Зоммерфельд А. Термодинамика и статистическая физика (1185124), страница 31
Текст из файла (страница 31)
Доказательство основывалось нв инввривнтности последнего относительно преобразования Лорентца. Наше рассв<отроние предполагает пнваривятность только относительно преобразования масштабов. ') См, также замечание В. Главсрв (%. 6! авег, Б!!гип!(вЬ.« г!с)<1 йсг А)гвйеш!е !и %!сп, 156, 87), к которому мы отчасти присоединяемся.
в).Предполагается, что четвертая единица нашей влектродинв мичсскои системы единиц †едини количества электричество <',). — здесь нс входят в рассмотрение. т ч (20.13) е1-'~е е-е В г'.Гг еВ г ес Постараемся теперь найти такое произведение этих пяти величин (в положительных или отрицательных степенях), которое имело бы нулевую размерность по отношению ко всем четырем единицам е, 1, 1 и 9. (20.14) Если показатель степени одной из названных величин выбрать произвольно (например, положить равным единице, что не имеет какого-либо особого смысла), то степени остальных четырех величин будут однозначно определяться четырьмя линейными уравнениями, которые получаются приравниванием нулю суммы степеней для каждой единицы из (20.14).
Следовательно, имеется только одно такое произведение. Полагая степень величины и„равной единице, непосредственно из таблицы (20.13) видим, что и,с' имеет размерность е1 ', такой же размерностью обладает и чкйТ. Следовательно, искомое произведение есть и„с' П= —" че1гг (20.15) Величина П представляет собой неизвестное универсальное число. Отсюда для спектральной функции распределения получаем (20.16) Таков (с точностью до неопределенного численного множителя П) однозначный ответ, который может дать классическая физика на вопрос о спектре излучения в полости.
Эпитет «классическая» подразумевает при этом ограничение двумя издавна укоренившимися в физике универсальными постоянными с и й. Формула (20.16) была получена из классической статистики Релеем в 1900 г., причем множитель П оказался равным 8к. Эта же формула была вторично получена 180 Гк. 11. Применение термодинамики к конкретным системам З 20. Иэлэчеиие в ислссти 181 Джинсом (отсюда название — формула излучения Релея— Джинса). Однако зта формула абсурдна в области больших частот, так как при ч-ь со из нее получается бесконечно большое значение и, и при переходе к полному излучению интеграл и = ~ и,Б расходится. Чтобы прийти к согласию с опытом, необходимо при выводе закона излучения отказаться от ограничения двумя универсальными постоянными.
Следует ввести третью постоянную, так как из закона Кирхгофа следует, что никаких других переменных, кроме и„ч и Т, в искомой формуле быть не может. Эта новая постоянная дает новое, не связанное с (20.15), безразмерное произведение П', относительно которого без ограничения общности можно предположить, что оно не зависит от и„и содержит частоту ч в первой степени'). Следовательно, имеем П' = ачТ". (20.17) В константу а включены величины с, й и новая универ- сальная постоянная. Отсюда имеем (20.17а) или и„(», Т) = —,МТ 7(а»Т ). (20.176) Степень п следует выбрать таким обрааом, чтобы интеграл по всему спектру давал выражение (20.9).
Иа равенства сс и= —, ~ 7(а>Т")чэе1»> сэ о э) Если бы это ве получилось сразу же> то необходимо было бы лишь умножить П' ва соответствуюшую степень П, чтобы исключить ич Затем полученное при этом эвачевве П' нужно было бы возвести в такую степень, чтобы ч оказалось в первой степени.
Последнее возможно, так как вэ опыта известно, что П' ааввсвт от ч. 182 Га. е'е'. Прим«нани« термодинамики к конкретным системам полагая ачТ™ = х, находим кутэн с и= —,, — ~ 1(х) х«есх. Правая часть пропорциональна Т« только при условии, если положить и = — 1. В этом случае соотношение (20.176) дает закон Вина и»(ч, Т)= — '", 1~ 'т' ). (20.18) Таким образом, неизвестная функция двух переменных и„(», Т) сводится к неизвестной функции р'одной переменной а»7Т. В этом и заключается основное достижение закона Вина. Если в аргумент функции р ввести постоянную Вольцмана й, положив йа = Л, то получим формулу Вина в обычном ее виде: „(., Т) = "*,",' У( — „"; ) .
(20.18а) Здесь постоянная й имеет размерность е1, т. е. размерность действия. Она дополняет нашу таблицу (20.13). Для предварительной ориентации читателя укажем, что мы имеем здесь дело с планковским квантом действия Ь, который считается теперь одной из фундаментальных констант физики. Закон Вина предсказывает размерность етой величины. Вводя в дробь перед функцией ~ в формуле (20.18а) произведение Ы, получим и„(ч, Т) = —, — = —, ~, (х), где х = †. (20.186) йче 1(к) нчс ь» с« Отсюда находим постоянную Стефана — Больцмана а [см.
(20.9)[ ОЭ а =Ус( — ) Р, где Р= ~ хз~,(х)ссх. (20.19) о В заключение приведем объяснение названия «закон смещения Вина«. Найдем частоту ч, соответствующую (при заданной температуре Т) максимуму интенсивности и„ З ЗО. получение в совести т. е.
частоту, для которой ди»/д» = О. Из формулы (20.18а) находим для этой частоты 2«(х)+х«'(х)=0, где х= — '", . (2020) Пусть х= х — вещественный положительный корень этого уравнения, а »= » — соответствующее ему значение частоты. Очевидно, что (20.20а) Следовательно, с увеличением Т положение максимума интенсивности смещается в сторону больших частот. Так как положение этого максимума определяет окраску, воспринимаемую при наблюдении всего спектра, то формула (20.20а) объясняет переход от красного каления к белому, имеющии место при повышении температуры. Обычно наше ощущение цвета характеризуют не частотой ч, а длиной волны в.. Из соотношений »= —, ~дч)= —,, ~ей(, и»(веч~=ил)~й! получаем для распределения интенсивности по длинам волн и„выражение ил= —,„«(хт) ! а ) = х «(хт) (2021) Введем новую переменную у и новую функцию у (у) соотношениями у = —, у(у) =у«( — ).
(20.21а) Тогда из (20:21) получим оАс ил — — —,у(у), (20.22) откуда находим — „'= -' — „,~[5у(у) — уу'(у)1. (20.22а) 184 Гл. 11. Приненение термодинамики к конкретным системам Таким образом, положение максимума интенсивности по шкале Х определяется уравнением бу(у)-уу (у)=0. (20.23) Находя положительный вещественный корень этого уравнения у, получаем, согласно (20.21а), 1 Т= су. (20.23а) Вследствие того, что величины у и х имеют разный смысл, корень этого уравнения у отличается от корня уравнения (20.20) хт. Однако ка™чественный вывод об изменении окраски, естественно, остается в силе. При увеличении Т максимум интенсивности смещается в сторону меньших длин волн (ббльших ч).
4. Закон излучения Планка. Планк рассматривает помещенный в поле излучения линейный осциллятор, являчощийся до некоторой степени реактивом на поле. Осцнллнтор представляет собой диполь Герца с определенной собственной частотой ы и размерами, малыми по сравнению с рассматриваемыми длинами волн. Если такой осцнллятор колеблетсн, будучи предоставлен самому себе, то он испытывает затухание благодаря собственному электромагнитному излучению и при малом затухании остро реагирует на падающее излучение с частотами ы, близкими к частоте ы . Если колебания падающего излучения и вынужденные колебания осциллятора описываются выражениями С э1п оч1 и Р э(п (ы1+ 6), (20.24) то, согласно т. 1 [Механика, формула (19 10)], получаем Р = — 1(ык — ы,')к+ 4ркык) — пк.
(20.24а) С При этом уравнение колебаний имеет вид тп (х + 2рх+ ыкх) = еЬк (20.25) в соответствии с уравнением (19.9) т.1. Величина Ек представляет собой х-компоненту напряженности электрического поля падающего излучения (ось х совпадает с 495 Е вд. Иоокчение в волости направлением колебаний диполя), е и т — соответственно зарнд и масса колеблюшегося электрона. Сила торможения, согласно (20.25), равна Л = — 2ртх. (20.26) Сравним ее с силой торможения излучением [т. 111'), уравнение (36.4)1 ео В= Сио, х которую можно также записать в виде [поскольку х = Р з!и (в! + 3)] ео В=— ш'х. боеоев Из формул (20.26) и (20.26а) получаем (20.26б) Найдем теперь энергию осциллятора. Кинетическая энергия его равна — х' = — Р'вше соэо(в!+ 3), а потенциальная энергия, согласно (20.25), равна — вохе= — Ров 8!по(в!+ 3).
Сумма обоих выражений [при учете (20.24а)) дает усред- ненное по времени значение полной энергии Энергия У и амплитуды С и Р снабжены индексом ш, так как в данном случае они относятся к отдельному монохроматическому колебанию. Однако в поле излучения осциллятор будет возбуждаться непрерывным спектром тесно расположенных некогерентных колебаний С„. Им соответствуют также некогерентные (и с близкими частотами) колебания осциллятора.
Это требование некогерент- ') А. Яогоп1егге!е), Е!еЫгоаупаго!)г(Ве!. П!), )е)ре)а, 4949. 1ЗЗ Га. 11. 11рименение термодинамики к конкретным сисске.иа.и ности необходимо для рассматриваемого здесь «черного» излучения в той же степени, что и для естественного «белого» света (т. ЪЧ, Оптика, $ 49). Из него вытекает, что в данном случае (в отличие от когерентного излучения) аддитивными являются не сами амплитуды, а квадраты их (т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
