаем [см. тЛ?, Дифференциальные уравнения в частных производных физики, уравнение (7.11); там через и обозначена температура) Р д +П1чЧ4= О, ди дс (21.1) (21.2) Ыи = сееТ, где с — удельная тсплоемкость.
Далее, надо связать поток тепла с градиентом температуры. Эта связь определяется законом Фурье [см. т. Ъ'1, $44, 45, уравнение (7.12)[: (21. 3) % — х ягае) Т, где х — коэффициент теплопроводности. Отвлечемся на время от соотношений (21.2) и (21.3) и сосредоточим свое внимание на уравнении (21.1). Поскольку изменения объема можно не учитывать, между где р — плотность вещества. Для полного описания тепло- проводности необходимо еще знать зависимость внутрен- ней энергии и от температуры Т. Она дается дифферен- циальным соотношением 194 Гл.
ее'. Прилеенение термодинамики к конкретным системам удельной энергией и удельной энтропией существует со- отношение с(в = Тс(г. В силу (21.1) это дает д р — = — —,шт%, Т (21.4) (21.5) нлн после некоторых преобразований де . % 1 рд -е й(т т = т ~~~' йтайТ) (21.6) Уравнение (21.1) представляет собой уравнение непрерывности, т. е. выражает некоторый закон сохранения (закон сохранения энергии).
Уравнение (21.6) было бы уравнением непрерывности, если бы его правая часть обратилась в нуль. Как известно, для энтропии не существует какого-либо закона сохранении. Напротив, в ходе необратимого процесса (в качестве которого здесь выступает процесс теплопроводности), в замкнутой системе энтропия возрастает. Это возрастание мы должны будем связать с правой частью уравнения (21.6). Интегрируя длн этого (21.6) по объему проводящего тепло тела и применяя теорему гаусса (см. т. П, Механика деформируемых сред, формула (3.1)1, получаем Р дс ~ зссг'+ $ — т" пГ = — ') ~, (14', агап Т) с5'.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
