Задачи по термодинамике и статистической физике. Под ред. П.Ландсберга (1185123), страница 91
Текст из файла (страница 91)
Поэтому вклад компонент с частотой в области (ео, оо + ды) в среднеквадратичные флуктуации величины х можно найти, приравнивая нулю матричный элемент х между всеми парами состояний, для которых разность энергий не леконт между Ью и Теео + йдео, и подсчитывая среднеквадратичные флуктуации обычным путем.! [3 а и е ч а н и е: Величину х можно рассматривать как классическую переменную, только если компонентами флуктуации с частотами, которые не удовлетворяют условию лез (( йТ, можно пренебречь. Поэтому, чтобы быть последовательными, мы при рассмотрении спектральной функции флуктуации и поглощения будем считать, что на ео наложено это ограничение. Следует подчеркнуть, что наше определение спектральной функции непригодно, если поведение рассматриваемой переменной обнаруживает заметно выраженный квантовый характер.
В этом случае не имеет смысла говорить о значении величины как функции времени, так как попытка наблгодения величины вносит возмущение в систему. Конечно, можно найти соотношение между величинами, определенныин через соответствующие квантовомеханнческие понятия И). Зти соотношения, имеющие вид соотношений Найквиста, не предполагают классического поведения рассматриваемых переменных. за-оззе Гаева Хе Непосредственный физический смысл приписывается лишь выражениям, в определение которых входят квантовомеханические величины (например, сечению рассеяния), а не самим таким величинам.
Рассмотрение подобных вопросов увело бы нас слишком далеко, поэтому мы ограничиваемся классической формой теоремы Найквнста. Результаты Найквиста можно также получить для систем, описываемых классической статистической механикой, но здесь мы не будем касаться этого вопроса. Однако задачи 24.4 и 24.10 иллюстрируют эти результаты для весьма специальной классической системы.1 Решение а) Если через Н обозначен гамильтоннан, а через ~ г > — одно из его собственных состояний с энергией Е„, то имеем ~Ч~ ~(г [ х ( Ю (г ( е ) г) ехр ( — Е„/ЙТ) — Яр (ее ехр ( — Н((гТ)) г, е Яр ехр ( — Н(МТ) Ч~~ ~ехр ( — Не(ЙТ) Найдем 6„(а) г)в, рассматривая при вычислении суммы в анаменателе только пары состояний, для которых матричные элементы для х отличны от нуля, а разность энергий лежит между Лв и Ла + Ыа. Здесь существуют две возможности: 1) г представляет собой основное состояние, а г соответствует одному из йр (Ее + Ьв) Ив состояний непрерывного спектра, энергия которого отличается от энергии основного состояния на величину, лежащую между йв и Ьа + Ада, и 2) е представляет собой основное состояние, а г — одно из состояний непрерывного спектра, как и з в предыдущем случае.
Обозначая знаменатель через Е, находим, записывая х' вместо х' (Е, + йа), 6„(а) Йо = — р (Ее+ Нв) ( х' (е ( ехр ( — — „' ) + ( е+ "~)1) й,)в В предположении, что Ва (( ЙТ, это выражение принимает вид б„(а) = — ехр ( — — е) р(Е +Нее) (х')ей. б) Приложенной обобщенной силе, которую мы считаем вещественной частью величины Ее ехр ((в~), соответствует в гамильтониане член — -х(Р е'ее+Гее-™). 1 Теорема Найнеиета и ее обобщения Член, содерясащий ехр ( — (вг), отвечает поглощению энергии при переходах в состояния с более высокой энергией, а член, содержащий ехр ((вс), отвечает испусканию энергии при переходах в более низкие энергетические состояния.
Поглощатольные переходы могут происходить только из основного состояния в состояния непрерывного спектра (поскольку х не имеет ненулевых матричных элементов менсду состояниями непрерывного спектра). Скорость поглощения энергии прн этом будет равна ехр( — Ео1(еТ) ( аи ( е Е й ) (Ео(я здесь Лв — энергия, поглощаемая за переход; следующий член, стоящий в квадратных скобках, представляет собой вероятность нахождения системы в основном состоянпи, а остальные члены являются обычным выражением для скорости перехода между отдельным состоянием и непрерывным спектром под действием сннусоидального возмущения.
Расчет пслускания энергии за счет перехода из состояний непрерывного спектра в основное состояние производится тем же самым путем, за исключением того, что вероятность заполнения основного состояния заменяется вероятностью заполнения состояния непрерывного спектра ехр ( — (Ко + Лв)1)сТ)/Я.
Суммарная скорость поглощения равна разности двух выражений; она описывается точно первым выражением, умноженным на И вЂ” ехр ( — Тсв11сТ)), т. е. на йв11сТ, так как Лв (~ 1сТ. Поэтому суммарная скорость поглощения равна н в охР( Е01ИТ) 2л ( е ~2 (К +Т, ) Про( йт я з 4 сравнивая это выражение с, ('1х) а (в) ( ро (а, получаем (в) =яд —,,""",""")'( р(К.+й ).
Мы видим, что выражение согласуется с обобщенной формулой Найквиста. 24.9. Обобщенная формула Найквиста может быть использована для определения импеданса по спектральной функции (или, что эквивалентно, по корреляционной функции) соответствующих флуктуаций. Общие формулы для кинетических коэффициентов, или соотношения Кубо, являются выражением атой идеи.
Настоящая задача иллюстрирует такой подход в простом случае. Все нормальные моды определенного неидеального кристалла вносят вклад в х-компоненту электрического дипольного момента Зб' Глава 24 кристалла р„= ~ а,д„, г где д„— нормальные координаты, изменяющиеся с угловой частотой а„,— нормированы таким образом, что кинетическая энергия равна Чз~дв. Предполагается, что все нормальные моды обраауют непрерывный спектр, т. е. не существует локализованных мод. Найти связь спектральной функции флуктуаций р„при температуре Т, достаточно высокой для того, чтобы все моды можно было рассматривать классически, с функцией а (ю), определяемой соотношением а (во) дев = ~ а',, я<ев<и-~-эи Использовать обобщенную формулу Найквиста для получения мнимой части т" (в) — полярнзуемости системы.
Применить соотношения Крамерса — Кронига (задача 23.10) для нахождения (во); можно считать, что величина у (оо) равна нулю, так как отклик каждого осцнллятора будет стремиться к нулю при стремлении частоты колебаний к бесконечности. Решение В нормальных координатах о„, нормированных как указано выше, потенциальная энергия равна '/,~ов',дав. Отсюда следует, что при высокой температуре Т вЂ” ьт Ч =— вв', ' Обозначим спектральную функцию флуктуаций величины р„ через Сг (во); тогда величина Сэв (эв) двэ будет представлять собой вклад в р'„эа счет мод с частотой, лежащей в интервале (а, го + да).
Таким образом, ~<~в<'в+э~' ~<~~в<~+Ле В настоящем случае обобщенная формула Найквиста (задача 24.7) принимает вид Сравнивая два выраження для 6„„(ов), получаем х",( )= —— я а (вв) 2 вв Теорема ееааиеиеяяа и ее обобщения 565 Приведенное выражение определяет Х" только для положитель- ных в, однако, поскольку Х" (в) является нечетной функцией в, это не приводит к трудностям при переходе к определению Х' (ву из соотношений Крамерса — Кронига.
Имеем Х" (а') ба' Ю о '+ —. Р Х" (а')и ' + 2 Р ~ Х" (в') бв оо О Р1 у" (а') йо' 1 Г у" (в') ба' а' — в + я ~ а'+а о 2а'Х (а') Йо' в'Я а2 о Х (а) — Х ( )= — „Р = — Р 1 и = — Р я о а (а') е)в' ) в2 ае о Так как мы приняли, что Х' (оо) = О, эти выражения дают иско- мый результат. Решение Работа, совершенная электрическим полем Е в направлении л при увеличении д„на бд, (координаты о, остаются фиксированными при з Ф г), равна Ебр„= Еа„бд„. Поэтому обобщенная сила, соответствующая г-й моде, равна ЯЯ„ЕЯ ехр (Яаб).
Координата д„удовлетворяет уравнению д, + кдг+ вере = п„Еое™ 24.10. Проверить результаты предыдущей задачи при помощи прямого динамического расчета, используя следующий метод. СчитаЯ, что осЦиллиРУюЩее электРическое поле Е =- Ео ехР (Яа() приложено в направлении л, определить обобщенную силу, действующую на каждую нормальную координату. Вводя малый декремент затухания к (не зависящий от г) каждой моды, определить результирующую зависимость от времени каждого д„, а отсюда и р„после затухания переходных процессов. Заменить сумму по модам в результирующем выражении интегралом, используя функцию а (а). Наконец, определить действительную и мнимую части результирующей функции реакции в пределе к -+- О.
Глава ва решение которого после затухания переходных процессов имеет вид Еое гав йг — мв о);, о Поэтому для зависимости дипольного момента от времени имеем р,=- ~~~, а„гг„= ( ~~~ .,; ) Еоегаг. Сумма в скобках представляет собой комплексную полярпзуе мость; заменяя сумму интегралом, получаем ОО Х (~) — 'Х (~) — ~, о мо;, ' о Подынтегральное выражение имеет полгос, лежащий строго ниже точки го на действительной оси, с вычетом а (го)/2го. Можно сместить этот полюс на действительную ось, а в качестве траектории интегрирования выбрать расположеннуго выше пего огалуго полуокружпость — это не изменит аначекия интеграла.
Интеграл по действительной оси имеет вид а гго') аго' го'о гоз о тогда как интеграл по малой полуокружности равен я га (го) Как можно видеть, эти две составлягощке интеграла дают дейст- вительную и мнимую части соответственно. Следовательно, Х" (ю) = —— я а (го) 2 го в соответствии с результатом, полученным раньше, 24.11. Пусть р„представляет собой х-компоненту дипольного момента некоторой системы. Соответствующей обобщенной силой является х-компонента электрического поля Е„.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
