Задачи по термодинамике и статистической физике. Под ред. П.Ландсберга (1185123), страница 94
Текст из файла (страница 94)
Показать, что еслп ~~ Р (и, 0) = 1, (26.2.6) то и Р (и, 1) = 1 (26.2.7) =в для всех значений е (матрица А (и, т) мояеет зависеть от времени). Болыикнстзо физических систем являются консервативными; все рассматриваемые здесь системы также являются консервативными. в) Показать, что для матрицы А существует нулевое собственное значение. г) Показать, что Р(оо) = ~~~~~ (но)е (26.2.8) Глава ла если Лв = О, Л, =,йО и (Кэ); есть 1-я компонента К„. Кстати, отсюда следует, что равновесное распределение Р(оо) не зависит от начального условия Р (0). д) Условие детального баланса при равновесии может быть записано в следующем виде: А (т, и) Р (и, оо) = А (и, т) Р (т, со).
(26.2.9) Показать, что при выполнении условия (26.2.9) собственные зна- чения Л; суть вещественные и отрицательные числа н Л, == О. [См. также дополнительные пояснения к принципу детального баланса в задаче 2Л4.[ Решение а) Предположим, что решение для Р (г) имеет вид Р(г) = 2' а;(1) КР (26.2.10) 1=О Подстановка этого решения в основное кинетическое уравнение Р = АР дает ~~ [а;(г) — Л;аг(фК;=О. в=-э (26.2Л 1) Так как В; независимы при невырогкденпых Лн можно по отдельности приравнять нулю каждый член суммы.
Решая получающиеся при этом уравнения а; (г) == Лза, (г), находим аг (г) =- аг (0) ехр (Лгг). (26.2. 12) Поэтому ат (0) можно найти из соотношения Р (0) = ~~~„' а; (0) К;, в э (26.2ЛЗ) где Р (0) предполагается известным вектором. Чтобы найти ат (0), покажем, что скалярное произведение ВвКг — — 0 прн и ~= ). Из соотношений (26.2.2) следует, что 1„АКг= ЛД „Кт, 1„АК! = Л„Х,вК;; (26.2.14) вычитая одно из другого, имеем О = (˄— Л,) Пввя (26.2Л5) Из предположения о невырожденности собственных значений следует, что Е„Кг = 0 при и ~1. Во всех представляющих интерес случаях векторы Е„и В„могут быть определены таким образом, что У„К„= 1, кроме того, можно считать, что собственные век- Стохостиеесиие методы торы ортонормированы. Умножим теперь соотношение (26.2ЛЗ) на Ь„и используем соотношение ортонормированности; тогда находим и, (О) = Ь«Р (О), (26.2Л6) откуда следует искомое формальное решение (26.2.4). б) Запшпем векторное основное кинетическое уравнение в ком- понентах Р(0, «)=-АоаР(0 «)+Ао«Р(1, «)+АозР(2, «)+..., Р (1 «) = А ооР (О, «)+ А„Р (1, «) )- Аг«Р (2, «) +..., (26.2Л 7) Р(2, «)=А, Р(О, «)+А,Р(1, «)+А, Р(2, «) — ,'-....
Складывая этп уравнения с учетом условия (26.2.5), получаем Р (и, «) = О. (26.2Л8) и=о Интегрирование этого вырая'ения дает Р (и, «) = сонэ«= ~' Р (и, О) = 1. о=о о о (26.2.19) в) Рассмотрим собственный вектор (26.2.20) Ь~=-а(1, 1, 1, ...). Условие ~' А (т, и) =- О> эквивалентное условию (26.2.5), может =о быть записано в виде (26.2.21) ЬоА = 0 Следовательно, собственное значение Х„соответствующее Ьо, равно нулю. Благодаря существованию невырожденного собственного значения Ь, = 0 основное кинетическое уравнение (26.2.3) с общим рен«ением (26.2.4) имеет ненулевое равновесное решение Р (со). г) Вернемся к разложению решения (26.2.4), выражающему Р («) через собственные функции и собственные векторы. Здесь для всех 1 должно иметь место соотношение Ке Х«( О, так как в противном случае компоненты вектора Р («) будут неограниченно возрастать для достаточно больших значений времени. Поэтому монако выделить член с «' = 0 и написать Р(«)=(1оР(0)) Ко+ Е (Ь«Р(0) К«ехр(Х««)], (26.2.22) д-« Глава юз где все члены под знаком суммы стремятся к нулю при 1 — ~ оо.
Но Ер можно записать в виде Х.~ = а (1, 1, 1, ...), (26.2.23) где а — постоянная, так что 1еР(0) =а. (26.2.24) Поэтому вектор Р (оо) пропорционален К„т. е. Р (со) =- ай . (26.2.25) Но так как система консервативна, то ~ (Р(оо))в = — 1' 1 а= ~~(к,); ' 1 д) Чтобы доказать вещественность собственных значений Лн достаточно показать, что матрица перехода А подобна некоторой симметричной матрице Я. Так как все собственные значения вещественной симметричной матрицы являются вещественнымн чнсламп, отсюда будет следовать, что собственными значениями А являются вещественные числа. Введем матрицу Ю, 1)-й элемент котоРой Равен бв„= — (Р (1, со)Рыбин где бы — символ КРонекеРа, и матрицу 6, построенную из А, а именно Я =- Ю 'АП. Так как С вЂ” диагональная матрица, она легко обращается, и для элементов матрицы 8 получаем Я„=(Р(п, оо)) '~'А(п, т)(Р(т, оо))'и.
(26.2.26) Используя условие (26.2.9), можно теперь убедиться, что Я„м = = Я „, т. е. что $ — симметричная матрица. Отсюда моуйо сделать вывод, что значения Л1 отрицательны при ) ) 1, та)1 как в противном случае величина Р (1), описываемая выражением (26.2.22), не могла бы быть вектором вероятностей для болыпих значений 1. Отрицательность собственных значений Лт можно также доказать, показав, что матрице Я соответствует отрицательно полуопределенная квадратичная форма ').
Это легко сделать, выражая матричные элементы А (п, т) через неотрицательные элементы В (и, т) при помощи соотношения А(п, т)=(1 — б„~)В~,„— бом ~ В(г, п), (26.2.27) вФвв где В (и, т) = А (и, т) ) 0 для п ~т. Если матрице Я соответствует отрицательно определенная квадратичная форма, то з) См. примечание к задаче 28.2.— Прим. ред. Стакестические иетади функция В(у)= Х В у.р (26.2. 28) должна быть неполонпгуельной. Но точные вычисления показывают, что матрица Я (у) может быть представлена как Я(у)= — ~~ В(г, и) у„'+ У~ В(п,т)(Р(т, )) Я(Р(п, оо)) >у,у~. е,к и е -и кфт (26.2.29) Используя принцип детального баланса в форл<е (26.2.9), ><овско переписать выражение (26.2.29) в виде Я(у)= — — ~~~~ В(п, т) Р(т, оо)( ~", — ~т, ) 2 (Р (и, са)) >е (Р (т, са)) >е (26.2.30) что, очевидно, представляет собой отрицательно полуопределепную форму.
Таким образом, условие детального баланса, столь часто встречающееся в физических системах, достаточно для того, чтобь< обеспечить вещественность н отрицательность собственных значений ).>, и поэтому ведет к математически приемлемой форме для соответствующих вероятностей состояния. 26.3. Основное кинетическое уравнение в случае релаксации ансамбля невзаимодействующнх гармонических осцилляторов,находящихся в контакте с термостатом при температуре Т (оо), имеет вид — = (пе-э < > Р (и — 1, т) — (п -)- (и-)- 1) е-в < '>) Р (и, т) +.
дР (и, т) дт +(и+1)Р(п+1, т)) и= — О, 1, 2, ..., (26.3.1) Р( — 1,т)= О, где Р (и, т) — вероятность того, что осциллятор находится в возбужденном состоянии и с энергией п)ет в момент времени т (безразмерное время), и где 8 (оо) = )са>ЙТ (оо)). Найти решение уравнения (26.3.1), считая начальное распределение осцилляторов больцмановским: Р (и, 0) = (1 — е-е <о>) е- в <о> (26.3.2) где 8 (0) == Ьа>'(><Т (0)) и Т (0) — колебательная температура ансамбля осцилляторов в момент времени т = О. Показать, что Р (и, т) является распределением Больцмана во все моменты времени т, т. е.
что (26.3.3) Р (и т) (1 е — э <е>) е-кз <е> и найти явное выражение для 8 (т). Г*ава М Решение Как и в задаче 26.1, п. вга, решение дифференциального уравнения может быть найдено прн помощи производящей функции 6(х, 1) =- ~~ г"Р(и, <). (26.3.4) =в имеет решение вида (ее< '> — г) 6 (х, т) = К„ (26.3.8) где К, — постоянная интегрирован>ия. Первое уравнение из (26.3.6) может быть решено аналогичным способом и дает е< > 'ехр( — т(1 — е-э< >)! =Кв, (26.3.9) где Кг — такжо постоянная интегрирования.
Общее решение уравнеш<я (26.3.5) ъ>етодом характеристик может быть получено прн К, =- ф (К,), где ф (х) — любая днфференцируемая функция. Подставляя значения К, и К, нз (26.3.8) н (26.3.3), находим ,э< > 6 (х, т) =-~; — —,— ф ( ехр ( — т (1 — е-" < >))) . (26.3 10) <Рункцню <(> (х) можно найти, полагая здесь т = О. При начальном условии (26.3.2) функция 6 (г, О) получается нз (26.3А) в следующем виде: 6 (х, О) = -е э>' (26.3.11) 1 — хв Путем алгебраических преобразований можно привести 6 (г, т) к виду вв 6(г, т)= „=(1 — А(т)) ~~~~ А" (т)х", (26.3Л2) а=а Умножая и-ю строну уравнения (26.3.1) на г и суммируя по всем и, можно показать, что 6 удовлетворяет дифференциальному уравнению в частных производных первого порядка — -(- (1 — х) (ге е < > — 1) — = е е < > (г — 1) 6.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
