Зоммерфельд А. Термодинамика и статистическая физика (1185124), страница 30
Текст из файла (страница 30)
Перейдем от плотности энергии н потону энергии, который в электродинамине обозначается череа 8. Вектор 8 имеет смысл энергии, проходящей через единицу поверхности в единицу времени. Направление вектора Б соответствует нормали к рассматриваемой единице поверхности. Так как излучение в полости и»строппа (по всем направлениям одинаково), то векторный характер потока энергии не играет роли, и можно говорить о скалярной интенсивности излучения. Ее следует, однако, связывать не с дискретным направлением (для каждого отдельного направления поток энергии был бы равен нулю), а с узким конусом лучей с(Я. Если этот конус описан около нормали к рассматриваемой поверхности, то энергию, излучаемую в конусе с(Я, обозначают через Ка«е. Для конуса, ось которого составляет с нормалью к поверхности (острый) угол 9, излучаемая энергия равна К соя 9 Ы(е, где ЫЯ = я«п 6 й6 йр.
178 2 20. Излучение е полости Производя спектральное разложение величины К и различая два направления поляризации штрихом, можно написать иэ си К (Т) = ~ '(К, (», Т) + К; (», Т)) сЬ = 2 ~ К, (», Т) еЬ. (20.3) 'о о Последнее выражение получено прн условии, что излучение не поляризовано. Величина К имеет размерность потока энергии Я, а размерность величины К, можно определить из выражения (20.3): (К) = эрг/смэ ° сек, [К„] = зрг/см'. (20.3а) Между величинами и и К имеет место соотношение и= —.
(20.4) Мы не будем здесь останавливаться на его доказатеаьстве, так как оно основано на простейших положениях геометрической оптики. При этом предполагается, что в полости †ваку. В противном случае вместо скорости света с появилась бы величина с/и (где п — показатель преломления). Из формулы (20.4) в силу (20.3) и (20А) следует, что 8и7Г„ и = —" ч— (20.4а) Если, наконец, распространить постулат о равновесии излучения и на стенки полости, то придем к обобщению сформулированного выше закона Лирхгофа. Обозначим через А поглощательную способность элемента поверхности стенки й/, т.
е. ту часть падающего излучения К,(», Т), которая при проникновении в стенки полости будет превращаться в тепло. Энергия, теряемая при этом равновесным излучением (рассчитанная на единицы поверхности, времени и телесного угла), равна АК» (», Т). (20.5) Эта энергия должна возместнться благодаря изээучательной способности Е того же элемента поверхности 176 Гл. 11. Применение термодинамики к конкретным еиетемале стенки. Для черной поверхности (А =1) имеем Е = К„(», Т) .
(20.5а) В случае идеально отражающей (абсолютно белой) поверхности А = О и Е = О. При этом, как уже отмечалось выше, стенки полости никак ае влияют на установление термодинамического равновесия. В общем случае должно осуществляться равновесие между энергией, поглощенной и напученной стенками.
Следовательно, должно быть А — =К,(», Т). и Для чисто теплового излучения отношение излучателгной и повлек(ательной способностей представляет собой универсальную функцию частоты излучения и температуры. Закон Кирхгофа и это его обобщение имеют фундаментальное значение не только для теории теплового излучения, но и для всех вопросов светотехники. В особенности важен этот закон для спектрального анализа, одновременно открытого Кирхгофом и Бунзеном. 2. Закон Стефана — Больцмана. Как было сказано в начале п.
1, излучение обладает не только энергией, но и импульсом. Именно это обстоятельство обусловливает предсказанное Максвеллом давление света. Давление света, падающего под углом 6 на элемент поверхности е(у, равно исоа'6'). Отсюда давление света в случае излучения, падающего на одну сторону элемента поверхности под любым углом, составляет а/2 р = и ~ соз' 0 з1 и 0 ад = — . 3 о Данная формула справедлива как для частично отражающей, так и для черной поверхности. Это обусловлено тем, что импульс отдачи отраженного излучения действует так же, как импульс отдачи испущенного света.
г) См. А. Я от т ег1е1е(, Е)е)гггойусага))г (Вд. 1П), )е1рг)а, 1949, 1 31 (последняя формула). Э 20. Излучение е волости 177 Представим себе эвакуированный цилиндрический сосуд с подвижным поршнем, внутри которого содержится черное излучение при температуре Т. Объем зс можно изменять (бесконечно медленно) на произвольную величину, перемещая поршень. Таким образом, мы имеем термодинамическую систему, описываемую двумя переменными Г и Т. Ее энергия равна У = $'и(Т). Работа по перемещению поршня, согласно (20,7), составляет — — 3 а изменение энтропии дается выражением Фу+ай" з' ав 1Т~ 4 и 1)с т т ат ' 3 т Так как с(Ю является полным дифференциалом, то должно выполняться условие Отсюда без труда получаем ъ ат — =4 —, 1и и=41пТ+сопзс, и Т кля и=аТ'.
(20„9) Чтобы определить введенную здесь постоянную интегрирования а, перейдем от и к К. На основании (20.4) имеем К= о Т'. 4в (20.10) Согласно (20.2а), левая часть уравнения (20.10) имеет смысл полного излучения, испущенного в единицу времени единицей поверхности (например, отверстия в стенке эвакуированной полости). Поэтому константу в правой части са/4е (обычно обозначаемую через о) можно определить экспериментально. Уравнение (20.10) выражает 178 Гл. 17. Применение шериодино.ники к конкретнели еиениме.и закон излучения, эмпирически найденный Стефаном. Приведенный выше термодинамический вывод этого закона был дан Больцманом в 1884 г.
Г. Лорентц назвал его в своей речи, посвященной памяти Больцмана, еистннным перлом теоретической физикивг). Подставляя выражение (20.9) в (20.8), получаем е(8=4а(ЧТвг(Т+ — ТвеЛе) = — а е((Твг). (20.11) При интегрировании этого уравнения никакой постоянной интегрирования не появляется, так как, согласно тепловой теореме Нернста, при Т=О о"=О. Поэтому — аТвр 3 Отсюда получаем уравнение изэнтропы в плоскости Т, У: Твр = сопв1.
(20.12а) Это уравнение показывает, как изменяется температура и, следовательно, согласно (20.9), энергия и при адиабатически обратимом изменении объема. Уравнение (20.12а) совпадает с уравнением изэнтропы идеального газа, если отношение удельных теплоемкостей положить равным /в. 3. Закон Вива. Вину принадлежит замечательная идея, позволившая выяснить характер частотной и температурной зависимости излучения в полости. Эта идея состоит в исследовании изменения спектрального состава излучения при отражении от движущегося зеркала. Из т. ГЧ, 9 13 в) известно, что, когда зеркало движется по направлению, перпендикулярному к его поверхности, частота отраженного света отличается от частоты падающего света.
То же самое справедливо и для интенсивностей отраженного и падающего света. Требуя, чтобы при подходящем процессе превращения излучение с таким измененным спектром оставалось равновесным, можно, в частности, ') ЪегЬ. е(. Реп(всЬ. РЬув. ОевепвсЬап (1907). е) А. Вою шее(е1Й, Орые (Ве). 1Ч), %1евЬае(еь 1950. (Ои. перевод: А. Воииерфеньд, Оптика, ИД, 1954.) б 20. Ив <учение в воеоеши 179 определить смещение, которое испытываот максимум интенсивности (и, следовательно, цвет) при изменении температуры. Мы откажемся здесь от доказательства закона Вина, основанного на определенной модели '), и прежде всего займемся часто дискутируемым вопросом о возможности вывести этот закон только нз соображений размерности, т.
е. сделать его понятным, пользуясь только теорией подобия в). Как обычно, у нас имеется четыре единицы. Одной из них является единица температуры (символ 0), остальные три — механические. При этом для дальнейшего удобно выразить единицу массы через эре (символ е)'). Длину и время обозначим соответственно через ! и й Величина и„, согласно (20.1а), имеет размерност ь ее/)в. Выразим и„через ч и Т (размерности их равны <оответственно Г' и 0) и некоторые универсальные кон< танты, в качестве которых в нашем распоряжении находятся скорость света с (размерность И ') и газовая постоянная )т'. Размерность последней есть еб ', так как ЯТ, согласно уравнению газового состояния, имеет размерность энергии.
Постоянная г( относится к одному молю какого- либо вещества. Для дальнейшего, однако, удобнее ввести газовую постоянную, отнесенную к одной молекуле, что достигается делением постоянной Л на число молекул н одном моле. Эту новую константу, называемую постоянной Больцмана, обозначим через й. Она, так же как и гг, имеет размерность еб '. Сведем названные пять величин и их размерности в следующую таблицу (к последнему ее столбцу мы вскоре вернемся): ') Простейшее донвввтельство твкого вида дано Лоув (1 в и е, Апп. й. Рэув., (5) 43, 220 (19431). Моделью служил отдельный монохромвтический пучок лучеи.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
