Задачи по термодинамике и статистической физике. Под ред. П.Ландсберга (1185123), страница 101
Текст из файла (страница 101)
Рассмотрим теперь формулировку вариационных принципов для производства энтропии, основанную на описании системы на атомном, а не ва макроскопическом уровне, использовавшемся до сих пор. Для определенности ограничимся рассмотрением частиц, подчиняющихся статистике Ферми — Дирака, например электронов. Однако аналогичные результаты применимы и к частицам, подчиняющимся как статистике Максвелла, так и статистике Бозе — Эйнштейна. В металле каждый электрон характеризуется трехмерным волновым вектором )г, а набор электронов с заданным спином и с одним и тем же волновым числом й обозначается числом заполнения Г (1г). В тепловом равновесии при температуре Т число заполнения 1(к) совпадает с функцией распределения Ферми — Дирака (см.
решение аадачи 3 12, п. «а») , ехр (Š— рлаТ) +1 ' (28.6.1) Вариационные принципы и мин мум прои»в»дете» внтропии Е27 где Е ([г) — энергия электрона с волновым числом [г, р — химический потенциал (постоянная величина) и к — постоянная Больцмана. Однако в стационарноаг состоянии, когда существует поток электронов, значение 1([г) отличается от равновесного значения 7о([г). Как известно, энтропия Я ансамбля электронов задается соотношением Я= к ~ (1([г)1п1([г)+[1 — 1([г)[1п [1 — р([г)[)в[[с, (28.6.2) где интегрирование ведется по всему и-пространству [2[.
Для функции 7' ([г), близкой к распределению Ферми — Дирака, можно полов'ить Р (й) = ро (1с) — к-'Уо (1 — ~о) вр (й), (28.6.3) где величина ер ([г), характеризующая отклонение 1 от [о, мала. Используя (28.6.1) — (28.6.3), покааать, что производство энтропии и (=- дЯ!дГ) задается соотношением и = ~ ер —, е[[ + т ~ (Š— [ь) —, с[[ (28 6.4) в предположении, что члены со степенями ер больше первой могут быть опущены ').
Решение Из приведенного в условиях задачи определения энтропии следует, что дд ['[ др дР д[ дР де ,~ ~ дв дС вЂ” = — к [ [ — + — 1п 7' — — — — 1п (1 — 1)[ е[[г = де де (28.6.5) Из определения ер (28.6.3) следует, что Разлагая второй сомножитель в (28.6.6) в степенной ряд и сохраняя только члены, линейные по цо, получаем 1 — ер'!'.
Подставляя выражение (28.6.1) для 7о в первый сомножитель в (28.6.6), получаем ~ „=ехр(", ) [1 — ~ ). Это выражение можно подставить в (28.6.5), что дает окончательный реаультат др дг [ ер де е[[г+ т ~ (Е р) д с[[с (28.6.7) где использован первый член разложения 1п (1 — врал), '1 цри проработке материала этой и двух последующих задач весьма полезна гл. 7 книги [31. 40» Глава Яд 828 28.7. Рассмотрим теперь применение уравнения (28.6.4). Пусть в проводнике, находящемся в стационарном состоянии, существует поток электронов, вызванный электрически»с полем Ж. Значение 7 изменится по двум причинам.
Во-первых, электрическое поле будет с постоянной скоростью увеличивать значение )с каждого электрона. Можно показать, что это приводит к «конвективной» скорости изменения 7, определяемой уравнением ( —,) = — ейт —, д[ д/о (28.7.1) где е и т — соответственно заряд и скорость электрона. Во-вторых, значение 7 будет изменяться вследствие столкновений, испытываемых электронами.
Если мы ограничимся важным случаем столкновений с примесями в проводнике, то можно показать, что соответствующая «столкповительная» скорость изменения р описывается уравнением ( — ) = ~ Ь()с, )с') [ф([с) — ф()с')[сйс', (28 7 2) где ср (й) определяется выражением (28.6.3) и интегрирование ведется по всему [с'-пространству. Функция Ь ([с, )с') представляет собой ядро, описывающее тип столкновения; в общем случае зта величин ~ обладает следующими свойствами: Б(й, й)=Б(й, й), Б(й, й)~О (28.7.8) для всех й, и'. В стационарном состоянии д(уд~ = О, что соответствует условию ( дс)коко ( дт )«толк Таким образом, получаем условие стацяоиаряости ) Ь([с, [с')[ф([с) — ф()с')]сйс'=еЖ т —.
(28.7.4) 3 чт к = — — ~~ Ж»Хг« т~ а.з э 1 (28.7.5) Мы получили знаменитое уравнение Бо.тьфлшна, решая которое, можно найти величину электрического тока в проводнике. Это уравнение тесно связано с уравнением Вольцмана для газов, выведенным в задаче 17ЛО. Подставляя в (28.6.4) выражения, стоящие в правых частях соотношений (28.7 () и (28.7.2), можно вычислить дЯ'дс = и. Считая, что з ( — )с) = — и (+ )с) и Е ( — )с) = Е (+ )с), докааать соотношение Вориоционные нринцины и минимум луоиаводетви антролии 629 где Х вЂ” плотность тона. Используя первое из соотношений (28.7.3), доказать, что петолн = ~ ~ ) Е()г~ )г ) (7 ()г) ер()г )) ейоеЛг ° Можно показать, что при вычислении ноа„,» вклад второго члена в правой части соотношения (28.6.3) равен нулю; принять, что это предположение справедливо в настоящем случае.
Решение Из (28.6.7) и (28.7.1) имеем д(о ее Г д70 олово — — — ее ° ) чцв — ов(г — — ) (Š— р) ч — е))г. (28.7.6) ' дЕ т дЕ Так как у( — й) = — г (-~-(г) и Е ( — й) = +Е (+)с), второй подынтегральный член в правой части уравнения (28.7.6) является нечетной функцией Й, и поэтому значение интеграла равно нулю. Обратимся теперь к первому члену. Поскольку д(о )о (1 )о) дй кТ (это легко показать, исходя иэ определения (о), то первый член может быть представлен в виде И, ) дч(в во)) где использовано соотношение (28.6.3). Интеграл в выражении (28.7.7) равен полному заряду, перенесенному череа единицу площади за единицу времени, и поэтому равен плотности тока Л. Мы получаем искомый результат з о=а (28.7.7) (28.7.8) Из (28.6.7) и (28.7.2) имеем = ~ ~ Е()г'гг )('р()г) — ор()г')) р()г)о)йей', (28.7.9) так как можно предположить, что второй член в уравнении (28.6.7) не дает вклада в (дЮ'д~)о,оа„.
Заменяя )г на )г' в уравнении (28.7.9), получаем ( ~ ) = ) ) Е ()», й')((р()г') — ор((г))<р()г')ойгейг' (28.7 10) так как Ь (й, аг') = Ь ()г', )г). Наконец, из (28.7.9) и (28.7ЛО) имеем ( дв)оо 2 Глава 22 28.8. Как видно из выражения (28.7.5), величина — павка, вычисленная для потока электронов, совпадает по форме с выражением (28.5.1) для о„полученным для макроскопнческих переменных. Таким образом, если в случае макроскопических переменных мы могли сформулировать вариационные принципы, устанавливающие связь между силами н потоками, основываясь на стационарном значении производства энтропии, то аналогичным образом можно получить и уравнение Больцмана (28.7.4), причем роль Ур играет функция гр ([г).
В стационарном состоянии, согласно (28.7.4), — о„аа, == па,„„„, и поэтому, как и прн классическом подходе, мы можем формулировать вариационные принципы, используя — пава, вместо ов и о„,аа вместо о;. Показать, что уравнение Больцмана (28.7.4) можно получить путем минимизации суммы сввааа + 2о„ва, по отношению к изменениям вр ([к) или путем максимиаации величины савва» пря условии оввааа = — пвв„„или путем минимизации отношения остова~ якова. [У к а з а н в е: 11еобходимо применить такой же подход, как и в задаче 28.2, используя непрерывную переменную й вместо дискретной переменной р и заменяя суммы интегралами. Аналогом условия положительной определенности матрицы Лура н ее симметричности являются соотношения (28.7.3) для Ь ([г, [г'), так что для всех вр (й) и 0 ([г), ~ ( б(й, [г') [0([г) — 0([г') — р([г)+ р([г'))эвй в[[' " О.) ~ ~ Ь(й, й) [0® — 0(й ) р(й)+ р(й )[зЛ,Л, >О, и поэтому ~ Г,(й, й)[0(й) — 0(й)[ Л [й — 2~ Ь(й, й)[0(й) — 0(й ИХ х [вр(1) — вр([г)) вй вйг'+ ~ Ь([г, й) [вр( ) — вр([г')1 г[[йг'>О.
(28.8Л) Далее, Г, ([г, Е') [О ([г) — О ([г')1 [вр (Е) — вр ([г')[ гйг вйг' =, = ~ 1,([г, [г') 0([г) [р([г) — р(й')[г[й [ '— — ~ Ь(й, й')0(й') [р® — р(й')[б[х [ '; (28.8.2) Решение Рассмотрим общую функция 0 ([г) и функцию вр ([г), удовлетворяю|цую уравнению (28.7.4). Тогда, поскольку Г, ([г, [г') ) О для всех [г, [г', имеем Вариационние принеипы и минимум прои««одет«а энтропии 631 заменяя )с на Ь во втором члене и учитывая, что это не изменяет Х„представим правую часть уравнения (28.8.2) в виде 2 $ 8()с) (Х,(Ь, )с') (ср(1) — р()с')) сй ') й)с, С учетом уравнения (28.7.4) это выражение принимает вид 2еЖ ~ ч — 8(1с) «йс. Подставляя это выражение во второй член неравенства (28.8.1), получаем ~ Х ()с, )с')(В()с) — В()с')) сй сй ' — 4еж ~ —,В()с)Л ~~ ) — ~ Х,()с 1с') (ог()с) — «р(Ь'))вйс гйс' =- = ~ Х,(1с, 1с')(ср()с) — ср(1с')) сйсейс' — 4еЮ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
