Задачи по термодинамике и статистической физике. Под ред. П.Ландсберга (1185123), страница 97
Текст из файла (страница 97)
Пусть см с„с,', с,' — скорости двух атомов до и после столкновения соответственйо, н пусть н — скорость центра масс 1 %'= 2 (сг + Сэ). (27.1.2) Скорости( с,' и с, не определяются полностью скоростями сг и см так как мы имеем только четыре уравнения с',+с,'—.— с,'+с,'г (сохранение энергии),' (27.1.3) с!+от=с',+с,' (сохранение импульса) (27Л.4) .для шести компонент.1 Пусть го — единичный вектор в направлении линии, соединяющей центры, т. е. вектор, связывающий центр атома 11 с центром атома 2 (фиг.
27.1.1 и 27.1.2); тогда имеем ге = (27Л.5) э Р. сег Нааг, Овраггэгэпс о! Т!геотэс!са! р!гув!св, г!э!гегз!гу "о1 Охгогг! Ох!он!. Глава 27 В системе центра масс описание столкновения значительно упрощается. Если пм п„п'„н', — скорости в системе центра масс, то имеем (27.1.6) (27.1.7) (27.1.8) (27.1.9) и;=св — тт, п(=с1-чв, ив+ пз = и', + и,' = О, ив+ив — пв +ив 1 в в ав — о( Ов= ) ев — а,') 11ростое рассмотрение теперь показывает (фиг.
А=/(св)п~св ~ 7(св)а св ) авз 1 з вв'ю, 27.1.3), что (27.1. 10) где мы переобозначили входящую в уравнение (27.1.1) скорость вьиг. 27Л,1. зиг. 27Л.2. через с, и где величина а12 ыз задается соотношением а12- мз = Рзс,„соз 0 (соз 0 ) О), (соз 0 ( О). Здесь Р— диаметр упругой сферы, с„„= св — сз и 9 — угол между ю и сваю (Заметим, что при записи уравнения (27.1.10) мы использовали гипотезу молекулярного хаоса, полагая, что атомам 1 и 2 соответствует одна и та же функция 7 (с) распределения по скоростям.) Чтобы найти В, мы должны рассмотреть обратное столкновение, т.
е. такое столкновение, при котором скорости после столкновения равны сх и с„ а до столкновения с,' и с',. Линией центров теперь будет являться ев'= — ав (как показано на фпг. 27.1.4, на которой изображено обратное столкновение в системе центра масс). Между прямым и обратным столкновениями существуат взаимно однозначное соответствие, так как см сз и ю полностью определяют с'„с', и е'. Эрвадиаееиаа тевриа, Н-теорема, ирвдвема возврата 601 Для В теперь получаем вв В= е) 7(с1) еевасввв(сз) еРсз )е ав з ~з евввсо', (27.1.12) где штрих у знака интеграла указывает на то, что интегрирование но с,', с,' и со' производнтсн таким образом, чтобы одна нз полу- ФИГ. 27.1.4. свит. 27.1.3. чающихся при этом скоростей попадала в заранее фиксированный элемент объема Рсь Пусть Х вЂ” якобиан преобразования с'„ с,', со' в с„ с„ со: ди,' дв( йю', дв,' дне див див ' ' ' ' див див див ди( д (с,', с.'„т') д (св, см т) (27.1.13) див ди( деве дев дев где и, о, вд — декартовы компоненты скорости с, а ео„ во, — две величины, определнющие единичный вектор со (можно, например, использовать полярные углы 8 и вр).
В рассматриваемом здесь простом случае столкновения двух одинаковых атомов легко находим, что У = 1. Этот результат, справедливый и в общем случае, связан с теоремой Лиувилля (см. задачу 27.9). 'Тан КаК а1 З,ана1ат1З ааВИСЯттОЛЬКООтва,„н О, КОТОРЫЕ одинаковы для прямого и обратного столкновения, то, очевидно, а1 з,ва = авз 1з.
Переходя в выралвении (27.112) от пере- 602 Глава 2т мепвых с„с,', ев к с„с, от, получаем В=с(во~ ) 7(с',) 7(с,')авсз ) ае)зво, (27ЛЛ4) где ыы опустили индекс прн а1 з Объединяя (27.1.1), (27Л.10) и (27.1Л1), имеем окончательно — '=- — ) ЦДз — Цв) айве, Ров, (27ЛЛ5) где 1; = 7 (св), Д = — 7 (с';). 27.2. Показать, что в предположениях задачи 27.1 распределение Максвелла (см. аадачу 3.1) остается неизменным прн столкновениях. [3 а и е ч а н н е: Этот результат является необходимым условием того, чтобы распределение Максвелла было равновесным распределением.1 (27.2.2) 27.3.
Пусть Н= ) ) )п)йзс. доказать, что для газа нз упругих сфер — <О, и обсудить полученный (реаультат. (Величина Н называется Н-функцией Вольцл~ана ) Решение Из определения (27.3.1) и уравнения (27Л.15) имеем — ()п 7+ 1) в(вс (27.3.1) (27. 3,2) или — = ) ()'~; — Ц,) (1п 7+ 1) аавс с(зс~ азы. (27.3.3) Решение Коли 7 — распределение Максвелла, то, согласно аадаче 3Л, оно имеет вид (р' = 1(ИТ, где Т вЂ” температура) 7=н (2 ) ехр( — 2 рюе ) (27.2. 1) и в соответствии с (27.1.3) имеем Ив = Ув. Следовательно, согласно уравнению (27Л.15), — — О, (27.2.3) т. е.
распределение Максвелла не изменяется при столкновениях. Эрзодичееяая теория, П-теорема, проблема возврата 603 Если поменять местами с и с, и учесть, что прн этом сочи, а следовательно, и а остаются неизменными, то можно также написать — = ~ (7'7'; — 71з) (1п 1з+ 1) айзсдзсееРю. (27.3.4) Если теперь перейти от с, с„ю к с', с,', ю' и использовать тот факт, что якобиан этого преобразования равен единице, то вместо уравнений (27.3.3) и (27.3.4) можно написать — = ~ Я,— 7'7",) (1п 7'+1) Ызсдзс, Ую (27.3.5) или — = ~ Я~ — Я;)(1в);+1)аРсе(зс~е(аю. (27,3.6) Складывая уравнеяля (27.3.3) — (27.3.6), голучаем —, = — — ) (Я вЂ” 71,) 1п ( —.' ) а е)ас Ус, е('ю.
Так как для неотрицательных р и о имеем (27Л,7) , 1 > О (р --" 7), (Р— д) 1в — 1 б ( =О (р=д) я так как а — положительная величина (ср. задачу 27.1), мы видим, что —,( О. (27.3.8) Можно доказать, что Н является ограниченной функцией, поэтому результат (27.3.8) означает, что Н убывает до тех пор, пока функция распределения не будет удовлетворять уравнению (27.2.3).
Поэтому уравнение (27.2.3) является пе только достаточным, но также и необходимым условием того, что 7 — равновесная функция распределения. 27.4. Равновесная функция распределения для газаневзаииодействующих частиц является максвелловской. Показать, что энтропия такой системы равна Я =- — (еН + К, (27.4.1) где К вЂ” некоторая аддитивная постоянная. Решение Для газа невзаимодействующих частиц функция распределения 7 является распределением Максвелла (27.2.1), откуда 1п ~ = 1п и+ — 1и 5 — — ()тса+ сопзь. (27.4.2) Глава 27 604 Если о — объем на единицу массы 1 пт (27.4.3) находим нз (27,4.2) и (27.3.1) Н 3 1 — 3 — = — 1п о+ —, 1п () — — ~таз+ сопз1, (27.4.4) где горизонтальная черта указывает усреднение по скоростям, ~ Я)33, (27,4,5) Вычисляя тс', получаем нз соотпожения (27.4.4) — = — 1п и+ — 1п р+ сопзФ, Н 3 и 2 (27.4.6) Н 3 — = — 1п и — — 1п Т + сопзс.
и 2 (27,4.7) Для энтропии Я, на единицу объема идеального классического хаза имеем (см. задачу 1.23 с А = п7в и в = в7 ) Юв = пй ( — 1п т + 1л 0 ) + Р, (27.4.8) где .0 — константа. Таким образом, с точностью до аддитивной постоянной Я, .= — /вН. рещение гяв )47(Л"и) = СЛ71 П нй (27.5 1) где С вЂ” нормировочная постоянная. 27.5. Разделим пространство скоростей на неперекрывающнеся ячейки раамером Яю где каждая ячейка является алемеятом объема в)вс. Пусть пзображагощие точки Л' атомов газа распределены по ячейкам таким образом, что в й-й ячейке содержится Л„ точек. Пусть И' (Л'и) — вероятность заданного распределения Л ю определяемая как доля всех возможных размещений, для которых реализуется это распределение.
Найти выражение для И'(Л'„), предполагая, что априорная вероятность попадания изображающей точки в й-ю ячейку пропорциональна размерам последней. [У к а з а н н е: См. задачу 211.1 Эрводичееяая теория, Н-теорема, проблема возврата 605 27.6. Определяя равновесное распределение как распределение, соответствующее максимуму величины 1п И' (Л'ь) (задача 27.5) для ааданных аначений И' и полной знергии Е, найти зто равновесное распределение, а также связь между соответствующей вероятностью и Н-функцией Больцмана для идеального классического газа. (У к а з а ни е: См.
задачу 2.11.! Решение Согласно выражению (27.5.1), 1п аг'=- 1п И+ ~ (У> 1п Ув> — 1п ЛГ>!) + сопа1. (27.6.1) Если число >е'; достаточно велико, так что можно применить формулу Стирлвнга 1пт! =х1пх — х, (27.6.2) находим 1пИ'= ~~ Л>> 1п —.' +сопзг, >т> (27.6,3) Л =- ~Л~о Другое условие, которое должно быть выполнено, заключается в том, что должна быть фиксирована полная знергия Е = ~~~~ Л>>е;, (27.6.5) (27.6.4) где з; — знергия атома в ячейке Ео Для определения максимума 1п И' при условиях (27.6.4) и (27.6.5) используем метод множителей Лагранжа.
Варьируя числа заполнения Л>з, находим 61п И" == О = — У„6Л', (1п — '+ 1), (27.6.6) бЛ' = О = ~ бЛ~о (27.6.7) 6Е = О = ~~Р~е;бЛ>>. (27.6.8) Беря соотношение (27.6.6), прибавляя соотношение (27.6.7), умно- женяое на (сз + 1), и вычитая соотношение (27.6.8), умноженное на р, получаем ~', бзе'> ( — 1п — '+а — ре;) =О, (27,6.9) где использовано то обстоятельство, что полное число частиц .фиксировано' Галла 27 откуда »»'» = д»я» ехр (а — ()з»), (27.6.1О) что представляет собой распределенпе Максвелла.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
