Задачи по термодинамике и статистической физике. Под ред. П.Ландсберга (1185123), страница 98
Текст из файла (страница 98)
В случае идеального газа имеем 2, »хе — '= — 7(с) Рс. »'»'» 1 Л» а (27.6Л1) (27.6Л2) 1 3» = — »пс « 2 (27.6. 13) Пз (27.6.3), (27.6.10) — (27.6Л2) тогда находим 1п И'= — ) 71п7'»Рс+сопз11 используя также (27.4.1), имеем — »»Н = Я„= 7» 1п И'. (27.6.14) 27.7. Рассмотрим следующую упрощенную модель гааа, предложенную Зренфестом (пногда называемую моделью «ветер— еиг.
27.7Л. деревьяз). Пусть в плоскости чертежа находится большое число (Л' на единицу площади) точечных частиц, которые называются Р-молекулами. Они не взаимодействуют друг с другом, но испытывают упругие столкновения с другим набором объектов, которые называются (»-ь»олекулзми; последние представляют собой квадраты со стороной а, случайным обрааом распределенные по плоскости и фиксированные иа плоскости таким образом, что Эраодиаеснан теории, Н-теорема, проблема еоаората 607 нх диагонали строго параллельны осям х и у. Их средняя плотность на единицу равна и, причем предполагается, что среднее расстояние между ними гораздо больше а. Предположим, что в некоторый момент скорости всех Р-моле.
кул одинаковы по абсолнгтной величине и равны с, но могут иметь только четыре направления: 1) вдоль положительной осн л, 2) вдоль положительной оси у, 3) вдоль отрицательной оси х, 4) вдоль отрицательной оси у (фиг. 27.7.1). В результате функция распределения по скоростям будет задаваться четырьмя числами 1„)г, 7„7а, опРеделЯющими количество Р-молекУл на единицУ площади в каждом иэ четырех воаможных направлений.
Пусть число Р-молекул на единицу поверхности, скорость которых эа время Лг изменяет направление 1 на г, задается в приближении молекулярного хаоса в виде Л'ыМ = )сБып, (27.7.1) где Ь"и — площадь параллелограмма, одной стороной которого является край ()-молекулы, лежащий в квадранте — 11 (фиг. 27.7.1), а другая сторона имеет длину сЬг. Доказать, что 1г будут стре- миться к равновесным значениялг.
араон )раен араон араон 1 Лс 4 (27.7.2) В соответствии с соотношением (27.7А) имеем (Аы —— — Бг;и!М = А) бй — „,' — = — Лг — Лм+ Л'гг+Л'ы= А «г+Ла — 27г), — '„' =А«+Ь-2Я, =А «г+(а — 2~г)а д(а ш =- А «г + 6 — 2Уа); б(4 решения этих уравнений имеют вид 7' (е) ~Раап+ (е (О) араон) е гле 27.8. Рассмотрим модель металла Лоренца. Согласно атой модели, электроны не взаимодействуют друг с другом и рассеиваются таким обрааом, что отнесенное к единице объема число лг'„м сй срсоАгсо' электронов, которые за время М меняют свое направление иа элемента телесного угла с(аю в алемент телесного Решение Так как пе существует предпочтительного направления, равновесное распределение должно определяться соотношением Глава л7 угла иаы', задается соотношением Л„„йв(аад'ю'=А7(0, вр) 4 4 АГ, (27.8Л) причем 7 (0, у) з1п 0 д0в(у/4я = — г(ю) вша(ы)!4я есть число алектронов з единице объема со скоростями, лежащими внутри телесного угла вл в.
В этой модели предполагается, что величина скорости всех электронов одинакова. Найти равновесное распределение электронов и показать, что механиам рассеяния будет обусловливать экспоненциальное приближение к этому равновесному распределению. Решение Ввиду отсутствия выделенных направлений равновесное рас пределение должно быть изотропным: (27.8.2) 7з~" (ю) = у, где Л' — число электронов в единице объема, Из соотношения (27.8.1) находим — =А [~ 4 вРа' — 7(в)~=-А(дг — 7), (27.8 3) откуда У (в) = Л' — И вЂ” 7с=а (ев)) е Яг. (27.8.4) 27.9. Классическая система содержит Х частиц, каждая из которых обладает г степенями свободы, так что ее поведение может быть описано при помощи фазовой (представляющей) точки в 2гУ- мерном фазовом пространстве (Г-пространстве) с координатами р„..., р,, дп..., у, ~.
Пусть )9 (рь ..., д,я, г) вИ вЂ” число фазовых точек в элементе объема й(в = Ц Ир, до, Г-пространства, которые представляют ансамбль таких систем; доказать, что — — + Я ( — р,+ — д,) — О. (27.9.1) 1 Это уравнение, представляющее собой формулировку теоремы Лиузилля, показывает, что плотность в Г-пространство ведет себя как несжимаемый поток. Решение Если точка в Г-пространстве определяется значениями 2гЖ переменных д„', р1,' (й = 1,..., з; ) = 1, ..., йГ), где уа си си( н р~п~ — обобщенные координаты и импульсы )-й частицы, то движение в Г-пространстве описывается уравнениями движения Га- Эргодиаееяая теория, Н-теорема, пРоблема еогерата 609 мильтона р дн д дн 1 1 2 айг (27 9 2) где для простоты мы пронумеровали все р и о, соответствующие разным степеням свободы, одним индексом, пробегающим все значения от 1 до агг'.
Если гога обозначает полную скорость изменения 77, т. е. скорость изменения, когда фазовая точка движется вдоль своей траектории в Г-пространстве, и дгл/д» вЂ” локальная скорость измевеннн, то имеем (27.9,3) Пусть,Х' — число фазовых точек в ег»е в момент времени г', так что Ф" =В о(е. Тогда в момент 1+ бг ( + д~ ) (27.9.4) Разность Ь.К'возникает аа счет потока точек в фазовом пространстве. Ло аналогии с обычным течением газа или «кидкости находим б т ' = — ~ ~77 ( д ' + д ' ) + ( дР о;+ дР р; ) 1 е(()б~.
Иа уравнений (27.9.2) следует, что — *+ — =О, дде дрг д«г др; (27. 9,6) и из уравнений (27.9.4) и (27.9.3) получаем дю др; (27.9.7) откуда дР— =О. ю . 27.10. Пусть о представляет собой 2аг1'-мерный вектор «скорости» в Г-пространстве, имеющий компоненты оы..., д,„, р,,... р,н, и пусть о — «проекция» ячейки Ю в Г-пространстве на плоскость, перпендикулярную о. Пайти выранеение для среднего времени т нахождения фазовой точки внутри 6Й.
зв-о»аз 610 Гаава 37 Решение Время т, очевидно, определяется соотношением Г с=в и (27.10.1) где о = (д,' +... + р,'и) н 1 — среднее значение отрезка траектории внутри б(з. Из определения величины о вытекает, что 1= — '", (27.10.2) и, следовательно, Решение Объем, заполняемый за единицу времени траекториями, проходящими через без, очевидно, равен оо; согласно теореме Лиувилля, эта величина но зависит от времени.
Более того, если область й неразложима, все орбиты будут проходить через Ю, и они заполнят 1з полностью. Это означает, что среднее время возврата будет равно Т= —. (27.11.1) Чтобы оценить Т в рассматриваемом случае, ааметим, что о (10-т)зк (10з)зк о 10з (ЭУ)ыз 1зк ( я )зкуз (2)у)зкд (10з)зк Ы (27.10.3) 27.11. Рассмотрим систему с фиксированной энергией Е. Будем предполагать, что энергетическая поверхность Е (р, д) == = сопз1 является ннвариантной неразложимой областью 1з в Г- пространстве. Это означает, во-первых, что для любой точки Р вся траектория, проходящая через Р, целиком лежит в зз и, вовторых, что данная область не может быть разделена на две части Й' и Й", каждая нз которых является инварнантной. Без доказательства отметим тот факт, что неразложнмость Й эквивалентна транзитивности движения; это означает, что траектория, проходящая через любую точку Р в (з, будет проходить сколь угодно близко к любой другой точке Р' в (е.
Более того, если предположить, что полный объем 1з конечен, то траектория, проходящая через точку Р, будет пересекать ячейку б(з в Г-пространстве снова и снова (теорезза возврата Пуанкаре). Получить выражение для среднего времени возврата Т и оценить эту величину для газа, в 1 см' которого содержится 10'з атомов массой 1 г, причем их средняя скорость равна 104 см с ', а размеры ячейки дй составляют 10 ' см по пространственным координатам и 10' г.см с ' по импульсным координатам. Эргодичееиая теория, Н-теорема, ироблема еоеерата згй г 1и =11ш — ') 1[Р (т)) г(т. (27.12.1) ! 0 Однако вычислить обычно можно только фазовое среднее ~, определяемое выражением (27.12.2) Я Зргоднческая теорема гласит, что /а = Т (27.12.3) Путем деления 11; на ячейки бйег и интеграла в уравнении (27.12.1) па отрезки времени, соответствующие прохождению Р через различные ячейки, доказать теорему (27Л2.3).
Решение Запишем выражение (27Л2Л) следующим образом: ~ 1(г) е(1=11ш '",, у(1„)бг„, (27.12.4) где (27.12. 5) Выбирая время бг„равным времени прохождения точки Р через ячейку бйгг и используя теорему Пуанкаре, согласно которой каждая ячейка будет пересекаться несколько раз, имеем оно кг 2.'. 1(1„) бги = ,'",,"„1 (Рг) 61г„ о=о г=э (27Л2.6) где г — номер повторного прохода Р через Юп 1 — номер ячейки и Л', — число повторных проходов за интервал времени (О, «). Таким образом, имеем' я/бн ~и =1пп1пп ~'„~(Рг) — ' (27.
12. 7) ао-о . С/Фг е=э 99о Следовательно, Т ж (3 10'и)е ' гоги с ж 10гэм лет. 27.12. Используя предположения предыдущей задачи, перейдем теперь к упрощенному доказательству эргодической теоремы, т. е. к доказательству того, что средние по времени равны средяим по ансамблю (11. Рассмотрим фазовую функцию / (Р), являющуюся функцией фазовых точек Р в Г-пространстве, Ее среднее по времени (и, являющееся фнзичесни измеримым средним, определяется выражением 612 Глава 2» Среднее время пребывания точки Р в ячейке»111„очевидно, равяо 1пп 31;; в соответствии с выражением (27.10.3) эта величина >- равна Ю/ои.
Кроме того, среднее время возврата 11ш (1/Л'>) в соответствии с выражением (27.11.1) составляет 11»ош Следовательно, 1*= Иш ~~ ~(Р;) — '= — ~ 1(Р)411 =1. 4н 2»в+1 (27.13.1) Функция распределения является теперь функцией дискретного аргумента 1, (р =- — т,..., +т), а ее равновесное значение равно 7равн >в (27.13. 2) Величины 1, удовлетворяют условию (27.13.3) Для измерения отклонения от равновесия введем функцию Л, определяемую соотношением +в» д с~~> (л 7равн)а (27 13.4) Считая, что ) 1„— /~~~~( ~( 1Р~~~, найти соотношение между Н-функцией Больцмана и Л„где Н-функция определена как Н = '»; 1„1п 1„. (27.13.5) Решение где Нрави ~ 1равн 1 лравн 27.13. Чтобы изучить процесс приближения к равновесию и проблему зоаврата, рассмотрим снова модель Лоренца (задача 27.8).
Как мы уже видели, эта модель характеризуется равновесным распределением (27.8.2). 1'ааделим теперь фазовое пространство на 2т + 1 ячеек равного объема, которые нумеруются числами от — т до +т. Каждой ячейке соответствует элемент телесного угла Эрзодичеекая теория, Н-теорема, проблема возврата 613 (27.14.1) в интервале между Ф и Ф (- е(Ф эадается уравнением +т и (Ф)ЫФ= — ~ ехр( — 1рФ)А (р) е(р, беи Г (27.14. 2) где А(р) ~ ..
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
